Determinare se un gruppo è abeliano

[antoxo1]

Salve a tutti,
sto svolgendo il seguente esercizio:

Sia $∗:$ $ZZ_10$$× ZZ_10 → ZZ_10$ l’operazione definita da
$a ∗ b = a + b + 3.$
(1) Stabilire se l’operazione $∗$ è commutativa ed associativa.
(2) Determinare l’elemento neutro e stabilire se ($ZZ_10, ∗$) è un gruppo abeliano.
(3) Calcolare l’elemento $(3,5)^-2$

Ho svolto l'esercizio nella maniera che riporto qui:
(1) $a ∗ b = b ∗ a$
$a + b + 3 = b + a + 3 $
Ed è commutativa.

$(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)$
$a + b + c + 5 = a + b + c + 5$
Ed è associativa.

(2) $a ∗ e = ?$
$a + e + 3$
$e = a - a -3$
$e = -3$
L'elemento neutro è $-3$.

(3) $(3 ∗ 5)^-2$
$3 + 5 + 3 = 11$
$11 ≡ x (mod 10)$
Il resto della divisione tra 11 e 10 è 1, quindi $x = 1$
$1^-2 = 1$

A questo punto (sempre se sono riuscito a svolgere correttamente l'esercizio ) il mio dubbio è :
Come faccio a stabilire se $(ZZ_10, ∗)$ è un gruppo abeliano (come richiesto nel punto 2?)

[marco.ve1]

Prova a leggerti la definizione di gruppo abeliano...

[antoxo1]

Un gruppo abeliano, o gruppo commutativo, è un gruppo la cui operazione binaria gode della proprietà commutativa: il gruppo $(G,∗)$ è abeliano se
$a ∗ b = b ∗ a$ $∀a,b ∈ G.$

Quindi devo semplicemente dimostrare che $∗$ è commutativa per poter affermare che $(ZZ_10, ∗)$ è un gruppo abeliano?

[@melia]

Sì

[killing_buddha]

Per curiosità, cosa pensavi che fosse un gruppo abeliano?