A proposito dell'insieme di Vitali

[retrocomputer]

Potrei avere diverse domande riguardanti l'insieme di Vitali, ma intanto mi interessa un problema che forse non riguarda la sua costruzione.

Dovrei provare che, data una funzione d'insieme $m$ definita sui sottoinsiemi dell'intervallo $[0,1]$ (non su tutti ) e tale che
1) $m$ è $\sigma$-additiva;
2) m([0,1])=1;
3) $m$ è invariante per traslazioni,
allora deve necessariamente essere m(]a,b])=b-a per ogni $0\leq a
Non so bene come procedere, ma forse potrei andare per gradi:
- grazie alle 3 proprietà di $m$ ottengo che gli intervalli del tipo ]$k/n,{k+1}/n$] misurano $1/n$;
- poi passo agli intervalli con $a=k/n$ e $b=h/n$, grazie alla $\sigma$-additività.

Poi dovrei passare a tutti i razionali e infine ai reali, ma qui ho qualche problemino...
Comunque può essere una strada sensata?
Qualche idea migliore?

[Rigel1]

Chiaramente una siffatta misura non può avere atomi; inoltre, l'invarianza per traslazioni ti dice che basta mostrare che \(f(x) := m([0,x]) = x\) per ogni \(x\in [0,1]\).
Come hai già notato, non è difficile dimostrare l'uguaglianza se \(x\) è razionale.
Penso che a questo punto sia sufficiente notare che \(f\) è una funzione monotona crescente per dire che l'uguaglianza vale per ogni \(x\in [0,1]\).

[retrocomputer]

"Rigel":l'invarianza per traslazioni ti dice che basta mostrare che \(f(x) := m([0,x]) = x\) per ogni \(x\in [0,1]\)

Ecco, mi mancava questo Grazie