Esercizio di Algebra I sui Gruppi

[manuelb93]

Buonasera, vi scrivo testo e parziale soluzione del seguente esercizio per cui chiedo aiuto:
Testo:
Sia G un gruppo di ordine $p^2$ con p numero primo. Si mostri che G ha al più $p+3$ sottogruppi.

Sicuramente conteggio i due sottogruppi banali, cioè l'unità e G stesso. Inoltre, per il teorema di Lagrange, posso sicuramente dire che l'ordine di tali sottogruppi può essere $1, p$ oppure $p^2$. Qui non so più cosa dire.

[Shocker1]

Un gruppo di ordine $p^2$ è abeliano, quindi a chi può essere isomorfo $G$?

[manuelb93]

"Shocker":Un gruppo di ordine $ p^2 $ è abeliano, quindi a chi può essere isomorfo $ G $?

Ho trovato il Teorema corrispondente e questo dice che se G è abeliano di ordine n allora è isomorfo al prodotto diretto di gruppi ciclici i cui ordini sono potenze di numeri primi. Il problema è che non mi dice nulla

[Shocker1]

In realtà il teorema, in questo caso, ti dice che $G$ è isomorfismo o a $\mathbb{Z}_(p^2)$ oppure a $\mathbb{Z}_p xx \mathbb{Z}_p$.
Supponiamo sia isomorfo a $\mathbb{Z}_(p^2)$, allora $G$ è ciclico di ordine $p^2$ ed ha esattamente $3$ sottogruppi: due banali e uno di ordine $p$, in accordo con la tesi.
Se invece $G$ è isomorfo a $\mathbb{Z}_p xx \mathbb{Z}_p$? Riesci a stimare il numero di sottogruppi?

[manuelb93]

Posso dire che se g è un elemento di G, allora g ha ordine $p^2$ oppure $p$. Se g ha ordine $p^2$, allora G possiede solo i sottogruppi banali. Se g ha ordine $p$ allora in G rimangono $p(p-1)$ che non hanno ordine $p$. Per il teorema di Sylow ho che il numero dei p-sylow è p e ovviamente il loro ordine è p. Si hanno quindi $p+1$ Sylow di ordine p a cui vanno sommati i due banali, quindi al più $p+3$ sottogruppi.

Può andare così?

Comunque

"Shocker":Se invece $ G $ è isomorfo a $ \mathbb{Z}_p xx \mathbb{Z}_p $? Riesci a stimare il numero di sottogruppi?

Non ne ho idea. Riesci a spiegarmi?

[Shocker1]

"manuelb93":Posso dire che se g è un elemento di G, allora g ha ordine $p^2$ oppure $p$. Se g ha ordine $p^2$, allora G possiede solo i sottogruppi banali. Se g ha ordine $p$ allora in G rimangono $p(p-1)$ che non hanno ordine $p$. Per il teorema di Sylow ho che il numero dei p-sylow è p e ovviamente il loro ordine è p. Si hanno quindi $p+1$ Sylow di ordine p a cui vanno sommati i due banali, quindi al più $p+3$ sottogruppi.

Può andare così?

No, non va bene. Intanto è falso che il gruppo $G$ generato da $g$, elemento di ordine $p^2$, ha solo sottogruppi banali: se consideri il sottogruppo $H$ generato da $g^p$ hai che $H != G$ e $H$ è normale(perché $G$ è abeliano).
E' falso anche il numero dei $p-$sylow è $p$: i teoremi di sylow ti dicono che il numero dei $p-$sylow è congruo a $1$ modulo $p$(come può $p$ essere congruo a $1 mod p$?), inoltre $G$ è abeliano(ha ordine $p^2$!), quindi ogni suo sottogruppo è normale e quindi i $p-$sylow non possono che essere unici.

Comunque

"Shocker":Se invece $ G $ è isomorfo a $ \mathbb{Z}_p xx \mathbb{Z}_p $? Riesci a stimare il numero di sottogruppi?

Non ne ho idea. Riesci a spiegarmi?

Gli ordini dei possibili sottogruppi sono $1, p, p^2$, quelli di ordine $1$ e $p^2$ già li conosciamo, concentriamoci su quelli di ordine $p$: un sottogruppo di ordine $p$ è isomorfo a uno $\mathbb{Z_p}$, quindi deve essere ciclico e deve essere generato da un elemento di ordine $p$, quindi se conto gli elementi di ordine $p$ ho quasi vinto.
Un elemento di $\mathbb{Z}_p xx \mathbb{Z}_p$ è del tipo $(a, b)$ ed ha ordine $p$ se e solo se una delle due componenti della coppia ha ordine $p$, quindi ho $p^2 - 1$) elementi di ordine $p$(tutti gli elementi diversi da $(0, 0)$ hanno ordine $p$). Adesso: quanti sottogruppi di ordine $p$ generano? Un sottogruppo di ordine $p$ ha tutti gli elementi diversi dall'identità di ordine $p$, cioè ha $p-1$ elementi di ordine $p$, quindi in totale sono $\frac{p^2-1}{p-1} = p+1$.

Quindi ho due sottogruppi banali e $p+1$ sottogruppi di ordine $p$, cioè ho $p+3$ sottogruppi in totale.

Fammi sapere se hai capito, ciao!

[manuelb93]

Ho un dubbio sulle notazioni: $\mathbb{Z_p}$ è l'insieme quoziente di $mathbb{Z}$ rispetto alle congruenze modulo p?

"Shocker":Un elemento di $Zp×Zp$ è del tipo $(a,b)$ ed ha ordine p se e solo se una delle due componenti della coppia ha ordine p, quindi ho $p^2−1$) elementi di ordine p(tutti gli elementi diversi da $(0,0)$ hanno ordine p).

Quindi gli elementi di $mathbb{Z_p x Z_p}$ che hanno ordine p sono della forma $(a,0)$ oppure $(0,b)$ con a e b diversi da zero, quindi $p^2-1$?

"Shocker": $(p^2−1)/(p−1)=p+1$

che formula è?

Grazie per la pazienza, ma sono cocciuto su questo argomento. Non mi entra in testa.

[Shocker1]

"manuelb93":Ho un dubbio sulle notazioni: $\mathbb{Z_p}$ è l'insieme quoziente di $mathbb{Z}$ rispetto alle congruenze modulo p?

Sì, e lo stiamo considernado come gruppo rispetto alla somma fra classi di resto.

"Shocker":Un elemento di $Zp×Zp$ è del tipo $(a,b)$ ed ha ordine p se e solo se una delle due componenti della coppia ha ordine p, quindi ho $p^2−1$) elementi di ordine p(tutti gli elementi diversi da $(0,0)$ hanno ordine p).

Quindi gli elementi di $mathbb{Z_p x Z_p}$ che hanno ordine p sono della forma $(a,0)$ oppure $(0,b)$ con a e b diversi da zero, quindi $p^2-1$?

No, tutti gli elementi diversi da $(0, 0)$ hanno ordine $p$, poiché il gruppo ha ordine $p^2$ allora in totale questi elementi sono $p^2 - 1$.

"Shocker": $(p^2−1)/(p−1)=p+1$

che formula è?

Un gruppo cicliclo di ordine $n$ ha $\phi(n)$ generatori, se tu hai $k$ elementi di ordine $n$ allora il numero di gruppi ciclici di ordine $n$ da essi generato sarà $\frac{k}{\phi(n)}$(in pratica sto togliendo per ogni gruppo che conto i generatori, così non li conto più volte).

[manuelb93]

Grazie mille, chiarissimo!