Analisi matematica di base
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A volte Wolfram Alpha mi dà questo simbolo $\tilde \infty$ (infinito tilde, si vede male ) come risultato di alcuni limiti di due variabili. Che cosa significa?
Salve ragazzi, mi serve sapere come si dimostra che l'insieme dei numeri complessi C è uno spazio di Banach. la mia idea è questa:
Considero $ (f_n) $ una successione di Cauchy e definisco la norma di f come $ || f || = |f_n - f_m| $ . Ora potrei considerare il fatto che $C = R \times R$ e quindi scrivere $ (f_n) = (a_n + i b_n) $. ma non so come andare avanti, posto che l'idea sia corretta. buio totale...Grazie per qualunque aiuto!
ciao...scusate se faccio questa domanda ma è un dubbio che mi assilla da giorni...
1) per gradiente si intende il vettore che ha come componenti le derivate prime della funzione f(x,y) rispetto alla x ed alla y. il suo significato geometrico che si trova su tutti i testi di analisi 2 è "la direzione di massima o minima pendenza" senza specificare a cosa si riferisce; o meglio, stiamo parlando di "massima o minima pendenza" della funzione???
2)la derivata direzionale è invece, il prodotto ...
Ciao a tutti, mi trovo di fronte a questo esercizio e non so se la mia soluzione puo' funzionare:
Dimostrare che $2<e<3$.
Ho pensato di fare così:
prima di tutto studiero' il caso $2<e$:
so che $e = \sum_{n=0}^\infty 1/(n!)$, se provo a calcolarmi $e$ per $n=3$ ho:
$e = \sum_{n=0}^3 1/(n!) = 1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)= 1 + 1 + 1/2 = 2.5$.
poiche' la serie $\sum_{n=0}^\infty 1/(n!)$ è a termini positivisono sicuro che al massimo puo' crescere e quindi essendo crescente mi dimostra che $2<e$.
poi studio ...
Vorrei gentilmente richiedere la risoluzione di questo integrale.. so risolversi con una sostituzione del tipo
\( t= x^2 + ... \) ma ci ho provato senza riuscirci help!
\[ \int \sqrt{x^2 +1}\ \text{d} x \]
Vorrei poi chiedere un'altra informazione:
il mio professore è solito fare in alcuni integrali questa sostituzione:
\[ \int \sqrt{y^2 +1} y\ \text{d} y \]
dopo di che il fattore \(ydy \) diventa \(dy^2/2 \) cioè:
\[ \int \sqrt{y^2 +1} \ \text{d} y^2/2 \]
e risolve l'integrale in ...
Ho questo esercizio:
http://i48.tinypic.com/k9e3c9.jpg
a me viene così:
dominio:
$y^2 - x^2 >0$ => $(y-x)(y+x)>0$
$d/dy (cos x - x/sqrt(y^2 - x^2)) = xy/(y^2 -x^2)^(3/2) = d/dx (y/sqrt(y^2 - x^2) +sin y)$
quindi la forma differenziale è chiusa e localmente esatta nei semiconi.
mi sto impappinando sulla ricerca della primitiva e cioè:
$f(x,y) = \int (cos x - x/sqrt(y^2 - x^2) dx + g(y) = sin x - sqrt(y^2 -x^2) + g(y)$
$f_y = y/sqrt(y^2 - x^2) + sin y + g'(y)$
come faccio a trovarmi $g'(y)$ in questo caso?
Prima di scrivere questo topic ho guardato un pò in giro sul forum, e ho trovato varie cose, vorrei vedere se il mio ragionamento sulla mia forma differenziale va bene, e aspetto delle correzioni.
