Disposizione e combinazione
Salve in questi giorni mi sto addentrando nel mondo del calcolo combinatorio,ovviamente prima di chiedere in questo topic ho letto parecchio e mi sono informato ma vorrei avere un'ulteriore conferma.
La disposizione tiene conto sia del fatto che i vari sottoinsiemi di K elementi debbano essere ordinati (quindi due insiemi con gli stessi elementi sono differenti se i loro elementi sono posizionati in maniera differente) e sia del fatto che essi contengano elementi differenti (tranne nel caso della disposizione con ripetizione). La combinazione,invece,non tiene conto dell'ordine degli elementi ma solo del fatto che in ogni insieme ci siano elementi distinti (tranne nel caso della combinazione con ripetizione).
È corretto? Inoltre vorrei chiedervi,nella risoluzione di un problema di calcolo combinatorio,quali sono le prime domande che bisogna porsi?
Grazie in anticipo!
La disposizione tiene conto sia del fatto che i vari sottoinsiemi di K elementi debbano essere ordinati (quindi due insiemi con gli stessi elementi sono differenti se i loro elementi sono posizionati in maniera differente) e sia del fatto che essi contengano elementi differenti (tranne nel caso della disposizione con ripetizione). La combinazione,invece,non tiene conto dell'ordine degli elementi ma solo del fatto che in ogni insieme ci siano elementi distinti (tranne nel caso della combinazione con ripetizione).
È corretto? Inoltre vorrei chiedervi,nella risoluzione di un problema di calcolo combinatorio,quali sono le prime domande che bisogna porsi?
Grazie in anticipo!
Risposte
La migliore amica degli uomini nei problemi è la logica, al di là delle formulette. Però a volte può essere utile schematizzare e suddividere i casi per essere più pronti a riconoscere le esigenze dei quesiti.
Esistono le permutazioni di n elementi, ossia i modi possibili con cui scambiare degli oggetti, in questo caso l'unica cosa che conta è l'ordine; arrivandoci per logica troverai che sono n!. Esempio: 10 bottiglie di vino rosso da disporre, 10! = 10 × 9 × 8... l'idea è che al primo posto hai dieci possibilità, al secondo ne hai nove perché una l'hai già posizionata e così via...
Poi ci sono le disposizioni, ossia semplicemente delle permutazioni con più categorie di elementi tutti identici tra loro. In questo caso si divide il numero delle permutazioni dell'insieme unione di tutti gli elementi per gli elementi indistinguibili. Esempio: ho 13 bottiglie di vino, 6 di vino bianco, 7 di rosso, indistinguibili tra loro, allora le disposizioni saranno 13!/(6! 7!). L'idea è di eliminare gli elementi che ho già contato visto che sono indistinguibili per classe.
Poi vi sono le combinazioni, dove si può parlare più genericamente di n elementi di un insieme (indistinguibili) e di k classi (sottogruppi in cui suddividere gli n), poiché ogni elemento è indistinguibile allora non conta l'ordine; in questo caso si usa il coefficiente binomiale di n elementi su k classi. Esempio: ho dieci mele indistinguibili e ne devo scegliere tre, in quanti modi le posso scegliere? Coefficiente binomiale di 10 su 3 (che se ci pensi è un caso particolare delle disposizioni, dove adesso conta solo la cardinalità).
Spero di esserti stato utile, nonostante la fretta.
Ciauz.
Esistono le permutazioni di n elementi, ossia i modi possibili con cui scambiare degli oggetti, in questo caso l'unica cosa che conta è l'ordine; arrivandoci per logica troverai che sono n!. Esempio: 10 bottiglie di vino rosso da disporre, 10! = 10 × 9 × 8... l'idea è che al primo posto hai dieci possibilità, al secondo ne hai nove perché una l'hai già posizionata e così via...
