Divergenza esercizio induzione

[algibro]

In merito ad esercizi su induzione mi capita a volte di dimostrare vera che $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ ma con una parte della dimostrazione diversa dalla soluzione riportata nel testo.
Ad esempio: dimostrare che $\forall n \in \mathbb{N}$ e $n \geq 3, \ n^2>2n+1$.
i) passo base, con $n=3, \ P(3)$ è vera, $3^2=9>7=2 \cdot 3+1$
ii) passo induttivo, suppongo vera l'ipotesi per cui $n^2>2n+1$ e provo la tesi per $(n+1)$, cioè che :$(n+1)^2>2(n+1)+1$

$(n+1)^2=n^2+2n+1>(2n+1)+2n+1=4n+2>2(n+1)+1=2n+3$

Ora qui prendo una strada differente, perché mi sembra più semplice vedere che
$4n+2>2n+3$ cioè $2n-1>0$ è vera $\forall n \in \mathbb{N}, \ n \geq 1$
dunque la tesi per me è provata, ovviamente per ogni $n \geq 3$.

Dove sbaglio ?

[algibro]

La catena di disuguaglianze proposta nello svolgimento dell'esercizio continua così:

$(n+1)^2=n^2+2n+1>(2n+1)+2n+1 \geq 7+2n+1=2n+8>2(n+1)+1$

Ma proprio non comprendo la disuguaglianza $(2n+1)+2n+1 \geq 7+2n+1$

Cioè, fa assumere ad $(2n+1)$ il valore per $n=3$ ?
In quanto pur con $n=3$, il valore che assume $(2n+1)+2n+1$ è comunque maggiore di $2(n+1)+1$ ?

[Luca.Lussardi]

mi sembra un'ovvieta'...

[algibro]

Ne sono convinto, solamente mi sembrava più intuitivo procedere come ho fatto io, se è comunque corretto. Grazie comunque