Maggiorazione limite in 2 variabili
Salve a tutti, dovrei fare uno studio di continuità sulla seguente funzione di 2 variabili:
\(\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}} & (x,y)\neq0\\
0 & (x,y)=0\end{cases} \)
Lo studio deve essere effettuato nel punto critico 0.
Procedo quindi con il limite in coordinate polari:
\(\displaystyle lim_{(x,y)\rightarrow0}\frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{\rho^{2}cos^{3}\theta sin\theta}{\rho^{2}cos^{4}\theta+sin^{2}\theta} \) (1)
Ora se \(\displaystyle sin^{2}\theta \) è pari a 0 allora il limite va a 0, lo stesso se \(\displaystyle sin^{2}\theta \) è diverso da 0. Lo stesso se prendessi in considerazione il coseno.
Se però maggiorassi la funzione, otterrei:
\(\displaystyle \frac{\rho^{2}cos^{3}\theta sin\theta}{\rho^{2}cos^{4}\theta+sin^{2}\theta}\leq\frac{\rho^{2}}{\rho^{2}cos^{4}\theta+sin^{2}\theta} \) (2)
Ma non potrei maggiorare anche il denominatore e dire che:
\(\displaystyle \frac{\rho^{2}cos^{3}\theta sin\theta}{\rho^{2}cos^{4}\theta+sin^{2}\theta}\leq\frac{\rho^{2}}{\rho^{2}+1} \) ?
Perchè nel secondo caso otterrei che il limite fa 0, concordemente allo studio di (1).
Studiando la 2 ottengo che, per \(\displaystyle sin^{2}\theta \) il limite fa 1, mentre per \(\displaystyle sin^{2}\theta \) che è diversa da 0 il limite fa 0. Non è quindi lo stesso valore che ottengo in (1).
Sapreste darmi qualche spiegazione per favore?
Grazie 1000.
Saluti
\(\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}} & (x,y)\neq0\\
0 & (x,y)=0\end{cases} \)
Lo studio deve essere effettuato nel punto critico 0.
Procedo quindi con il limite in coordinate polari:
\(\displaystyle lim_{(x,y)\rightarrow0}\frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{\rho^{2}cos^{3}\theta sin\theta}{\rho^{2}cos^{4}\theta+sin^{2}\theta} \) (1)
Ora se \(\displaystyle sin^{2}\theta \) è pari a 0 allora il limite va a 0, lo stesso se \(\displaystyle sin^{2}\theta \) è diverso da 0. Lo stesso se prendessi in considerazione il coseno.
Se però maggiorassi la funzione, otterrei:
\(\displaystyle \frac{\rho^{2}cos^{3}\theta sin\theta}{\rho^{2}cos^{4}\theta+sin^{2}\theta}\leq\frac{\rho^{2}}{\rho^{2}cos^{4}\theta+sin^{2}\theta} \) (2)
Ma non potrei maggiorare anche il denominatore e dire che:
\(\displaystyle \frac{\rho^{2}cos^{3}\theta sin\theta}{\rho^{2}cos^{4}\theta+sin^{2}\theta}\leq\frac{\rho^{2}}{\rho^{2}+1} \) ?
Perchè nel secondo caso otterrei che il limite fa 0, concordemente allo studio di (1).
Studiando la 2 ottengo che, per \(\displaystyle sin^{2}\theta \) il limite fa 1, mentre per \(\displaystyle sin^{2}\theta \) che è diversa da 0 il limite fa 0. Non è quindi lo stesso valore che ottengo in (1).
Sapreste darmi qualche spiegazione per favore?
Grazie 1000.
Saluti
Risposte
Sei sicuro che la maggiorazione che hai fatto nel passo (2) sia giusta!?
togliendo delle quantità positive al numeratore il valore della frazione diminuisce non aumenta.
Prova a ragionare così: $(x^3y)/(x^4+y^2)<=(x^3y)/(x^2+y^2)$
ora prova a continuare tu se ci riesci...
togliendo delle quantità positive al numeratore il valore della frazione diminuisce non aumenta.
Prova a ragionare così: $(x^3y)/(x^4+y^2)<=(x^3y)/(x^2+y^2)$
ora prova a continuare tu se ci riesci...
Scusa, ma perchè usi questa maggiorazione? Mi sembra che non valga per gli x compresi tra 0 e 1...
Che significa non vale per x compresi tra 0 e 1?
poi guarda la tua (2) quella si che non vale..
poi guarda la tua (2) quella si che non vale..
In primis, a tutti e due: per avere disuguaglianze significative dovete metterci il valore assoluto. Senza quello non potete concludere che il membro sinistro tende a 0 quando il membro destro tende a 0.
In secundis, sulla presunta disuguaglianza congetturata da Lorin (col valore assoluto, concordemente con quanto dicevo prima):
\[\tag{!!} \frac{\lvert x\rvert^3 \lvert y\rvert}{x^4+y^2} \le \frac{\lvert x\rvert^3\lvert y\rvert}{x^2+y^2}, \]
ha ragione Catanzani: è falsa nella striscia \(\{(x, y)\mid \lvert x \rvert < 1\}\). Per esempio, lungo la retta \(y=1\) essa diventa
\[x^4\ge x^2,\]
che è verificata per \(\lvert x \rvert \ge 1\).
In secundis, sulla presunta disuguaglianza congetturata da Lorin (col valore assoluto, concordemente con quanto dicevo prima):
\[\tag{!!} \frac{\lvert x\rvert^3 \lvert y\rvert}{x^4+y^2} \le \frac{\lvert x\rvert^3\lvert y\rvert}{x^2+y^2}, \]
ha ragione Catanzani: è falsa nella striscia \(\{(x, y)\mid \lvert x \rvert < 1\}\). Per esempio, lungo la retta \(y=1\) essa diventa
\[x^4\ge x^2,\]
che è verificata per \(\lvert x \rvert \ge 1\).
Faccio eco a dissonance ed aggiungo che la relazione (2) del primo post è corretta [dopo aver aggiunto i moduli], infatti il membro di sinistra si ottiene moltiplicando quello di destra per la quantità \(\cos^3 \theta \sin \theta\) che ha modulo sempre minore o uguale a \(1\).
Per quanto riguarda la domanda di Catanzani: se sostituisci al denominatore una quantità più grande, ottieni una frazione che globalmente è più piccola, quindi per maggiorare una frazione devi minorare il denominatore. Chiaro?
Per quanto riguarda la domanda di Catanzani: se sostituisci al denominatore una quantità più grande, ottieni una frazione che globalmente è più piccola, quindi per maggiorare una frazione devi minorare il denominatore. Chiaro?
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