Integrali unidimensionali

[ValeSanzo]

Vorrei gentilmente richiedere la risoluzione di questo integrale.. so risolversi con una sostituzione del tipo
\( t= x^2 + ... \) ma ci ho provato senza riuscirci help!

\[ \int \sqrt{x^2 +1}\ \text{d} x \]



Vorrei poi chiedere un'altra informazione:
il mio professore è solito fare in alcuni integrali questa sostituzione:
\[ \int \sqrt{y^2 +1} y\ \text{d} y \]
dopo di che il fattore \(ydy \) diventa \(dy^2/2 \) cioè:
\[ \int \sqrt{y^2 +1} \ \text{d} y^2/2 \]
e risolve l'integrale in una sol mossa.. scusatemi ma nenache in questo caso riesco ad andare avanti...

[lordb]

Considera la relazione: $cosh^2(x)-sinh^2(x)=1 -> cosh^2(x)=1+sinh^2(x)$.

Se poni $x=sinh(t)$ ottieni $dx=cosh(t)dt$:

$int sqrt(x^2+1) dx = int sqrt(sinh^2(t)+1)*cosh(t)dt = int sqrt(cosh^2(t))*cosh(t)dt = int |cosh(t)|*cosh(t)dt =$
$=int cosh^2(t)dt= int (1+cosh(2t))/2 dt = 1/2 [t+sinh(2t)/2]_(t=asinh(x))=1/2 (asinh(x)+sinh(2*asinh(x))/2)$

Si può semplificare $sinh(2*asinh(x))/2$ posto $u=asinh(x)$:

$sinh(u+u)=2sinh(u)cosh(2) -> sinh(2*asinh(x))/2=sinh(asinh(x))*cosh(asinh(x))=x * sqrt(1+x^2)$

Dunque:

$1/2 (asinh(x)+sinh(2*asinh(x))/2)=1/2 (asinh(x)+x * sqrt(1+x^2))$