Poi ci sono le disposizioni, ossia semplicemente delle permutazioni con più categorie di elementi tutti identici tra loro. In questo caso si divide il numero delle permutazioni dell'insieme unione di tutti gli elementi per gli elementi indistinguibili. Esempio: ho 13 bottiglie di vino, 6 di vino bianco, 7 di rosso, indistinguibili tra loro, allora le disposizioni saranno 13!/(6! 7!). L'idea è di eliminare gli elementi che ho già contato visto che sono indistinguibili per classe.
Poi vi sono le combinazioni, dove si può parlare più genericamente di n elementi di un insieme (indistinguibili) e di k classi (sottogruppi in cui suddividere gli n), poiché ogni elemento è indistinguibile allora non conta l'ordine; in questo caso si usa il coefficiente binomiale di n elementi su k classi. Esempio: ho dieci mele indistinguibili e ne devo scegliere tre, in quanti modi le posso scegliere? Coefficiente binomiale di 10 su 3 (che se ci pensi è un caso particolare delle disposizioni, dove adesso conta solo la cardinalità).
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Ciauz.
"alextimes":
La migliore amica degli uomini nei problemi è la logica, al di là delle formulette. Però a volte può essere utile schematizzare e suddividere i casi per essere più pronti a riconoscere le esigenze dei quesiti.
Esistono le permutazioni di n elementi, ossia i modi possibili con cui scambiare degli oggetti, in questo caso l'unica cosa che conta è l'ordine; arrivandoci per logica troverai che sono n!. Esempio: 10 bottiglie di vino rosso da disporre, 10! = 10 × 9 × 8... l'idea è che al primo posto hai dieci possibilità, al secondo ne hai nove perché una l'hai già posizionata e così via...
Poi ci sono le disposizioni, ossia semplicemente delle permutazioni con più categorie di elementi tutti identici tra loro. In questo caso si divide il numero delle permutazioni dell'insieme unione di tutti gli elementi per gli elementi indistinguibili. Esempio: ho 13 bottiglie di vino, 6 di vino bianco, 7 di rosso, indistinguibili tra loro, allora le disposizioni saranno 13!/(6! 7!). L'idea è di eliminare gli elementi che ho già contato visto che sono indistinguibili per classe.
Poi vi sono le combinazioni, dove si può parlare più genericamente di n elementi di un insieme (indistinguibili) e di k classi (sottogruppi in cui suddividere gli n), poiché ogni elemento è indistinguibile allora non conta l'ordine; in questo caso si usa il coefficiente binomiale di n elementi su k classi. Esempio: ho dieci mele indistinguibili e ne devo scegliere tre, in quanti modi le posso scegliere? Coefficiente binomiale di 10 su 3 (che se ci pensi è un caso particolare delle disposizioni, dove adesso conta solo la cardinalità).
Spero di esserti stato utile, nonostante la fretta.
Ciauz.
Innanzitutto grazie per la risposta, quando parli delle disposizioni e dici "con più categorie di elementi identici tra loro" intendi dire che conta l'ordine? Cioè sono ritenuti uguali questi insiemi A=1,2,3 B=3,2,1
Penso che il caso che hai proposto non si adatti bene ad essere un esempio di disposizioni, al massimo di permutazioni. Questo perché hai preso degli insiemi formati da elementi (numeri) diversi. Se ad esempio hai A={1,1,1,3,3} - e stiamo parlando di disposizioni - sarà equivalente se scambi tra loro gli "1" o i "3".
La difficoltà concettuale nella quale potresti incorrere sta nel considerare a priori che tutti gli 1 o i 3 siano uguali solo perché sei abituato ad usarli riferendoti al loro valore numerico; ma quando sono elementi di un insieme non è il valore che conta, ma conta la cardinalità (quanti ne sono) e la tipologia.
La difficoltà concettuale nella quale potresti incorrere sta nel considerare a priori che tutti gli 1 o i 3 siano uguali solo perché sei abituato ad usarli riferendoti al loro valore numerico; ma quando sono elementi di un insieme non è il valore che conta, ma conta la cardinalità (quanti ne sono) e la tipologia.
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