Serie di Fourier (forma esponenziale)
stavo cercando di svolgere questo esercizio:
"Si consideri il segnale periodico di periodo T dato in (-T/2, +T/2) da u(t) = t. Si chiede di calcolare
1) I coefficienti dello sviluppo in serie esponenziale di Fourier di u(t)
ora utilizzando questa formula
sostituendo t a f(x) e ponendo gli estremi di integrazione -T/2 e T/2, integro per parti.
Il problema è che alla soluzione dice che
$ u_k = -T^2/(2pik)cos(pik) $ per k diverso da 0
il problema è che ho provato in tutti i modi e il risultato non coincide, ho provato pure con wolfram alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2FT+*+int+x*e%5E%28%28-2*pi*i*x*k%29%2FT%29+from+x%3D-T%2F2+to+T%2F2 e non mi pare che il risultato coincida. Qualche delucidazione?
"Si consideri il segnale periodico di periodo T dato in (-T/2, +T/2) da u(t) = t. Si chiede di calcolare
1) I coefficienti dello sviluppo in serie esponenziale di Fourier di u(t)
ora utilizzando questa formula
sostituendo t a f(x) e ponendo gli estremi di integrazione -T/2 e T/2, integro per parti. Il problema è che alla soluzione dice che
$ u_k = -T^2/(2pik)cos(pik) $ per k diverso da 0
il problema è che ho provato in tutti i modi e il risultato non coincide, ho provato pure con wolfram alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2FT+*+int+x*e%5E%28%28-2*pi*i*x*k%29%2FT%29+from+x%3D-T%2F2+to+T%2F2 e non mi pare che il risultato coincida. Qualche delucidazione?
Risposte
E invece tu che risultato hai ottenuto? Secondo me è lo stesso del libro, solo scritto in modo diverso.
faccio tutti i passaggi
$ 1/T int_{-T/2}^{T/2} te^((-2pikit)/T) dt $
per parti l'integrale vale:
$ int te^((-2pikit)/T) dt = iTt/(2pik)e^((-2pikit)/T) +T^2/(4pi^2k^2)e^((-2pikit)/T) $
sostituendo gli estremi
$ = T^2/(4pi^2k^2)(e^(-ipik) - e^(ipik)) + iT^2/(2pik)(e^(-ipik) - e^(ipik)) $
posso trasformare gli esponenziali in coseni e seni tramite formule di Eulero
$ = T^2/(4pi^2k^2)(cos(pik)-isin(pik)-cos(pik)-isin(pik)) + iT^2/(2pik)(cos(pik)-isin(pik)-cos(pik)-isin(pik))$
ma questo mi porta a semplificare i coseni e a sommare i seni
inoltre devo dividere per T e quindi quel T^2 non me lo spiego nel risultato finale
$ 1/T int_{-T/2}^{T/2} te^((-2pikit)/T) dt $
per parti l'integrale vale:
$ int te^((-2pikit)/T) dt = iTt/(2pik)e^((-2pikit)/T) +T^2/(4pi^2k^2)e^((-2pikit)/T) $
sostituendo gli estremi
$ = T^2/(4pi^2k^2)(e^(-ipik) - e^(ipik)) + iT^2/(2pik)(e^(-ipik) - e^(ipik)) $
posso trasformare gli esponenziali in coseni e seni tramite formule di Eulero
$ = T^2/(4pi^2k^2)(cos(pik)-isin(pik)-cos(pik)-isin(pik)) + iT^2/(2pik)(cos(pik)-isin(pik)-cos(pik)-isin(pik))$
ma questo mi porta a semplificare i coseni e a sommare i seni
inoltre devo dividere per T e quindi quel T^2 non me lo spiego nel risultato finale
I seni si annullano essendo \(k\) intero. Quindi il risultato di Wolfram Alpha è lo stesso del libro a parte il \(T^2\) e il segno.
mi era sfuggito effettivamente che k è un intero
però ho ancora dubbi, li i coseni essendo opposti non si semplificano?
però ho ancora dubbi, li i coseni essendo opposti non si semplificano?
Si, infatti tu sicuramente hai sbagliato qualche conto perché l'espressione che hai scritto alla fine è uguale a \(0\): i seni si annullano perché \(k\) è intero e i coseni si semplificano.
vabbene ti ringrazio, rivedrò i conti
è una dispensa di soluzioni di appelli, quindi il prof a scriverle potrebbe aver sbagliato, anzi quasi sicuramente
è una dispensa di soluzioni di appelli, quindi il prof a scriverle potrebbe aver sbagliato, anzi quasi sicuramente
"Lokad":
vabbene ti ringrazio, rivedrò i conti
è una dispensa di soluzioni di appelli, quindi il prof a scriverle potrebbe aver sbagliato, anzi quasi sicuramente
Si, sicuramente il prof ha sbagliato a trascrivere la soluzione. La soluzione esatta sarà quella di Wolfram Alpha.
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