Elemento invertibile di un gruppo

[antoxo1]

Salve,
sto svolgendo il seguente esercizio:

Si consideri l’insieme $A =$ $QQ$ $→$ $QQ$ e sia $∗: A × A → A$ l’operazione definita da
$(a,b) ∗ (c,d) = (4ac,b + d + 1)$ $∀(a,b),(c,d) ∈ A$.
(1) Stabilire se l’operazione è commutativa ed associativa.
(2) Determinare, se esiste, l’elemento neutro.
(3) Determinare gli elementi invertibili di $A$ e calcolare l’inverso di $(1,1)$.

Ho già dimostrato che $(A, ∗)$ è commutativa ed associativa.
Ho trovato l'elemento neutro e risulta essere $(1/2, -1)$
Ho calcolato l'inverso di $(1,1)$ ottenendo come risultato $(1/8, -1)$, ma non ho ben capito come trovare gli elementi invertibili di $A$. Potreste aiutarmi? Grazie mille in anticipo

[@melia]

A me l'elemento neutro risulta $(1/4, -1)$ infatti $(c, d)$ è l'elemento neutro se $ (a,b) ∗ (c,d) = (4ac,b + d + 1) =(a,b)$ quindi
$4ac=a => c=1/4$ e $b+d+1=b =>d=-1$

per l'inverso di $(1,1)$
$(1,1)∗ (c,d) = (4c,1 + d + 1) =(1/4,-1)$ perciò
$4c=1/4 =>c=1/16$ e $1+d+1=-1 =>d=-3$

sono invertibili tutti gli elementi $(a,b)$ per cui è possibile individuare una coppia $(c, d)$ tale che
$ (a,b) ∗ (c,d) = (4ac,b + d + 1) =(1/4,-1)$
$4ac=1/4$ e $b + d + 1= -1$
$c=1/(16a)$ che implica $a !=0$ e $d=-2-b$ che è possibile per ogni b
le coppie invertibili sono tutte quelle il cui primo elemento è diverso da 0.