Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Un oggetto \(C\in\cal C\) è un cogruppo quando per ogni altro oggetto \(A\) l'insieme \(\hom(C,A)\) delle mappe \(f : C\to A\) è un gruppo, e data un'altra mappa \(u : A\to B\), la funzione \(\hom(C,A)\to \hom(C,B) : g \mapsto ug\) è un omomorfismo di gruppi.
Mostrate che se \(\cal C =\bf Grp\) (gruppi e loro omomorfismi), un oggetto è un cogruppo se e solo se è un gruppo libero (una implicazione è facile, il problema è l'altra).
...di prodotto cartesiano.
Se ho ben capito, una famiglia è una tripletta $ (S,I,x) $ dove $ S,I $ sono insiemi e $ x: I \rightarrow S $un'applicazione.
Leggo anche che $ I $ è un insieme di indici, questo vuol dire che è un tipo particolare di insieme o è solo il nome che gli viene dato?
Per quanto riguarda il prodotto cartesiano, ho letto che bisogna considerare degli insiemi $ X_i | i \in I $ ovvero degli insiemi parametrizzati da un insieme di indici ...
Un insieme con un operazione intera associativa, può avere unita' dx ma non sx, oppure unità dx e sx distinte?
Un insieme con un operazione interna associativa, può avere un elemento con inverso dx ma non sx, oppure inverso dx e sx distinti?
Esercizio. Siano $(X,\ast_X)$ e $(Y,\ast_Y)$ due gruppi e sia $f : X \mapsto Y$ un omomorfismo. Dimostrare che $(\text{ker}f,\ast)$ è un sottogruppo normale di $(X,\ast_X)$, dove $\ast:=\ast_X \cap (\text{ker}f)^3$.
Ok, sul fatto che $(\text{ker}f,\ast)$ sia un magma ci sono, così come sul fatto che è anche sottogruppo. Mi interessa la normalità. Per dimostrare che questo sottogruppo è normale devo far vedere che \[\forall x \in X : x \ast_X \text{ker}f=\text{ker}f \ast_X x ...
Salve, nel mio ripassino di algebra ho incontrato due piccoli dubbi.
1) Esercizio: verificare che se la caratteristica di un dominio di integrità è p, allora p è primo.
Avevo già risolto l'esercizio durante la prima fase di studio, forse basandomi su cose sentite a lezione o forse da me non capite bene, come segue:
[ supponiamo per assurdo $p=xy$, ovviam fattori non banali. Per definizione $charD=p=min{ninZZ,n>0, t.c. AAainD, na=0}$ quindi $p=(xy)a=0$. Poichè sono in un dominio di integrità, non posso ...
Salve a tutti,
sto svolgendo il seguente esercizio:
Sia $∗:$ $ZZ_10$$× ZZ_10 → ZZ_10$ l’operazione definita da
$a ∗ b = a + b + 3.$
(1) Stabilire se l’operazione $∗$ è commutativa ed associativa.
(2) Determinare l’elemento neutro e stabilire se ($ZZ_10, ∗$) è un gruppo abeliano.
(3) Calcolare l’elemento $(3,5)^-2$
Ho svolto l'esercizio nella maniera che riporto qui:
(1) $a ∗ b = b ∗ a$
$a + b + 3 = b + a + 3 $
Ed è ...
Salve non ho capito bene la risoluzione di questo esercizio
= sta per "congruo a"
Dalla congruenza 7x=12 (33) si usa il teorema cinese dei resti,ma poi non ho capito come sono state ottenute le due congruenze derivanti da 7x=12(33).
Alla fine in x=96 (mod 99) il 96 come e' stato ottenuto?
Grazie mille in anticipo.
non riesco a risolvere un quesito tratto da un esame di matematica discreta, ovvero:
Per quali primi positivi p l’anello Z[size=70]p[/size] ha esattamente due
elementi che soddisfano l’uguaglianza x^5 = x?
Salve,
sto svolgendo il seguente esercizio:
Si consideri l’insieme $A =$ $QQ$ $→$ $QQ$ e sia $∗: A × A → A$ l’operazione definita da
$(a,b) ∗ (c,d) = (4ac,b + d + 1)$ $∀(a,b),(c,d) ∈ A$.
(1) Stabilire se l’operazione è commutativa ed associativa.
(2) Determinare, se esiste, l’elemento neutro.
(3) Determinare gli elementi invertibili di $A$ e calcolare l’inverso di $(1,1)$.
Ho già dimostrato che ...
Ciao!
Sia $(R;+,*)$ un anello e $I$ un ideale di $R$. Definiamo,
• $X$ insieme degli ideali di $R$ contenti $I$
• $Y$ insieme degli ideali di $R/I$
L’applicazione $Phi:X->Y$ definita come $Phi(A)=pi(A)$
(Dove $pi:R->R/I$ è la proiezione canonica)
È una corrispondenza biunivoca.
Lemma 1
$f:R->R’$ omomorfismo di anelli.
