Dubbio su punti di discontinuità
Ciao, scrivo per un semplice dubbio circa la classificazione di un tipo di punto di discontinuità.
La funzione $ y=e^{frac{1}{ln x}} $ ha per $x=0$ un punto di discontinuità. Secondo me questo dovrebbe essere un punto di discontinuità di II specie in quanto $lim_{x rightarrow 0^-}e^{frac{1}{ln x}} $ non esiste. Invece su alcuni testi è classificato come discontinuità di terza specie (eliminabile) perchè $lim_{x rightarrow 0^+}e^{frac{1}{ln x}}=1 $..
Ma non dovrebbe bastare la non esistenza del limite sinistro (a prescindere dal valore del limite destro) per considerarlo come II specie? Se non ricordo male infatti per essere di III specie deve esistere sia il limite sinistro che destro.
Qualcuno sa dirmi come devo interpretare questa situazione?
Grazie
PS so che la classificazione dei punti di discontinuità è trattata in modo diverso in molti testi ma io mi riferisco al metodo più diffuso cioè I specie: discontinuità con salto, II specie: discontinuità essenziale, III specie: discontinuità eliminabile.
La funzione $ y=e^{frac{1}{ln x}} $ ha per $x=0$ un punto di discontinuità. Secondo me questo dovrebbe essere un punto di discontinuità di II specie in quanto $lim_{x rightarrow 0^-}e^{frac{1}{ln x}} $ non esiste. Invece su alcuni testi è classificato come discontinuità di terza specie (eliminabile) perchè $lim_{x rightarrow 0^+}e^{frac{1}{ln x}}=1 $..
Ma non dovrebbe bastare la non esistenza del limite sinistro (a prescindere dal valore del limite destro) per considerarlo come II specie? Se non ricordo male infatti per essere di III specie deve esistere sia il limite sinistro che destro.
Qualcuno sa dirmi come devo interpretare questa situazione?
Grazie
PS so che la classificazione dei punti di discontinuità è trattata in modo diverso in molti testi ma io mi riferisco al metodo più diffuso cioè I specie: discontinuità con salto, II specie: discontinuità essenziale, III specie: discontinuità eliminabile.
Risposte
Secondo me tutte le definizioni vanno applicate a seconda del dominio della funzione che stiamo studiando. Infatti c'è una netta differenza tra "non esistenza del limite" e "non esistenza della funzione in un determinato punto". Nel nostro caso il dominio è $D=(0,+oo)$ quindi significa che nello studio degli eventuali asintoti verticali possiamo calcolare soltanto:
$lim_(x->0^+)f(x)$
La "non esistenza del limite" si verifica invece quando $lim_(x->c^+)f(x)!=lim_(x->c^-)f(x)$.
Ad esempio se vuoi studiare la tangente nell'intorno dx e sx di $\pi/2$ noterai che i due limiti sono diversi e quindi $\pi/2$ è un punto di discontinuità di seconda specie. Nel tuo caso invece non ti puoi proprio mettere in un intorno sinistro di $0$, cioè la cosa non ha proprio senso.
$lim_(x->0^+)f(x)$
La "non esistenza del limite" si verifica invece quando $lim_(x->c^+)f(x)!=lim_(x->c^-)f(x)$.
Ad esempio se vuoi studiare la tangente nell'intorno dx e sx di $\pi/2$ noterai che i due limiti sono diversi e quindi $\pi/2$ è un punto di discontinuità di seconda specie. Nel tuo caso invece non ti puoi proprio mettere in un intorno sinistro di $0$, cioè la cosa non ha proprio senso.
Grazie per la risposta, allora è corretto affermare che è un punto di discontinuità di terza specie perchè è possibile eliminare tale discontinuità?
Si secondo me si....
Infatti se noti sul grafico la funzione dovrebbe partire dal "punto" $(0,1)$ e non avere un comportamento asintotico a qualche retta...
Infatti se noti sul grafico la funzione dovrebbe partire dal "punto" $(0,1)$ e non avere un comportamento asintotico a qualche retta...
Ok. Grazie!
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