Limite (x,y) che tende a (2,1)
Ciao a tutti 
Non sono sicuro di aver effettuato in maniera corretta il calcolo di questo limite, anche se il risultato che mi viene non è un mostro
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,1)}\frac{(y-1)^2 \sin{(\pi x)}}{(x-2)^2 + (y-1)^2}\)
Passando alle coordinate polari impongo
\(\displaystyle \begin{cases} x = 2 + \rho \cos \theta \\ y = 1 + \rho \sin \theta \end{cases} \)
Ottengo
\(\displaystyle \frac{(y^2 +1 - 2y) \sin{(\pi x)}}{(x^2+4-2x) + (y^2+1-2y)} = \)
\(\displaystyle = \frac{(1+\rho^2 \sin^2 \theta + 2 \rho \sin \theta +1 - 2 - 2 \rho \sin \theta) \cdot \sin{(2\pi + \pi \rho \cos \theta)}}{(4 + \rho^2 \cos^2 \theta + 4 \rho \cos \theta + 4 -8-4\rho \cos \theta) + (1 + \rho^2 \sin^2 \theta + 2 \rho \sin \theta +1-2-2\rho\sin\theta)} = \)
\(\displaystyle = \frac{\rho^2 \sin^2 \theta \sin{(2\pi + \pi \rho \cos\theta)}}{\rho^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} \le \frac{\rho^2 \sin{(2\pi+\pi\rho)}}{\rho^2} = \sin{(2\pi+\pi\rho)} \)
\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{\rho \rightarrow 0} \left ( \sin{(2\pi+\pi\rho)} \right ) = \sin{2\pi} = 0 \)
Il dubbio che mi è sorto è: il pezzo finale si può maggiorare? - tipo:
\(\displaystyle \sin{(2 \pi+ \pi \rho)} \le 2 \pi + \pi \rho \) ?
Però nel caso si potesse, il limite sarebbe diverso
\(\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow 0} \left ( 2\pi+\pi\rho \right ) = 2\pi \)
Non sono sicuro di aver effettuato in maniera corretta il calcolo di questo limite, anche se il risultato che mi viene non è un mostro
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,1)}\frac{(y-1)^2 \sin{(\pi x)}}{(x-2)^2 + (y-1)^2}\)
Passando alle coordinate polari impongo
\(\displaystyle \begin{cases} x = 2 + \rho \cos \theta \\ y = 1 + \rho \sin \theta \end{cases} \)
Ottengo
\(\displaystyle \frac{(y^2 +1 - 2y) \sin{(\pi x)}}{(x^2+4-2x) + (y^2+1-2y)} = \)
\(\displaystyle = \frac{(1+\rho^2 \sin^2 \theta + 2 \rho \sin \theta +1 - 2 - 2 \rho \sin \theta) \cdot \sin{(2\pi + \pi \rho \cos \theta)}}{(4 + \rho^2 \cos^2 \theta + 4 \rho \cos \theta + 4 -8-4\rho \cos \theta) + (1 + \rho^2 \sin^2 \theta + 2 \rho \sin \theta +1-2-2\rho\sin\theta)} = \)
\(\displaystyle = \frac{\rho^2 \sin^2 \theta \sin{(2\pi + \pi \rho \cos\theta)}}{\rho^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} \le \frac{\rho^2 \sin{(2\pi+\pi\rho)}}{\rho^2} = \sin{(2\pi+\pi\rho)} \)
\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{\rho \rightarrow 0} \left ( \sin{(2\pi+\pi\rho)} \right ) = \sin{2\pi} = 0 \)
Il dubbio che mi è sorto è: il pezzo finale si può maggiorare? - tipo:
\(\displaystyle \sin{(2 \pi+ \pi \rho)} \le 2 \pi + \pi \rho \) ?
Però nel caso si potesse, il limite sarebbe diverso
\(\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow 0} \left ( 2\pi+\pi\rho \right ) = 2\pi \)
Risposte
"Brancaleone":
\(\displaystyle = \frac{\rho^2 \sin^2 \theta \sin{(2\pi + \pi \rho \cos\theta)}}{\rho^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} \le
Non mi è chiaro il secodno passaggio! Dovresti avere: $sin^2(\theta)sin(2\pi+\pi\rhocos(\theta))$ che a me non sembra valere $AA \theta$, quindi direi che non è uniformemente continua in quel punto.
Eh... non ho capito... 
nella prima parentesi al numeratore sparisce tutto tranne \(\displaystyle \rho^2 \sin^2 \theta \)
nella prima parentesi al numeratore sparisce tutto tranne \(\displaystyle \rho^2 \sin^2 \theta \)
Ah scusa intendevi il passaggio della maggiorazione!
Sì, verrebbe \(\displaystyle \sin^2 \theta \sin{(2\pi + \pi\rho \cos \theta)} \)
Perché non varrebbe per qualunque \(\displaystyle \theta \)? Se maggioro tenendo conto che \(\displaystyle |\sin \theta | , |\cos \theta | \le 1 \), allora posso scrivere
\(\displaystyle \sin^2 \theta \sin{(2\pi + \pi\rho \cos \theta)} \le \sin{(2\pi+ \pi\rho)}\)
no?
Sì, verrebbe \(\displaystyle \sin^2 \theta \sin{(2\pi + \pi\rho \cos \theta)} \)
Perché non varrebbe per qualunque \(\displaystyle \theta \)? Se maggioro tenendo conto che \(\displaystyle |\sin \theta | , |\cos \theta | \le 1 \), allora posso scrivere
\(\displaystyle \sin^2 \theta \sin{(2\pi + \pi\rho \cos \theta)} \le \sin{(2\pi+ \pi\rho)}\)
no?