Se $B$ è un ideale di ...
La funzione è la seguente:
$ f: (X,Y) \in P(S) \times P(S) \rightarrow X \Delta Y \in P(S) $
Credo che l'iniettività non sia verificata per le coppie $ (\emptyset , X) e (X, \emptyset) $ che pur essendo diverse hanno comunque la stessa immagine. $ \emptyset \Delta X = X \Delta \emptyset = X $
Per la suriettività non saprei come procedere...
P.S Con il simbolo $ \Delta $ mi riferisco all'unione disgiunta (o differenza simmetrica) tra insiemi
La corrispondenza è la seguente:
$ f:n∈Z→7n− $ n^2 $ ∈Z $
L'idea sarebbe quella di partire dalla definizione:
$ ∀a∈Z∃! b∈Z \ f(a)=b $
Bisogna dimostrare l'esistenza di un'immagine per ogni elemento del dominio e la sua unicità.
Potreste aiutarmi? Grazie
Di seguito indico con la notazione $a -= _n b $ il fatto che $ a mod n = b mod n $.
Gli esercizi in questione sono i seguenti:
1) Siano a e b interi positivi. Dimostrare che $a -= _n b $ sse $S(a) -= _n S(b) $, dove $S(a)$ denota la somma delle cifre di a (in base 10)
2) Dimostare che un numero intero $d$ è divisibile per 11 sse $ sum_(i_(dispari))d_i = sum_(j_(pari))d_j $
Scrivo qui sotto la mia soluzione; vi chiedo dirmi se ci sono eventuali errori e/o correzioni da svolgere, ...
Salve a tutti, sto tentando di fare un ripasso di algebra e mi sono un po' impelagato in un paio di esercizi che chiedono di verificare l'equazione delle classi per il gruppo simmetrico $S_4$ e per il diedrale $D_n$.
Gruppo simmetrico.
So che due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica, perciò in $S_n$ avrò cinque classi coniugate, $(e)$, la classe delle trasposizioni, la classe dei 3-cicli, la classe dei ...
Ciao a tutti, ho un dubbio sulla scrittura che mi permette di scrivere le proprietà di una struttura algebrica.
Ovvero: se devo scrivere che un insieme munito di un'oiperazione binaria contiene l'elemento neutro rispetto a quest'operazione come devo scriverlo?
1)supponiamo che la struttura algebrica sia $AA m € M EE 0 € M tc m.0=0.m=m$ oppure allo stesso modo solo che $EE!$?2)stessa domanda per l'inverso, devo usare $EE$ o $EE!$?
Ovviamente quando considero un ...
f : Z[size=70]13 [/size]× Z[size=70]13[/size] × Z[size=70]13 [/size]→ Z[size=70]13 [/size] × Z[size=70]13 [/size] × Z[size=70]13 [/size] × Z[size=70]13 [/size]
(x, y, z) → (x + 2z, 2x + 2y + z, x + 4z, 3y + z)
Si verifichi che la funzione è un omomorfismo di gruppi (additivi).
Si specifichi (motivando la risposta) se essa è iniettiva, suriettiva o nè
l’una nè l’altra.
Vi ringrazio in anticipo
Buongiorno a tutti!
Spero che sia giusto postare in algebra/logica questo argomento, altrimenti ditemi pure dove e come spostarlo.
Avrei bisogno di un aiuto con un teorema di Teoria delle Categorie che si chiama "Teorema generale degli aggiunti" o "Teorema del funtore aggiunto".
Dovrei (come esercizio) riuscire a dimostrare questo teorema, il problema però è che a lezione il prof non lo ha propriamente enunciato e quando gli ho chiesto spiegazioni mi ha detto che in sostanza è un teorema che ...
Salve,
sto svolgendo questo esercizio:
Sia $∗: ZZ_12$ $×$ $Z_12$ $→$ $ZZ_12$ l’operazione definita da
$a$ $∗$ $b$ $=$ $a + b + 5.$
(1) Stabilire se l’operazione è commutativa ed associativa.
(2) Determinare l’elemento neutro e stabilire se $(ZZ_12$,$∗)$ è un gruppo abeliano.
(3) Calcolare l’elemento $(4 ∗ 5)^2$.
Per il ...
Buonasera, non so se sia meglio postare qui o nella sezione di algebra...
Sto cercando di dimostrare questa
Proposizione Sia $G$ un sottogruppo chiuso di $(RR,+)$ non banale. Allora esiste $m≔min(G∩(0,+∞))$ e $G={km∈R:k∈Z}$
Dimostrazione Poiché $G$ è un gruppo sappiamo che $\forall g∈G$ $kg∈G ∀k∈Z$. Inoltre, è chiaro che
$∀g∈G ∀x∈RR ∃k_x∈ZZ:k_x g<x<(k_x+1)g$
Sia $G_+≔G∩(0,+∞)$ e sia $m=\text(inf) G_+$. Se, per assurdo, m=0 allora, ...
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