P-Sylow e gruppi semplici
Dimostrare che nessun gruppo G con $|G|=72$ e' semplice
Ho calcolato i p-Sylow e sono arrivata alla conclusione che:
2-sylow = 1
3
9
3-Sylow= 1
4
Se 2-Sylow o 2-Sylow e' unico allora questo sara' normale e G non sara' semplice.
Ipotizzo che i 2-Sylow siano 9 quindi ho che se l'intersezione tra tutti e' banale allora vale la formula che
|{unione dei 2-sylow}|=$7 x 9 + 1$ quindi avrei che la cardinalita' dell'unione e' 64 e che $|3-sylow|=72-64+1=9$ e che quindi il 3-sylow e' unico e G non e' semplice.
Come faccio a vedere se l'intersezione e' banale???
Ho calcolato i p-Sylow e sono arrivata alla conclusione che:
2-sylow = 1
3
9
3-Sylow= 1
4
Se 2-Sylow o 2-Sylow e' unico allora questo sara' normale e G non sara' semplice.
Ipotizzo che i 2-Sylow siano 9 quindi ho che se l'intersezione tra tutti e' banale allora vale la formula che
|{unione dei 2-sylow}|=$7 x 9 + 1$ quindi avrei che la cardinalita' dell'unione e' 64 e che $|3-sylow|=72-64+1=9$ e che quindi il 3-sylow e' unico e G non e' semplice.
Come faccio a vedere se l'intersezione e' banale???
Risposte
L'azione di $G$ sui quattro $3$-sottogruppi di Sylow ti da'
un omomorfismo $G \rightarrow S_4$. Il nucleo e' un sottogruppo normale.
Va solo dimostrato che non e' banale.
un omomorfismo $G \rightarrow S_4$. Il nucleo e' un sottogruppo normale.
Va solo dimostrato che non e' banale.
Considerando l'applicazione da $f:G->S_4$ ho che se prendo il $ker(f)={e}$ allora avrei che $G/{e}->H$ con H sottogruppo di $S_4$ e' un isomorfismo quindi $|G|=72=|H|$ ma $|H|<=|S_4|=24$
Segue che non e' possibile che $ker(f)={e}$ ma avrei sempre la possibilita' che $ker(f)=G$ o sbaglio?
Segue che non e' possibile che $ker(f)={e}$ ma avrei sempre la possibilita' che $ker(f)=G$ o sbaglio?
A priori si.
Ma questo significherebbe che l'azione di $G$ e' banale.
E' possibile?
Ma questo significherebbe che l'azione di $G$ e' banale.
E' possibile?
Giusto, non e' possibile.
Avendo dimostrato questo ora io ho dimostrato che sempre un gruppo di cardinalita' 72 non e' semplice o devo studiare anche le azioni di G sugli altri $Syl_p(G)$?
Avendo dimostrato questo ora io ho dimostrato che sempre un gruppo di cardinalita' 72 non e' semplice o devo studiare anche le azioni di G sugli altri $Syl_p(G)$?
Posso farti anche un'altra domanda? Se io ho dei p-sylow e voglio trovare che l'intersezione non e' unica come posso fare?
Nel caso di $|G|=72$ ad esempio, lavoro sui due sylow.
Prendo due di questi 2-sylow che chiamo P e Q. Allora ho che PQ e' un sottogruppo di G e che $|PQ|=(|P||Q|)/|P∩Q|$ quindi in questo caso $|P||Q|=2^6$ e ho che $|PQ|=2^6/2^r$ ma non so come trovare il valore di r.
Nel caso invece di $|G|=24$, prendendo in considerazione i 2-sylow io avevo $|PQ|=2^6$ e $|PQ|=2^6/2^r$ ma tenendo in considerazione che $|PQ|<=|G|$ e che $|G|=24$ avrei che $r>=2$ e dovendo essere $|P∩Q|<2^3$ ho che l'intersezione contiene proprio 4 elementi
Nel caso di $|G|=72$ ad esempio, lavoro sui due sylow.
Prendo due di questi 2-sylow che chiamo P e Q. Allora ho che PQ e' un sottogruppo di G e che $|PQ|=(|P||Q|)/|P∩Q|$ quindi in questo caso $|P||Q|=2^6$ e ho che $|PQ|=2^6/2^r$ ma non so come trovare il valore di r.