$\omega = (1/sqrt(x-y) + x) dx + (e^y - 1/sqrt(x-y)) dy$
condizione per la chiusura:
$a_x = b_y = 1/(2(x-y)^(3/2))$
vediamo se è esatta, dato che una forma esatta ammette potenziale.
il dominio è semplicemente connesso, poichè vi è una lacuna nell'origine, trovo una primitiva:
$\int (1/sqrt(x-y) + x) dx = (x^2)/2 + 2 sqrt(x-y) + c(y)$
trovo $c(y)$
$c'(y) = - 1/sqrt(x-y)$ => ...
Qalcuno sa fornirmi una dimostrazione abbastanza chiara della regola del cambio di variabili negli integrali doppi? Grazie
Salve a tutti vorrei sapere se la dimostrazione che ho svolto è corretta, purtroppo questa è l'unica che mi è venuta in mente, ed è abbastanza lunga... quindi se avete altre idee fatemi sapere
Sia $f$ continua e non negativa su $I=[a,b]$ allora $\exists \ \lim_n \ (\int_a^b f(x)^n \ \dx)^(1/n)=\max_I \ f$
Ecco la mia soluzione:
Innazitutto per W. $f$ ha massimo, $\exists \ \xi : f(\xi)=M$
Inoltre poiche $f$ è definita su $[a,b]$, $f$ è U.C.
$\forall \epsilon >0 \ \exists \delta >0: \forall x,y \in [a,b]: |x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \epsilon$
Dunque sia ...
Sono appena agli inizi....
$int sqrt(3x +1) dx$
ho poca dimestichezza con i vari metodi risolutivi ma imparo in fretta. Grazie.
Ciao a tutti
Ho il limite
$\lim_{x \to +oo} {\ln(e^{x^2}+1)-\ln(2)}/x^2$
Io l'ho risolto impiegando più volte Hopital:
$=\text{H}={{2xe^{x^2}}/{e^{x^2}+1}-0}/{2x}= {2xe^{x^2}}/{2xe^{x^2}+1}={e^{x^2}}/{e^{x^2}+1}=\text{H}={2xe^{x^2}}/{2xe^{x^2}}=1$
Confrontando con gli appunti di un amico noto che a un certo punto lui usa Taylor:
$...= {e^{x^2}}/{e^{x^2}+1}=\text{T}= {1+x^2+1/2x^4}/{2+x^2+1/2x^4}=\text{H}={2x+2x^3}/{2x+2x^3}=1$
ma non è sbagliato come procedimento? Come posso approssimare una funzione in un intorno di un punto all'infinito? - tra l'altro ha impiegato arbitrariamente come punto di sviluppo $x_0=0$. Si può fare?
stavo cercando di svolgere questo esercizio:
"Si consideri il segnale periodico di periodo T dato in (-T/2, +T/2) da u(t) = t. Si chiede di calcolare
1) I coefficienti dello sviluppo in serie esponenziale di Fourier di u(t)
ora utilizzando questa formula sostituendo t a f(x) e ponendo gli estremi di integrazione -T/2 e T/2, integro per parti.
Il problema è che alla soluzione dice che
$ u_k = -T^2/(2pik)cos(pik) $ per k diverso da 0
il problema è che ho provato in tutti i modi e il risultato non ...
L'integrale in questione è questo:
$\int sqrt(4-9x^2)dx$
Io ho fatto così:
$\int sqrt(4-9x^2)dx$$=$$\int 2sqrt(1-9/4x^2)dx$$=2$$\int sqrt(1-9/4x^2)dx$
A questo punto pongo:
$9/4x^2=t^2$ da cui $dx=2/3dt$ da cui ottengo:
$4/3$$\int sqrt(1-t^2) dt$
La prima cosa istintiva che verrebbe in mente è quella di risolverlo per ...
Salve a tutti, dovrei fare uno studio di continuità sulla seguente funzione di 2 variabili:
\(\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}} & (x,y)\neq0\\
0 & (x,y)=0\end{cases} \)
Lo studio deve essere effettuato nel punto critico 0.