Scusa mi sono sbagliato, la funzione è uniform. continua. Assodato che venga $sin^2(\theta)sin(2\pi+\pi\rhocos(\theta))$, se mandi $\rho->0$ hai questa quantità $sin^2(\theta)sin(2\pi)=0$ $AA\theta$, quindi la funzione è continua nel punto.
Scusami ancora XD
Scusami ancora XD
Tranquillo anzi grazie che ci hai dato un occhiata XD
Ma il dubbio rimane: non si può maggiorare
\(\displaystyle \sin{(2 \pi+ \pi \rho)} \le 2 \pi + \pi \rho \)
vero?
anzi grazie che ci hai dato un occhiata XDMa il dubbio rimane: non si può maggiorare
\(\displaystyle \sin{(2 \pi+ \pi \rho)} \le 2 \pi + \pi \rho \)
vero?
Maggiorando quella quantità non è più vero che il limite è $0$ perchè avresti: $sin^2(\theta)sin(2\pi+\pi\rhocos(\theta))<=|\theta|^2|2\pi+\pi\rhocos(\theta)|=|\theta|^2(2\pi+\pi|\rho||cos(\theta)|)=|\theta|^2(2\pi+\pi|\rho|)->2\pi|\theta|^2$ per $\rho->0$.
A me pare che il limite non esiste 
infatti hai ragione plepp! con il mio ultimo post mi sono reso conto XD! 
Ehm, il limite esiste, fa parte di una piccola raccolta dove nell'intestazione si afferma che tutti i limiti dell'elenco esistono (ecco perché tra l'altro non ho controllato con il metodo delle restrizioni)
Ne sei sicuro? Perchè se cosi fosse allora dovrebbe esistere anche usando gli sviluppi asintotici e, a meno che non abbia sbagliato i calcoli, non risulta che il limite esista.
Sono sicuro che secondo il foglio da dove l'ho preso il limite esiste
allora non so che dirti mi dispiace 
Tranquillo
Ma perché il limite non esisterebbe secondo i tuoi calcoli?
Cioè mi spiego meglio: di risultato io ne ho trovato uno - se ho fatto i passaggi giusti, s'intende - che verrebbe nullo.
Poi mi è venuto il dubbio sulla seconda maggiorazione: se farla non è lecito, allora il limite dovrebbe esistere e valere 0, no?
Ma perché il limite non esisterebbe secondo i tuoi calcoli?
Cioè mi spiego meglio: di risultato io ne ho trovato uno - se ho fatto i passaggi giusti, s'intende - che verrebbe nullo.
Poi mi è venuto il dubbio sulla seconda maggiorazione: se farla non è lecito, allora il limite dovrebbe esistere e valere 0, no?
Perchè facendo quelle maggiorazioni si arriva ad un risultato che dipende da $\theta$, quindi questo ti fa capire che il limite assume valori diversi a seconda di come varia teta.
Ma di quello che ho fatto io non dipende da theta e perlomeno sembra giusta, no?
Scusa Branca ma non capisco a quale maggiorazione ti riferisci. xD
Intanto, hai fatto un sacco di conti inutili:
$\{(x-2=rhocostheta),(y-1=rhosentheta):} rarr [(x-2)^2+(y-1)^2=rho^2] rarr$
$rarr [lim_((x,y)->(2,1))[((y-1)^2sen(pix))/((x-2)^2+(y-1)^2)]=lim_(rho->0^+)[sen^2thetasen(pirhocostheta)]]$
Inoltre:
$[|sen^2thetasen(pirhocostheta)|<=|pirhosen^2thetacostheta|<=pirho]$
$\{(x-2=rhocostheta),(y-1=rhosentheta):} rarr [(x-2)^2+(y-1)^2=rho^2] rarr$
$rarr [lim_((x,y)->(2,1))[((y-1)^2sen(pix))/((x-2)^2+(y-1)^2)]=lim_(rho->0^+)[sen^2thetasen(pirhocostheta)]]$
Inoltre:
$[|sen^2thetasen(pirhocostheta)|<=|pirhosen^2thetacostheta|<=pirho]$
Si speculor ma in fin dei conti sto limite esiste oppure no? Abbiamo dato almeno tre possibili soluzioni di questo limite di cui una dice che non esiste.
EDIT: e perchè con l'altro metodo non mi trovo lo stesso risultato?
EDIT: e perchè con l'altro metodo non mi trovo lo stesso risultato?
@paolotesla91: a questa
\(\displaystyle \sin{(2 \pi+ \pi \rho)} \le 2 \pi + \pi \rho \)
che ripeto credo non si possa fare (ammettendo che l'intestazione dica il vero, e che quindi il limite esiste, questo passaggio non può essere possibile)
@speculor: Ah... eeeh... già...
è vero... ci son arrivato lo stesso ma per la via più lunga...
Ma allora fine è vero: il limite esiste e vale 0.
Devo allora aver fatto un errore per essere arrivato a \(\displaystyle \sin{(2 \pi+ \pi \rho)}\)
\(\displaystyle \sin{(2 \pi+ \pi \rho)} \le 2 \pi + \pi \rho \)
che ripeto credo non si possa fare (ammettendo che l'intestazione dica il vero, e che quindi il limite esiste, questo passaggio non può essere possibile)
@speculor: Ah... eeeh... già...
è vero... ci son arrivato lo stesso ma per la via più lunga...Ma allora fine è vero: il limite esiste e vale 0.
Devo allora aver fatto un errore per essere arrivato a \(\displaystyle \sin{(2 \pi+ \pi \rho)}\)
@Brancaleone: si puoi maggiorare in quel modo.
EDIT: a patto che tu lo scriva con il modulo.
EDIT: a patto che tu lo scriva con il modulo.
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