Nel caso invece di $|G|=24$, prendendo in considerazione i 2-sylow io avevo $|PQ|=2^6$ e $|PQ|=2^6/2^r$ ma tenendo in considerazione che $|PQ|<=|G|$ e che $|G|=24$ avrei che $r>=2$ e dovendo essere $|P∩Q|<2^3$ ho che l'intersezione contiene proprio 4 elementi
Cosa intendi con "$PQ$"?
Se intendi $PQ=\{pq: p\in P \ \ e\ \ q\in Q\}$, allora
$PQ$ non e' un gruppo in generale. Provi pure con due $2$-sottogruppi di Sylow $P,Q$ di $S_3$.
Se intendi che $PQ$ e' il gruppo generato da $P$ e $Q$, allora non e' vero che
la cardinalita' di $PQ$ e' uguale a $|P||Q|//|P\cap Q|$.
Provi pure con due $2$-sottogruppi di Sylow $P,Q$ di $S_3$.
Se intendi $PQ=\{pq: p\in P \ \ e\ \ q\in Q\}$, allora
$PQ$ non e' un gruppo in generale. Provi pure con due $2$-sottogruppi di Sylow $P,Q$ di $S_3$.
Se intendi che $PQ$ e' il gruppo generato da $P$ e $Q$, allora non e' vero che
la cardinalita' di $PQ$ e' uguale a $|P||Q|//|P\cap Q|$.
Provi pure con due $2$-sottogruppi di Sylow $P,Q$ di $S_3$.
Io trovato questo tipo di esercizio in questo link
https://www.mat.uniroma2.it/~gavarini/p ... ruppi5.pdf
(esercizio numero 3)
Se non e' questo il modo di ragionare corretto potresti darmi un suggerimento su come calcolarla?
https://www.mat.uniroma2.it/~gavarini/p ... ruppi5.pdf
(esercizio numero 3)
Se non e' questo il modo di ragionare corretto potresti darmi un suggerimento su come calcolarla?
L’esercizio 3 di Gavarini:
(a) Provare che un gruppo con $24$ elementi o contiene un sottogrupppo
normale di ordine $8$, oppure un sottogruppo normale di ordine $4$.
(b) Inoltre provare che contiene un sottogruppo normale di indice al piu' $3$.
(1) Se c’e’ un $2$-Sylow sottogruppo normale, ci siamo.
Se no, allora ce ne sono tre. L’azione $G$ sui tre $2$-sottogruppi di Sylow
ci da’ un omomorfismo $f: G \rightarrow S_3$. Poiche’ l’azione e’ transitiva,
l’immagine ha cardialita’ divisibile per $3$.
Ma non e’ uguale $3$, perche’ in quel caso il nucleo sarebbe un
$2$-sottogruppo di Sylow normale. Questo implica che $f$ e’ suriettiva
e quindi il suo nucleo ha cardinalita’ $4$ (ed e’ normale).
(2) Se c’e’ un $2$-Sylow sottogruppo normale, ci siamo.
Se no, abbiamo visto sopra che c’e’ un omomorfismo
suriettivo $f:G\rightarrow S_3$. Il controimmagine di $A_3$ ha indice $2$.
(a) Provare che un gruppo con $24$ elementi o contiene un sottogrupppo
normale di ordine $8$, oppure un sottogruppo normale di ordine $4$.
(b) Inoltre provare che contiene un sottogruppo normale di indice al piu' $3$.
(1) Se c’e’ un $2$-Sylow sottogruppo normale, ci siamo.
Se no, allora ce ne sono tre. L’azione $G$ sui tre $2$-sottogruppi di Sylow
ci da’ un omomorfismo $f: G \rightarrow S_3$. Poiche’ l’azione e’ transitiva,
l’immagine ha cardialita’ divisibile per $3$.
Ma non e’ uguale $3$, perche’ in quel caso il nucleo sarebbe un
$2$-sottogruppo di Sylow normale. Questo implica che $f$ e’ suriettiva
e quindi il suo nucleo ha cardinalita’ $4$ (ed e’ normale).
(2) Se c’e’ un $2$-Sylow sottogruppo normale, ci siamo.
Se no, abbiamo visto sopra che c’e’ un omomorfismo
suriettivo $f:G\rightarrow S_3$. Il controimmagine di $A_3$ ha indice $2$.
Forse la domanda e' banale ma da cosa deduci che e' transitiva l'azione
Per il Teorema di Sylow: i $p$-sottogruppi di Sylow sono coniugati.
In altre parole, l'azione tramite coniugio di $G$ sui $p$-sottogruppi
di Sylow e' transitiva
In altre parole, l'azione tramite coniugio di $G$ sui $p$-sottogruppi
di Sylow e' transitiva
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