Procedo quindi con il limite in coordinate polari:
\(\displaystyle lim_{(x,y)\rightarrow0}\frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{\rho^{2}cos^{3}\theta sin\theta}{\rho^{2}cos^{4}\theta+sin^{2}\theta} \) (1)
Ora se ...
Buon giorno!
Vorrei sottoporre un esercizio molto interessante che ho svolto.
$text{Si consideri l'uguaglianza} (1-x^2)y+e^2y^3+cos(x+y)=0$ $text{quale delle seguenti affermazioni èsono corretta/e?} $
$text{Definisce implicitamente un'unica funzione} y=\varphi(x)$ $text{definita su tutto}$ $RR$
$text{Il teorema della funzione implicita assicura l'esistenza è l'unicità di}$ $ y=\varphi(x)$ $text{in un intorno di (0,0)}$
La seconda possibilità è sicuramente sbagliata perchè in $text{(0,0)}$ l'uguaglianza è $!=0$
Purtroppo non so come comportarmi per la prima possibilità poichè non mi viene dato alcun punto.
Che ne dite?
L'operatore di Laplace trasforma una funzione di tre variabili in un'altra funzione di tre variabili?
Se ciò è vero, allora nell'equazione $Delta=0$, il secondo membro non è il numero reale $0$ ma la funzione costante nulla di tre variabili $0$, o no?
Grazie!
Ciao a tutti,
devo trovare i punti di discontinuità di una funzione (indicandone il tipo) e trovare gli eventuali assintoti. Ho risolto l'esercizio ma ho molti dubbi sulla procedura.
La funzione è definita così:
$f(x)={((e^(2x)-1)/x,if x>0),(1/(sqrt(x+3)),if -3<x<=0),(xe^(2x), if x<=-3):}$
La procedura che ho seguito è questa:
- ho calcolato $lim_(x->0)((e^(2x)-1)/x)$ sia da destra che da sinistra (separati), il valore dei due limiti è uguale quindi non c'è discotinuità. Il primo dubbio: visto che qui abbiamo che la funzione è definita per x>0, è giusto ...
Salve a tutti,
mi sto imbattendo nello studio di funzioni in due variabili e svolgendo alcuni esercizi non mi son chiari alcuni passaggi.
Svolgendo questo esercizio ad esempio
$f(x,y)={((e^(x^2+y^2)-y^2-1)/sqrt(x^2+y^2),if x!=0),(0,if x=0):}$
mi viene chiesto di studiare la continuità in (0,0), la derivabilità in ogni punto e direzione e la differenziabilità; ma non son sicuro dei risultati che ottengo.
Inizio con la continuità:
il limite per (x,y)->(0,0) è forma indeterminata.
Provo allora con le cordinate polari ed ...
Potrei avere diverse domande riguardanti l'insieme di Vitali, ma intanto mi interessa un problema che forse non riguarda la sua costruzione.
Dovrei provare che, data una funzione d'insieme $m$ definita sui sottoinsiemi dell'intervallo $[0,1]$ (non su tutti ) e tale che
1) $m$ è $\sigma$-additiva;
2) m([0,1])=1;
3) $m$ è invariante per traslazioni,
allora deve necessariamente essere m(]a,b])=b-a per ogni $0\leq a<b\leq 1$.
Non so ...
Salve,
non riesco a capire se ho fatto bene questo limite in quanto il rusltato che mi esce è diverso da quello ottenuto con wolfram.
Potreste dargli uno sguardo?
$limx->0 (e^xsinx-log(1+x)cosx)/x^2$
$limx->0 (e^xsinx)/x^2-(log(1+x)cosx)/x^2$
$limx->0 (e^x/x) (sinx/x)-(log(1+x)/x) (cosx/x)$
Applicando i limiti notevoli ottengo:
$limx->0e^x/x-cosx/x$
Quindi sommando e sottraendo $1/x$ e riapplicando altri 2 limiti notevoli ottengo che $limx->0 loge=1$
che ne dite??
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