Esercizio di Algebra I sulle permutazioni

[manuelb93]

Buonasera innanzitutto.
Scrivo il testo e la mia parziale soluzione di questo esercizio:
Testo:
Sia $\sigma\ in S13$ la permutazione
$\sigma\ =((1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13), (9 , 12 , 13 , 6 , 7 , 11 , 2 , 3 , 4 , 10 , 1 , 5 , 8))$
(1) Si scriva $\sigma$ come prodotto di cicli disgiunti, si determinino l'ordine e la parità di $\sigma$.
(2) Si determinino tutti gli interi k tali che $\sigma\^k = (2,5)(7,12)$.

Riguardo al punto (1) non ho avuto problemi:
Cicli disgiunti:
$\sigma\=(1,9,4,6,11)(2,12,5,7)(3,13,8)$.

Ordine:
è il minimo comune multiplo delle lunghezze dei cicli disgiunti, cioè $o(\sigma\)=m.c.m.(5,4,3)=60$

Parità:
$ \Delta(\sigma\)= (-1)^\beta\ .\beta\=(\sum\r)-t $, dove r è la lunghezza dei cicli e t è il numero dei cicli .
In sostanza mi viene $(-1)^9=-1$ e che quindi $\sigma$ è una permutazione dispari.
Arrivato a questo punto mi fermo. Chiedo anzitutto se ciò che ho fatto è corretto e principalmente aiuto per il punto (2).
Grazie

[Studente Anonimo]

Perché sia $sigma^k = (2,5)(7,12)$ bisogna "uccidere" il 5-ciclo e il 3-ciclo quindi $k$ dev'essere un multiplo di $15$. In altre parole $k=15m$ con $m$ intero. Tuttavia se $m$ è dispari allora $sigma^k$ è un 4-ciclo, quindi dev'essere $m$ pari, cioè $k=30h$ con $h$ intero. A questo punto $h$ dev'essere dispari perché se fosse pari $sigma^k$ sarebbe uguale a $1$. In altre parole $k$ dev'essere del tipo $30h$ con $h$ dispari, e viceversa se $k$ è $30h$ con $h$ dispari allora $sigma^k=(2,5)(7,12)$. Non so se mi sono spiegato, nel caso chiedi pure.

[manuelb93]

Chiarissimo, sono giunto alla stessa conclusione facendo molte prove una a una. Questo è un tema d'esame, quindi ho provato a cercare di scriverlo in un modo più "elegante": Ho scritto che k deve essere della forma $k=2^(2h+1)*15$ con h intero. Mi è sorto però un dubbio: h deve essere intero positivo o può essere anche negativo perché valga la relazione richiesta?

[Studente Anonimo]

Può essere negativo.