[funzioni] convergenza puntuale ed uniforme
Ciao a tutti,
ho un' pò di dubbi riguardo al seguente esercizio:
Sia
$f_n(x)={(nx\frac{x^2-x-n}{x^2+n}+1, (1)),(\frac{x^4}{x^2+n},(2)):}$
La $(1)$ è definita con $x in [0,1/n]$ mentre la $(2)$ con $x in (1/n,+oo)$
Mi si chiede di individuare:
- L'insieme di convergenza puntuale e la funzione limite
- Dire se $f_n(x)$ converge uniformemente su tale insieme
- Dire se $f_n(x)$ converge uniformemente su intervalli chiusi e limitati di tale insieme.
_____________
1.
Per la convergenza puntuale non credo di aver problemi, infatti vedo che il
$lim_{n-> +oo} f_n(x)=1$ con $x=0$ mentre $lim_{n-> +oo} f_n(x)=0$ con $x in (0,+oo)$
Per cui posso concludere che la serie converge puntualmente su $E[0,+oo)$ alle funzioni limite sopra dette.
2.
Per la convergenza uniforme ho un'pò di problemi. Io ho ragionato nella seguente maniera:
Vedo ad esempio che con $0non vale l'asserto di convergenza uniforme:
$|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ indefinitamente
infatti otterrei $|nx\frac{x^2-x-n}{x^2+n}+1-1|<\varepsilon$ il che è falso in quanto il $lim_{n->+oo} nx\frac{x^2-x-n}{x^2+n} = +oo$
Per cui posso affermare che $f_n(x)$ non converge uniformemente a $f(x)$ nell'intervallo $[0,1/n]$. E' corretto?
Nell'intervallo $(1/n,+oo)$ vedo che $|\frac{x^4}{x^2+n}|<\varepsilon$ vale per ogni $n$ se e solo se $x<+oo$
Per cui concludendo potrei affermare che $f_n(x)$ conv. uniformemente a $f(x)$ in un sottoinsieme $[a,b] sub E$
con $a>1/n$ e $b<+oo$
Può andare come ragionamento?
Altra domanda, siccome valutiamo la convergenza al crescere di $n$ possiamo affermare che il punto dell'intervallo $1/n$ sia prossimo allo zero? Per cui verrebbe $a>0$ ?
Vi ringrazio
ho un' pò di dubbi riguardo al seguente esercizio:
Sia
$f_n(x)={(nx\frac{x^2-x-n}{x^2+n}+1, (1)),(\frac{x^4}{x^2+n},(2)):}$
La $(1)$ è definita con $x in [0,1/n]$ mentre la $(2)$ con $x in (1/n,+oo)$
Mi si chiede di individuare:
- L'insieme di convergenza puntuale e la funzione limite
- Dire se $f_n(x)$ converge uniformemente su tale insieme
- Dire se $f_n(x)$ converge uniformemente su intervalli chiusi e limitati di tale insieme.
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1.
Per la convergenza puntuale non credo di aver problemi, infatti vedo che il
$lim_{n-> +oo} f_n(x)=1$ con $x=0$ mentre $lim_{n-> +oo} f_n(x)=0$ con $x in (0,+oo)$
Per cui posso concludere che la serie converge puntualmente su $E[0,+oo)$ alle funzioni limite sopra dette.
2.
Per la convergenza uniforme ho un'pò di problemi. Io ho ragionato nella seguente maniera:
Vedo ad esempio che con $0
$|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ indefinitamente
infatti otterrei $|nx\frac{x^2-x-n}{x^2+n}+1-1|<\varepsilon$ il che è falso in quanto il $lim_{n->+oo} nx\frac{x^2-x-n}{x^2+n} = +oo$
Per cui posso affermare che $f_n(x)$ non converge uniformemente a $f(x)$ nell'intervallo $[0,1/n]$. E' corretto?
Nell'intervallo $(1/n,+oo)$ vedo che $|\frac{x^4}{x^2+n}|<\varepsilon$ vale per ogni $n$ se e solo se $x<+oo$
Per cui concludendo potrei affermare che $f_n(x)$ conv. uniformemente a $f(x)$ in un sottoinsieme $[a,b] sub E$
con $a>1/n$ e $b<+oo$
Può andare come ragionamento?
Altra domanda, siccome valutiamo la convergenza al crescere di $n$ possiamo affermare che il punto dell'intervallo $1/n$ sia prossimo allo zero? Per cui verrebbe $a>0$ ?
