Integrale della secante

[gcappellotto]

Salve a tutti
sto confrontando vari metodi per il calcolo dell'integrale della secante di un angolo, in particolare ho trovato questo:

$\int \sec(x) dx$
$D(\sec(x)+\tan(x))=(\sec(x)+\tan(x))(\sec(x))$
$u=\sec(x)+\tan(x) \qquad u'=u\ \sec(x)dx$
$\sec(x)=\frac{u'}{u}=D(\log (u))=D(\log|\sec(x)+\tan(x)|$
$\int \sec(x)dx=\log|\sec(x)+\tan(x)|+C$

Un secondo metodo è il seguente:
$\int \sec(x)dx=\int 1/cos(x) dx=2 \int dt/(1-t^2)$
A questo punto si riduce in fratti semplici e si calcola facilmente.
Quello che non mi è chiara è la sostituzione $\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2} \to 1/\cos(x)=\frac{1+t^2}{1-t^2}$
dalla quale si arriva a: $ \frac{2 dt}{1+t^2}$

Grazie per le osservazioni.
Saluti
Giovanni C.

[gcappellotto]

non mi è chiaro il procedimento che dalla sostituzione $\frac {1}{cos(x)}=\frac{1+t^2}{1-t^2}$ porta ad ottenere $\frac{2 dt}{1-t^2}$

[Gi81]

Ponendo \(t= \tan{\frac{x}{2}}\) hai che \(\cos{x}= \frac{1-t^2}{1+t^2}\) (qui trovi una dimostrazione di questo fatto)

Inoltre \( \frac{x}{2} = \arctan{t}\), dunque \(x= 2 \arctan{t}\). Pertanto \(\text{d} t = \frac{2}{1+t^2} \text{d} t\)

L'integrale diventa \[ \int \frac{\cancel{1+t^2}}{1-t^2} \cdot \frac{2}{\cancel{1+t^2} } \text{d} t = \int \frac{2}{1-t^2} \text{d} t \]

[gcappellotto]

Molte grazie, questo è proprio quello che non mi era chiaro.