Ordine infinitesimo con sviluppo di taylor
Salve, ho da poco iniziato a usare gli sviluppi di taylor, ho capito la teoria e riesco a calcolare i polinomi di funzioni e risolvere anche i limiti ma non riesco a trovare l'ordine di infinitesimo (infinito).
Sto lavorando su 3 esercizi che ci sono nel libro. il primo è il seguente che sembrerebbe semplice ma non mi risulta:
Calcolare ordine e P.P. infinitesimo rispetto a $u(x)=x$, della funzione $f(x)=x^3 - sin^3 x$, per $x->0$.
il mio svolgimento:
[se mi fermo all'ordine 3 ottengo solamente $(o(x^3))/x^3$, quindi sono costretto ad andare oltre]:
-editato passaggio errato-
il risultato del libro è $x^5/2+o(x^5)$
grazie per qualsiasi suggerimento. ciao
Sto lavorando su 3 esercizi che ci sono nel libro. il primo è il seguente che sembrerebbe semplice ma non mi risulta:
Calcolare ordine e P.P. infinitesimo rispetto a $u(x)=x$, della funzione $f(x)=x^3 - sin^3 x$, per $x->0$.
il mio svolgimento:
[se mi fermo all'ordine 3 ottengo solamente $(o(x^3))/x^3$, quindi sono costretto ad andare oltre]:
-editato passaggio errato-
il risultato del libro è $x^5/2+o(x^5)$
grazie per qualsiasi suggerimento. ciao
Risposte
Nell'esplicitare il cubo dello sviluppo del seno hai preso come termini significativi il cubo del primo (il che va bene) ed il cubo del secondo (il che non va bene): comincia a sviluppare il seno fino all'ordine 3 o 4 [tex]\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{4})[/tex] (tanto lo sviluppo manca del termine di IV grado), poi fai il cubo della parentesi trascurando (o meglio inglobando in un opportuno o-piccolo) tutti i termini di grado superiore a quello immediatamente successivo al III: vedrai che se sviluppi il cubo in modo corretto l'unico termine significativo, oltre ovviamente ad [tex]x^3[/tex], è il secondo della formula del cubo di binomio [tex](a+b)^3=a^3+3a^2b+...[/tex], e che tutti i successivi sono di ordine superiore al V.
"Palliit":
Nell'esplicitare il cubo dello sviluppo del seno hai preso come termini significativi il cubo del primo (il che va bene) ed il cubo del secondo (il che non va bene): comincia a sviluppare il seno fino all'ordine 3 o 4 [tex]\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{4})[/tex] (tanto lo sviluppo manca del termine di IV grado), poi fai il cubo della parentesi trascurando (o meglio inglobando in un opportuno o-piccolo) tutti i termini di grado superiore a quello immediatamente successivo al III: vedrai che se sviluppi il cubo in modo corretto l'unico termine significativo, oltre ovviamente ad [tex]x^3[/tex], è il secondo della formula del cubo di binomio [tex](a+b)^3=a^3+3a^2b+...[/tex], e che tutti i successivi sono di ordine superiore al V.
grazie mille, mi hai dato lo spunto per risolvere, però seguendo il tuo ragionamento incontro un problema:
sviluppando il seno fino all'ordine 4 ottengo: $x^3-(x-x^3/(3!)+o(x^4))^3 -> x^3 - x^3 + x^5/2+o(x^4)$ il che mi dà il risultato corretto se fosse $o(x^5)$, ma se sviluppo il seno fino al 5° ordine non ho più un cubo di binomio bensì un cubo di trinomio: $x^3-(x-x^3/(3!)+x^5/(5!)+o(x^5))^3$
Nell'esplicitare il cubo devi tener presente le proprietà dell' o-piccolo, per esempio che: [tex]x^n\cdot o(x^m)=o(x^{n+m})[/tex], oppure che: [tex]o(x^n)\cdot o(x^m)=o(x^{n+m})[/tex].
