Uguaglianza dei flussi
Siano [tex]F,G \colon \mathbb R^{n} \to \mathbb{R}^{n}[/tex] campi vettoriali di classe $C^1$. Si mostri con un esempio che la condizione di uguaglianza dei flussi
\[
\int_{\partial \Omega} F \cdot \nu \mathrm{d}\sigma = \int_{\partial \Omega} G \cdot \nu \mathrm{d}\sigma
\]
per ogni dominio [tex]\Omega[/tex] limitato e con frontiera $C^{1}$ non implica in generale che $F-G$ è costante.
Si mostri invece che se $F,G$ sono irrotazionali e limitati, allora la condizione di uguaglianza dei flussi è sufficiente per concludere che $F-G$ è costante.
Prima di esporre le mie idee, lasciatemi dire che secondo me il testo è scritto male: che vuol dire irrotazionale per $n>3$? L'unica risposta che mi sono dato è: associo al campo $F = (f_1, \ldots, f_n)$ la 1-forma differenziale $\omega = f_1dx_1+\ldots+f_ndx_n$ e dico che $F$ è irrotazionale se $\omega$ è chiusa, $d\omega=0$. Che dite? Non che io ne sia molto convinto, ma è l'unica analogia che mi è venuta in mente con $\mathbb{R}^{3}$...
Ad ogni modo, viste le buone ipotesi di regolarità anche sul dominio, direi che posso applicare il teorema della divergenza e il problema si può quindi riformulare in termini di integrali di volume (e non di superficie) come
\[
\int_{\Omega} \text{div} H \mathrm{d}x = 0 \Rightarrow H = \mathbf{c}
\]
E' chiaro che in generale questo è falso, basta prendere il campo [tex]H \colon \mathbb R^{2} \to \mathbb R^{2}[/tex] che manda $(x,y) \mapsto (x,-y)$. La divergenza è nulla, ma il campo non è costante. Vi torna?
E per la seconda parte? Non so bene che cosa fare, anche perchè temo di non aver ben chiaro il testo.
Grazie.
Risposte
Per il secondo punto (pregasi controllare):
per ipotesi \(H = F-G\) è un campo vettoriale irrotazionale su tutto \(\mathbb{R}^n\), dunque è conservativo, vale a dire esiste un potenziale \(V\in C^2(\mathbb{R}^n)\) tale che \(H = \nabla V\).
D'altra parte \(H\) ha divergenza nulla, dunque \(\Delta V = 0\), cioè \(V\) è una funzione armonica (in particolare, \(V\) è di classe \(C^{\infty}\)).
Ora, se \(V\) è una funzione armonica, anche le sue derivate parziali \(\partial_i V\) lo sono; dato che per ipotesi queste sono funzioni limitate, per il teorema di Liouville sono costanti. In conclusione, \(H = \nabla V\) è un vettore costante.
per ipotesi \(H = F-G\) è un campo vettoriale irrotazionale su tutto \(\mathbb{R}^n\), dunque è conservativo, vale a dire esiste un potenziale \(V\in C^2(\mathbb{R}^n)\) tale che \(H = \nabla V\).
D'altra parte \(H\) ha divergenza nulla, dunque \(\Delta V = 0\), cioè \(V\) è una funzione armonica (in particolare, \(V\) è di classe \(C^{\infty}\)).
Ora, se \(V\) è una funzione armonica, anche le sue derivate parziali \(\partial_i V\) lo sono; dato che per ipotesi queste sono funzioni limitate, per il teorema di Liouville sono costanti. In conclusione, \(H = \nabla V\) è un vettore costante.
Ti ringrazio molto per la risposta. Bello, semplice e pulito: direi che funziona tutto.
Solo una curiosità: ti torna la "mia" definizione di irrotazionale per $n >3$? Grazie ancora.
Solo una curiosità: ti torna la "mia" definizione di irrotazionale per $n >3$? Grazie ancora.
"Paolo90":
Solo una curiosità: ti torna la "mia" definizione di irrotazionale per $n >3$? Grazie ancora.
Sì; in genere un campo \(F\) si dice irrotazionale se \(\frac{\partial F_j}{\partial x_i} = \frac{\partial F_i}{\partial x_j}\) per ogni \(i,j\).
Bene, grazie per la conferma.
Comunque, ripensando alla tua dimostrazione, questa mattina mi è venuto un dubbio (è una cosa a cui ieri sera, leggendo la tua risposta, non ho pensato):
Mi chiedo: perchè la divergenza è nulla? Io so che [tex]\int_{\Omega} \mathrm{div}H \mathrm{d}x = 0[/tex]. Da qui segue che [tex]\mathrm{div}H=0[/tex] q.o. in $\Omega$ da cui, per la regolarità della funzione e l'arbitrarietà di $\Omega$, [tex]\mathrm{div}H = 0[/tex] su tutto $\mathbb R^{n}$.
E' corretto? Probabilmente è un dettaglio irrilevante, ma preferisco fare la domanda che tenermi il dubbio.
Grazie ancora.
Comunque, ripensando alla tua dimostrazione, questa mattina mi è venuto un dubbio (è una cosa a cui ieri sera, leggendo la tua risposta, non ho pensato):
"Rigel":
Per ipotesi \(H = F-G\) è un campo vettoriale irrotazionale su tutto \(\mathbb{R}^n\) [...] D'altra parte \(H\) ha divergenza nulla [...]
Mi chiedo: perchè la divergenza è nulla? Io so che [tex]\int_{\Omega} \mathrm{div}H \mathrm{d}x = 0[/tex]. Da qui segue che [tex]\mathrm{div}H=0[/tex] q.o. in $\Omega$ da cui, per la regolarità della funzione e l'arbitrarietà di $\Omega$, [tex]\mathrm{div}H = 0[/tex] su tutto $\mathbb R^{n}$.
E' corretto? Probabilmente è un dettaglio irrilevante, ma preferisco fare la domanda che tenermi il dubbio.
Grazie ancora.
Tu hai che \(\int_{\Omega}\text{div} H = 0\) per ogni dominio \(\Omega\) (sufficientemente regolare).
Ciò implica che \(\text{div} H = 0\) in \(\mathbb{R}^n\).
In questo caso (\(\text{div} H\) continua) la dimostrazione è immediata: se per assurdo tu avessi \(\text{div} H (x_0)\neq 0\), per la permanenza del segno troveresti una pallina \(\Omega\) centrata in \(x_0\) dove \(\text{div} H\) ha lo stesso segno di \(\text{div} H(x_0)\), dunque otterresti l'assurdo \(\int_{\Omega}\text{div} H \neq 0\).
Ciò implica che \(\text{div} H = 0\) in \(\mathbb{R}^n\).
In questo caso (\(\text{div} H\) continua) la dimostrazione è immediata: se per assurdo tu avessi \(\text{div} H (x_0)\neq 0\), per la permanenza del segno troveresti una pallina \(\Omega\) centrata in \(x_0\) dove \(\text{div} H\) ha lo stesso segno di \(\text{div} H(x_0)\), dunque otterresti l'assurdo \(\int_{\Omega}\text{div} H \neq 0\).
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