Integrali tripli
Buongiorno a tutti.
Ho qualche dubbio sul calcolo di integrali tripli su un certo insieme A misurabile. A volte mi capita che, passando alle coordinate sferiche/polari/cilindriche, il valore dell'angolo $\theta$ assuma valori appartenenti a due intervalli distinti. Per esempio: $0$ $\leq$ $\theta$ $\leq$ $\pi/4$ e $3\pi/4$ $\leq$ $\theta$ $\leq$ $7\pi/4$. Il problema è che, non essendo l'intervallo unico, non riesco calcolare l'integrale in questi estremi. Infatti, un integrale si calcola sempre tra due estremi $a$ e $b$.
Come posso fare?
Devo cambiare strategia di risoluzione dell'integrale?
Vi ringrazio anticipatamente.
Ho qualche dubbio sul calcolo di integrali tripli su un certo insieme A misurabile. A volte mi capita che, passando alle coordinate sferiche/polari/cilindriche, il valore dell'angolo $\theta$ assuma valori appartenenti a due intervalli distinti. Per esempio: $0$ $\leq$ $\theta$ $\leq$ $\pi/4$ e $3\pi/4$ $\leq$ $\theta$ $\leq$ $7\pi/4$. Il problema è che, non essendo l'intervallo unico, non riesco calcolare l'integrale in questi estremi. Infatti, un integrale si calcola sempre tra due estremi $a$ e $b$.
Come posso fare?
Devo cambiare strategia di risoluzione dell'integrale?
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Puoi spezzarlo nella somma di due integrali:
\[
\int_{0\leq \theta \leq \frac{\pi}{4} \vee \frac{3}{4}\pi \leq \theta \leq \frac{7}{4}\pi } f(\theta) \quad \text{d}\theta
= \int_{0\leq \theta \leq \frac{\pi}{4}} f(\theta) \quad \text{d}\theta + \int_{\frac{3}{4}\pi \leq \theta \leq \frac{7}{4}\pi} f(\theta) \quad \text{d}\theta
\]
\[
\int_{0\leq \theta \leq \frac{\pi}{4} \vee \frac{3}{4}\pi \leq \theta \leq \frac{7}{4}\pi } f(\theta) \quad \text{d}\theta
= \int_{0\leq \theta \leq \frac{\pi}{4}} f(\theta) \quad \text{d}\theta + \int_{\frac{3}{4}\pi \leq \theta \leq \frac{7}{4}\pi} f(\theta) \quad \text{d}\theta
\]
Grazie mille per la risposta fulminea! 
Ora mi rimane solo un dubbio. Ossia se posso spezzare l'integrale anche se prima o dopo ne deve calcolare altri: per esempio l'integrale per $\rho$ e per $\phi$ (per esempio nel caso delle coordinate sferiche)
Ora mi rimane solo un dubbio. Ossia se posso spezzare l'integrale anche se prima o dopo ne deve calcolare altri: per esempio l'integrale per $\rho$ e per $\phi$ (per esempio nel caso delle coordinate sferiche)
Non ci dovrebbero essere problemi, ma per darti una risposta più precisa dovrei vedere come è fatto esattamente questo integrale triplo. Ti tocca scriverlo per intero, mi spiace 
L'integrale sarebbe:
$2$$\int_$$\int_$$\int_$$\rho^4 sen^3\phi cos\theta sen \theta$ $d \rho d\theta d\phi$
con 0 $<$ $\rho$ $<=$ 2 , 0 $<=$ $\theta$ $<$ $2\pi$, 0 $<=$ $\phi$ $<=$ $\pi/4$ e $3\pi/4$ $<=$ $\phi$ $<=$ $\pi$
Grazie ancora.
$2$$\int_$$\int_$$\int_$$\rho^4 sen^3\phi cos\theta sen \theta$ $d \rho d\theta d\phi$
con 0 $<$ $\rho$ $<=$ 2 , 0 $<=$ $\theta$ $<$ $2\pi$, 0 $<=$ $\phi$ $<=$ $\pi/4$ e $3\pi/4$ $<=$ $\phi$ $<=$ $\pi$
Grazie ancora.
Ok, si può spezzare in
\[
2 \int_{\rho=0}^{2} \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\phi= 0}^{\frac{\pi}{4}} \rho^4 \sin^3{\phi}\cos{\theta}\sin{\theta} \quad \text{d}\phi \quad \text{d}\theta \quad \text{d}\rho
\qquad + \qquad
2 \int_{\rho=0}^{2} \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\phi= \frac{3}{4} \pi}^{\pi} \rho^4 \sin^3{\phi}\cos{\theta}\sin{\theta} \quad \text{d}\phi \quad \text{d}\theta \quad \text{d}\rho
\]
\[
2 \int_{\rho=0}^{2} \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\phi= 0}^{\frac{\pi}{4}} \rho^4 \sin^3{\phi}\cos{\theta}\sin{\theta} \quad \text{d}\phi \quad \text{d}\theta \quad \text{d}\rho
\qquad + \qquad
2 \int_{\rho=0}^{2} \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\phi= \frac{3}{4} \pi}^{\pi} \rho^4 \sin^3{\phi}\cos{\theta}\sin{\theta} \quad \text{d}\phi \quad \text{d}\theta \quad \text{d}\rho
\]
Grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo