Teorema generale degli aggiunti (o del funtore aggiunto)
Buongiorno a tutti!
Spero che sia giusto postare in algebra/logica questo argomento, altrimenti ditemi pure dove e come spostarlo.
Avrei bisogno di un aiuto con un teorema di Teoria delle Categorie che si chiama "Teorema generale degli aggiunti" o "Teorema del funtore aggiunto".
Dovrei (come esercizio) riuscire a dimostrare questo teorema, il problema però è che a lezione il prof non lo ha propriamente enunciato e quando gli ho chiesto spiegazioni mi ha detto che in sostanza è un teorema che garantisce con meno ipotesi l'esistenza dell'aggiunto. Non trovo questo teorema online, non nella versione che vuole lui e che vi spiego qua sotto. Mi ha detto di provare a scrivere l'enunciato, questo è ciò che mi ha detto a riguardo:
Ho due categorie, $A$ e $B$, un funtore $F: A \rightarrow B$ e una funzione sugli oggetti $G_{0}: B \rightarrow A$ (che non so cosa faccia sulle frecce, non è funtore).
Per la definizione di aggiunto (l'aggiunto è una tripla $(F,G,\psi)$) c'è questa $\psi: Hom_{B}(F-,+) \rightarrow Hom_{A}(-,G_{0}+)$ che dovrebbe essere naturale ma non lo è perchè $G_{0}$ non è funtore (condizione necessaria per la naturalezza). Questi $-$ e $+$ indicano due elementi che possono essere oggetti e frecce, tranne, appunto, nel caso di $G_{0}+$ che può prendere in entrata solo oggetti.
Dove gli hom sono: $Hom_{B}(F-,+): A^{op} \times B \rightarrow Set$ e $Hom_{A}(-,G_{0}+): Set \rightarrow A^{op} \times B$.
In sostanza mi ha detto che devo estendere $G_{0}$ sulle frecce in un certo modo (come però?) e renderlo un funtore $G$ e poi verificare che $\psi$ è una famiglia di trasformazioni naturali e quindi che soddisfa il diagramma (def. di trasformazione naturale, questa ce l'ho, okay).
Mi manca proprio l'enunciato, questi sono solo i "dati" da lui suggeriti e poi mi ha detto di scrivere bene l'enunciato, che immagino io, dovrà concludersi con "sotto queste ipotesi esiste l'aggiunto" ...destro o sinistro?
Se qualcuno potesse aiutarmi vi sarei enormemente grata!
Grazie mille per aver letto fin qui!
Spero che sia giusto postare in algebra/logica questo argomento, altrimenti ditemi pure dove e come spostarlo.
Avrei bisogno di un aiuto con un teorema di Teoria delle Categorie che si chiama "Teorema generale degli aggiunti" o "Teorema del funtore aggiunto".
Dovrei (come esercizio) riuscire a dimostrare questo teorema, il problema però è che a lezione il prof non lo ha propriamente enunciato e quando gli ho chiesto spiegazioni mi ha detto che in sostanza è un teorema che garantisce con meno ipotesi l'esistenza dell'aggiunto. Non trovo questo teorema online, non nella versione che vuole lui e che vi spiego qua sotto. Mi ha detto di provare a scrivere l'enunciato, questo è ciò che mi ha detto a riguardo:
Ho due categorie, $A$ e $B$, un funtore $F: A \rightarrow B$ e una funzione sugli oggetti $G_{0}: B \rightarrow A$ (che non so cosa faccia sulle frecce, non è funtore).
Per la definizione di aggiunto (l'aggiunto è una tripla $(F,G,\psi)$) c'è questa $\psi: Hom_{B}(F-,+) \rightarrow Hom_{A}(-,G_{0}+)$ che dovrebbe essere naturale ma non lo è perchè $G_{0}$ non è funtore (condizione necessaria per la naturalezza). Questi $-$ e $+$ indicano due elementi che possono essere oggetti e frecce, tranne, appunto, nel caso di $G_{0}+$ che può prendere in entrata solo oggetti.
Dove gli hom sono: $Hom_{B}(F-,+): A^{op} \times B \rightarrow Set$ e $Hom_{A}(-,G_{0}+): Set \rightarrow A^{op} \times B$.
In sostanza mi ha detto che devo estendere $G_{0}$ sulle frecce in un certo modo (come però?) e renderlo un funtore $G$ e poi verificare che $\psi$ è una famiglia di trasformazioni naturali e quindi che soddisfa il diagramma (def. di trasformazione naturale, questa ce l'ho, okay).
Mi manca proprio l'enunciato, questi sono solo i "dati" da lui suggeriti e poi mi ha detto di scrivere bene l'enunciato, che immagino io, dovrà concludersi con "sotto queste ipotesi esiste l'aggiunto" ...destro o sinistro?
Se qualcuno potesse aiutarmi vi sarei enormemente grata!
Grazie mille per aver letto fin qui!
