Come dimostrare che un limite esiste ed è infinito ?

[previ91]

Buongiorno a tutti ,

quando devo calcolare un limite per una funzione di più variabili , per dimostrare l'esistenza del limite devo dimostrare che $|f(x,y)-l| \leq g(x,y) \rightarrow 0$ (oppure in coordinate polari) ma quando trovo che il limite è infinito come faccio a dimostrarlo ?

L'esercizio che sto considerando è il seguente :

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} {x^3 + xy^2}/{(x^2 + y^2)^{3/2}}$

[ELWOOD1]

Sicuro faccia infinito?
così a occhio mi sembra una forma indeterminata del tipo $[\frac{0}{0}]$

[Gi81]

\[

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x^3 + xy^2}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}} =

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x (x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}}=

\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x}{(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}}

\]
Direi che non esiste il limite: guarda qui.

[previ91]

Chiedo fortemente scusa per la mia idiozia...il limite era $lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} {x^2 + 2y^2}/{(x^2 + y^2)^{3/2}}$

[Gi81]

In questo caso farei una cosa del genere: dato che \( x^2 +2y^2 \geq x^2+y^2\),
il nostro limite è maggiore o uguale di \[
\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}
\]
Passando a coordinate polari abbiamo
\[
\lim_{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\rho}= +\infty
\]

[previ91]

Grazie mille.... chiaro e veloce =)