Vi ringrazio
Risposte
La prima parte è giusta.
Per la seconda parte ti sei in un certo senso autorisposto alla fine. Come puoi arrivare ad una conclusione che c'è convergenza uniforme su un insieme che dipende da n.
Quando fai il limite in n vedendo che fa infinito sbagli perchè quando spingi n all'infinito la funzione diventa la (2).
La definizione di convergenza uniforme in un inseme A è
$forall e>0 exists N : forall x in A \quad forall n>=N \quad |f_n(x)-f(x)|
Ora considera $A=(a,+infty)$ poi $(0,a)$ poi $[0,a)$ e vedi che succede.
Per la seconda parte ti sei in un certo senso autorisposto alla fine. Come puoi arrivare ad una conclusione che c'è convergenza uniforme su un insieme che dipende da n.
Quando fai il limite in n vedendo che fa infinito sbagli perchè quando spingi n all'infinito la funzione diventa la (2).
La definizione di convergenza uniforme in un inseme A è
$forall e>0 exists N : forall x in A \quad forall n>=N \quad |f_n(x)-f(x)|
Ora considera $A=(a,+infty)$ poi $(0,a)$ poi $[0,a)$ e vedi che succede.
ok quindi escludendo $x=0$ dovrei esclusivamente considerare la $(2)$? quindi mi sembra un' pò un trucchetto il primo intervallo, avrebbero potuta semplicemente definire la $(1)$ per $x=0$ e basta
Ho anche pensato a una cosa (magari mi sbaglio) studiare il limite dell'intervallo $x=1/n$ con $n->+oo$ significa studiare il punto $x=0$ per cui già con $x>0$ dovrei studiare la $(2)$
Può andare?
Può andare?
"ELWOOD":
ok quindi escludendo $x=0$ dovrei esclusivamente considerare la $(2)$? quindi mi sembra un' pò un trucchetto il primo intervallo, avrebbero potuta semplicemente definire la $(1)$ per $x=0$ e basta
Sni... Nel senso che se fissi una x>0 e fai variare n con x bloccato allora definitivamente la tua funzione verrà definita tramite la 2. Se però permetti ad x di muoversi allora no. Se ad esmpio definisci $x_n=1/n^2$ allora $f_n(x_n)$ sarà definita dalla 1 questo perchè e vero che il dominio di 1 si restringe ma anche il punto corre verso 0 ( e più velocemente).
A parte questo l'esercizio lo hai svolto. Per studiare la convergenza uniforme in un insieme puoi anche ricorrere allo studio di questa successione $a_n= s up_{x in A} |f_n(x)-f(x)|$ e vi è convergenza se e solo se quella successione converge a 0.
Cosi ti riduci la convergenza uniforme ad un semplice studio di funzioni.
"DajeForte":
Per studiare la convergenza uniforme in un insieme puoi anche ricorrere allo studio di questa successione $a_n= s up_{x in A} |f_n(x)-f(x)|$ e vi è convergenza se e solo se quella successione converge a 0.
Cosi ti riduci la convergenza uniforme ad un semplice studio di funzioni.
Si ma a volte questo metodo risulta abbastanza complicato e non vedo intuitivamente quale possa essere l'insieme di convergenza uniforme.
Tu ad esempio l'avresti risolto in quella maniera?
Intanto ti ringrazio
Considera $0
Ovviamente è tutto uguale se consideri $A=[a,+infty)$.
Dunque bisogna bloccare la x. $A=(a,b)$. (anche qua è uguale se chiusi o aperti tanto otterremo qualche cosa che vale per ogni a e b).
Vale lo stesso discorso di prima sul fatto che la funzione è la 2. $s up_A |x^4/(x^2+n)|$. Se ti studi la funzione $x^4/(x^2+n)$ vedi che è positiva e crescente dunque il sup è ragiunto in b e vale $b^4/(b^2+n)$ che tende a 0. Qua invece c'è convergenza.
$A=(0,b)$. Qua lascio a te lo studio della convergenza...
Ovviamente è tutto uguale se consideri $A=[a,+infty)$.
Dunque bisogna bloccare la x. $A=(a,b)$. (anche qua è uguale se chiusi o aperti tanto otterremo qualche cosa che vale per ogni a e b).
Vale lo stesso discorso di prima sul fatto che la funzione è la 2. $s up_A |x^4/(x^2+n)|$. Se ti studi la funzione $x^4/(x^2+n)$ vedi che è positiva e crescente dunque il sup è ragiunto in b e vale $b^4/(b^2+n)$ che tende a 0. Qua invece c'è convergenza.
$A=(0,b)$. Qua lascio a te lo studio della convergenza...
Potrei derivare rispetto a $n$ trovandomi il max nell'intervallo dell'estremo superiore.
Otterrei però $-\frac{x^4}{(x^2+n)^2}=0$ per cui $n$ dovrebbe tendere all'infinito. Ma limitando di fatto l'intervallo a $(0,b)$ non posso affermare vi sia convergenza o sbaglio?
Otterrei però $-\frac{x^4}{(x^2+n)^2}=0$ per cui $n$ dovrebbe tendere all'infinito. Ma limitando di fatto l'intervallo a $(0,b)$ non posso affermare vi sia convergenza o sbaglio?
Mhmhm...non mi pare che ci siamo molto. A parte che non ho bene capito cosa fai, comunque ti consiglio di rivedere la nozione di convergenza uniforme, cercare di comprenderla e partire da qualche esempio/esercizio più semplice e che dunque sia più esplicativo (ti faccia capire).
Comunque in $(0,b)$ consideriamo i punti $1/n^2$ che sono maggiori di 0 (tendono a 0) e sono sempre inclusi negli intevalli $[0,1/n]$.
Dunque $|f_n(1/n^2)-f(1/n^2)|=|1+1/n(1/n^4-1/n^2-n)/(1/n^4+n)|$ che converge a 1 quando n cresce; ad esempio esiste un N tale che quella quantità è maggiore di 1/2 per ogni n>N.
Dunque $s up_{x in (0,b)}|f_n(x)-f(x)|>=1/2$ per ogni n>N e dunque non vi è convergenza uniforme.
Comunque in $(0,b)$ consideriamo i punti $1/n^2$ che sono maggiori di 0 (tendono a 0) e sono sempre inclusi negli intevalli $[0,1/n]$.
Dunque $|f_n(1/n^2)-f(1/n^2)|=|1+1/n(1/n^4-1/n^2-n)/(1/n^4+n)|$ che converge a 1 quando n cresce; ad esempio esiste un N tale che quella quantità è maggiore di 1/2 per ogni n>N.
Dunque $s up_{x in (0,b)}|f_n(x)-f(x)|>=1/2$ per ogni n>N e dunque non vi è convergenza uniforme.
"DajeForte":
Dunque $s up_{x in (0,b)}|f_n(x)-f(x)|>=1/2$ per ogni n>N e dunque non vi è convergenza uniforme.
Allora se non converge in $0
In parole povere non riesco a capire perchè, nel momento in cui andiamo a studiare $f_n(x)$ per $x>0$ passiamo direttamente alla $(2)$ senza analizzare l'intervallo $0
Posso dire che converge uniformemente solo se converge per $n->oo$ ma soprattutto per ogni $x in I$
In questo caso una parte di intervallo non da convergenza per cui io direi che converge solo con $x>1/n$ no?
Non capisco bene cosa vuoi dire. Che vuole dire che converge solo per $x>1/n$. Per qualche valore di n? Per il limite?
Fai attenzione che c'è una differenza abissale tra $(0,b)$ e $(a,b)$.
puoi passare direttamente alla (2) quando consideri intervalli del tipo$quad (a,b)$ perchè tanto una volta che n cresce l'insieme di definizione della 1 sarà disgiunto con quell'intervallo.
Ovvero $(0,1/n) cap (a,b)$ da un certo n sarà vouto.
Al contrario $(0,1/n) cap (0,b)$ non sarà vouto per ogni n.
Fai attenzione che c'è una differenza abissale tra $(0,b)$ e $(a,b)$.
puoi passare direttamente alla (2) quando consideri intervalli del tipo$quad (a,b)$ perchè tanto una volta che n cresce l'insieme di definizione della 1 sarà disgiunto con quell'intervallo.
Ovvero $(0,1/n) cap (a,b)$ da un certo n sarà vouto.
Al contrario $(0,1/n) cap (0,b)$ non sarà vouto per ogni n.
"DajeForte":
puoi passare direttamente alla (2) quando consideri intervalli del tipo$quad (a,b)$ perchè tanto una volta che n cresce l'insieme di definizione della 1 sarà disgiunto con quell'intervallo.
Ecco la conferma su come considerare l'intervallo!
Ti ringrazio molto sei stato di grande aiuto.
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