Risposte
Ti rispondo io, dubito che qualcun altro sappia farlo 
In breve, al netto di qualche imprecisione nella tua esposizione, quello che hai enunciato non è un "teorema del funtore aggiunto" ma una caratterizzazione equivalente di una aggiunzione \(F\dashv G\):
1. Non è "l'aggiunto" ad essere una tripla \(((F,G,\psi)\), questo non ha senso; è l'aggiunzione ad essere determinata da quella terna.
2. Se per ogni coppia di oggetti $x,y$ ti viene data una biiezione [tu hai dimenticato di dire che \(\psi\) è biiettiva; in caso contrario la caratterizzazione è falsa e si è sbagliato lui] \(\psi_{x,y} : \hom(Fx,y)\cong\hom(x,G_0y)\) è evidente che puoi promuoverla a una trasformazione naturale definendo \(\hom(x, G_0y)\to \hom(x,G_0y')\) come la composizione \(\psi_{x,y'}\circ\hom(x, F(f))\circ \psi_{x,y}\). Tutto quello che ho fatto è stato riscriverti il teorema 2 a pagina 81 del Mac Lane.
3. In "$Hom_{A}(-,G_{0}+): Set \rightarrow A^{op} \times B$" hai invertito dominio e codominio
Un "teorema del funtore aggiunto" è invece un qualsiasi asserto che dia condizioni sufficienti a $F$ per ammettere un aggiunto, una volta noto che $F$ preserva i colimiti. Certamente puoi vedere questo come una sorta di teorema del funtore aggiunto, che ti assicura che $G_0$ si estende (per forza in modo unico) ad un funtore che deve essere aggiunto destro di $F$, ma la nomenclatura che la storia registra è questa.
Ah, un'ultima cosa:
Non è ovvio? In \(\hom(Fx,y)\cong\hom(x,Gy)\) l'aggiunto sinistro sta nella componente sinistra di $\hom$, il destro nella destra.
Ovviamente ora vogliamo i pettegolezzi; che corso è? Chi lo tiene e dove?
In breve, al netto di qualche imprecisione nella tua esposizione, quello che hai enunciato non è un "teorema del funtore aggiunto" ma una caratterizzazione equivalente di una aggiunzione \(F\dashv G\):
1. Non è "l'aggiunto" ad essere una tripla \(((F,G,\psi)\), questo non ha senso; è l'aggiunzione ad essere determinata da quella terna.
2. Se per ogni coppia di oggetti $x,y$ ti viene data una biiezione [tu hai dimenticato di dire che \(\psi\) è biiettiva; in caso contrario la caratterizzazione è falsa e si è sbagliato lui] \(\psi_{x,y} : \hom(Fx,y)\cong\hom(x,G_0y)\) è evidente che puoi promuoverla a una trasformazione naturale definendo \(\hom(x, G_0y)\to \hom(x,G_0y')\) come la composizione \(\psi_{x,y'}\circ\hom(x, F(f))\circ \psi_{x,y}\). Tutto quello che ho fatto è stato riscriverti il teorema 2 a pagina 81 del Mac Lane.
3. In "$Hom_{A}(-,G_{0}+): Set \rightarrow A^{op} \times B$" hai invertito dominio e codominio
Un "teorema del funtore aggiunto" è invece un qualsiasi asserto che dia condizioni sufficienti a $F$ per ammettere un aggiunto, una volta noto che $F$ preserva i colimiti. Certamente puoi vedere questo come una sorta di teorema del funtore aggiunto, che ti assicura che $G_0$ si estende (per forza in modo unico) ad un funtore che deve essere aggiunto destro di $F$, ma la nomenclatura che la storia registra è questa.
Ah, un'ultima cosa:
"sotto queste ipotesi esiste l'aggiunto" ...destro o sinistro?
Non è ovvio? In \(\hom(Fx,y)\cong\hom(x,Gy)\) l'aggiunto sinistro sta nella componente sinistra di $\hom$, il destro nella destra.
Ovviamente ora vogliamo i pettegolezzi; che corso è? Chi lo tiene e dove?
Così a sensazione per me potrebbe essere Rosolini
Ah, ma Pino fa un corso di categorie? Bene!
"Trilogy":
Così a sensazione per me potrebbe essere Rosolini
Vi assicuro che in questo momento sono spaventata. Come avete fatto?! Cosa ho detto che vi ha fatto indovinare? COME E' POSSIBILE? Era per il tono di disperazione del mio messaggio? Vi prego ditemi come avete fatto o non mi darò pace! Ma c'è solo lui nel mondo che fa 'ste robe?
Il corso comunque è un proseguimento del corso di Logica, introduce le categorie e poi abbiamo fatto un po' di cose tipo dottrine, roba nella cat. dei contesti, filtri, teoremi di completezza, correttezza e rappresentazione... non so come definire la materia esattamente.
Tornando a noi, @killing_budda, ti ringrazio tantissimo per le spiegazioni. Ora intanto mi è più chiaro perchè non trovassi da nessuna parte il teorema in questa forma!