Interessantissimo (e molto utile) al riguardo questo: i-simboli-di-landau-t66257.html
Interessantissimo (e molto utile) al riguardo questo: i-simboli-di-landau-t66257.html
"Palliit":
Nell'esplicitare il cubo devi tener presente le proprietà dell' o-piccolo, per esempio che: [tex]x^n\cdot o(x^m)=o(x^{n+m})[/tex], oppure che: [tex]o(x^n)\cdot o(x^m)=o(x^{n+m})[/tex].
Interessantissimo (e molto utile) al riguardo questo: i-simboli-di-landau-t66257.html
scusami ma non riesco a risolverlo
l'o-piccolo lo devo considerare come membro del cubo? se si allora già ho un cubo di trinomio.
ti posso chiedere di farmi vedere i passaggi?
Grazie.
Ti faccio un esempio con uno sviluppo diverso, supponendo comunque che lo sviluppo sia intorno ad [tex]x=0[/tex]:
(1) [tex](1+x+o(x))^{3}=(1+x+o(x))^{2}(1+x+o(x))[/tex]; il quadrato diventa:
(2) [tex](1+x+o(x))^{2}=1+x^2+o(x^2)+2x+2\cdot o(x)+2x\cdot o(x)= 1+2x+o(x)[/tex], avendo posto nell'ultimo
passaggio: [tex]2\cdot o(x)=o(x)[/tex] e [tex]2x\cdot o(x)=o(x^2)[/tex] ed avendo quindi trascurato tutti i termini di ordine superiore al primo; sostituisci la (2) nella (1) e trovi:
[tex](1+x+o(x))^{3}=(1+2x+ o(x))\cdot (1+x+o(x))[/tex] ; ora fai il prodotto, ripeti il "trucco" ed eliminando tutti i termini di
ordine superiore al primo (che è come se venissero "fagocitati" dall' [tex]o(x)[/tex]) trovi: [tex](1+x+o(x))^{3}=1+3x+ o(x)[/tex].
Così ti è chiaro?
(1) [tex](1+x+o(x))^{3}=(1+x+o(x))^{2}(1+x+o(x))[/tex]; il quadrato diventa:
(2) [tex](1+x+o(x))^{2}=1+x^2+o(x^2)+2x+2\cdot o(x)+2x\cdot o(x)= 1+2x+o(x)[/tex], avendo posto nell'ultimo
passaggio: [tex]2\cdot o(x)=o(x)[/tex] e [tex]2x\cdot o(x)=o(x^2)[/tex] ed avendo quindi trascurato tutti i termini di ordine superiore al primo; sostituisci la (2) nella (1) e trovi:
[tex](1+x+o(x))^{3}=(1+2x+ o(x))\cdot (1+x+o(x))[/tex] ; ora fai il prodotto, ripeti il "trucco" ed eliminando tutti i termini di
ordine superiore al primo (che è come se venissero "fagocitati" dall' [tex]o(x)[/tex]) trovi: [tex](1+x+o(x))^{3}=1+3x+ o(x)[/tex].
Così ti è chiaro?
"Palliit":
Ti faccio un esempio con uno sviluppo diverso, supponendo comunque che lo sviluppo sia intorno ad [tex]x=0[/tex]:
(1) [tex](1+x+o(x))^{3}=(1+x+o(x))^{2}(1+x+o(x))[/tex]; il quadrato diventa:
(2) [tex](1+x+o(x))^{2}=(1+x^2+o(x^2)+2x+2\cdot o(x)+2x\cdot o(x))= (1+2x+o(x))[/tex], avendo posto nell'ultimo
passaggio: [tex]2\cdot o(x)=o(x)[/tex] e [tex]2x\cdot o(x)=o(x^2)[/tex] ed avendo quindi trascurato tutti i termini di ordine superiore al primo; sostituisci la (2) nella (1) e trovi:
[tex](1+x+o(x))^{3}=(1+2x+ o(x))\cdot (1+x+o(x))[/tex] ; ora fai il prodotto, ripeti il "trucco" ed eliminando tutti i termini di
ordine superiore al primo (che è come se venissero "fagocitati" dall' [tex]o(x)[/tex]) trovi: [tex](1+x+o(x))^{3}=1+3x+ o(x)[/tex].
Così ti è chiaro?
si, ho capito, grazie mille
vado ad applicarlo all'esercizio. ciao
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