Sì, ho sbagliato un po' di cose nello scrivere:
1. Era aggiunzione, pensavo che fossero due modi di dire la stessa cosa, "aggiunzione" e "aggiunto", ma invece no.
2. $\psi$ è biiettiva, ho proprio dimenticato di scriverlo, ma era scritto giusto sul quaderno, grazie della nota!
3. Avevo invertito le frecce, ehm... ecco perchè alcune cose non mi tornavano! Grazie mille!
"killing_buddha":
...promuoverla a una trasformazione naturale definendo hom(x,G0y)→hom(x,G0y′) come la composizione ψx,y′∘hom(x,F(f))∘ψx,y.
Una sola cosa mi sfugge nella definizione per far commutare il diagramma, spero di non scocciarti troppo.
Nel diagramma per provare che $\psi_{x,-}$ è naturale nella seconda entrata ho, per ogni $f: y \rightarrow y'$:
In orizzontale
$Hom(Fx,y) \rightarrow^{\psi_{x,y}} Hom(x,G_{0}y)$
$Hom(Fx,y') \rightarrow^{\psi_{x,y'}} Hom(x,G_{0}y')$
In verticale perchè dici che ho $Hom(x, F(f))$? Non dovrebbe essere $Hom(Fx,f(y))$? Cioè, sulla prima componente non siamo già a posto e sulla seconda devo solo mandare y in y'?
Okay ancora una, ultimissima però! In questo modo, dato che abbiamo reso $\psi$ naturale, questo basta per dire che allora $G_{0}$ si estende a un funtore $G$ che è l'aggiunto (e a questo punto direi semplicemente perchè soddisfa la definizione) destro (grazie! ^^) di $F$? O devo dire esplicitamente cosa fa $G$ sulle frecce?
Ancora grazie mille! Ero proprio bloccatissima e non sapevo cosa fare! Grazie davvero!
"Riemann42":
... spero di non scocciarti troppo. ...
Figurati, sta aspettando solo quello!
"axpgn":
[quote="Riemann42"]... spero di non scocciarti troppo. ...
Figurati, sta aspettando solo quello!
[/quote]
[ot]
Vi assicuro che in questo momento sono spaventata. Come avete fatto?! Cosa ho detto che vi ha fatto indovinare? COME E' POSSIBILE? Era per il tono di disperazione del mio messaggio? Vi prego ditemi come avete fatto o non mi darò pace! Ma c'è solo lui nel mondo che fa 'ste robe? [/quote]
Sono passato attraverso esperienze analoghe nello stesso posto e questo è stato l'ingrediente fondamentale. Il manuale dello stalker prevede anche la consultazione dei messaggi precedenti, ma in questo caso è stato sufficiente dare un'occhiata ai titoli dei topic. E comunque chi non è del parere che i matematici siano tra gli scienziati con le maggiori probabilità di successo nello sviluppare la tipica intuizione paranoica da detective romanzesco?[/ot]
"Riemann42":
[quote="Trilogy"]Così a sensazione per me potrebbe essere Rosolini
Vi assicuro che in questo momento sono spaventata. Come avete fatto?! Cosa ho detto che vi ha fatto indovinare? COME E' POSSIBILE? Era per il tono di disperazione del mio messaggio? Vi prego ditemi come avete fatto o non mi darò pace! Ma c'è solo lui nel mondo che fa 'ste robe?
[/quote]Sono passato attraverso esperienze analoghe nello stesso posto e questo è stato l'ingrediente fondamentale. Il manuale dello stalker prevede anche la consultazione dei messaggi precedenti, ma in questo caso è stato sufficiente dare un'occhiata ai titoli dei topic. E comunque chi non è del parere che i matematici siano tra gli scienziati con le maggiori probabilità di successo nello sviluppare la tipica intuizione paranoica da detective romanzesco?[/ot]
spero di non scocciarti troppoPer una volta che si parla di matematica un po' più raffinata di quelle quattro acche di analisi. Anzi, se hai altri problemi non esitare a chiedere. E fai i miei esercizi.
"Riemann42":
In questo modo, dato che abbiamo reso $\psi$ naturale, questo basta per dire che allora $G_{0}$ si estende a un funtore $G$ che è l'aggiunto (e a questo punto direi semplicemente perchè soddisfa la definizione) destro (grazie! ^^) di $F$? O devo dire esplicitamente cosa fa $G$ sulle frecce?
La definizione di $G$ sui morfismi segue dal fatto che il diagramma
\[
\begin{CD}
{\cal B}(Fx,y) @>\psi_{xy}>> {\cal A}(x,G_0y)\\
@V{\cal B}(Fx,\varphi)VV @VVV\\
{\cal B}(Fx,y') @>>\psi_{xy'}> {\cal A}(x, G_0y')
\end{CD}
\] ora commuta; questo ti dà una freccia \({\cal A}(x,G_0y)\to {\cal A}(x,G_0y')\), che è (la componente di) una trasformazione naturale \({\cal A}(-,G_0y)\to {\cal A}(-,G_0y')\), e ora usi il lemma di Yoneda.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo