Corrispondenza tra ideali

[anto_zoolander]

Ciao!

Sia $(R;+,*)$ un anello e $I$ un ideale di $R$. Definiamo,

• $X$ insieme degli ideali di $R$ contenti $I$
• $Y$ insieme degli ideali di $R/I$

L’applicazione $Phi:X->Y$ definita come $Phi(A)=pi(A)$
(Dove $pi:R->R/I$ è la proiezione canonica)
È una corrispondenza biunivoca.

Lemma 1

$f:R->R’$ omomorfismo di anelli.
Se $B$ è un ideale di $R’$ allora $f^(leftarrow)(B)$ è un ideale di $f^(leftarrow)(R’)=R$ contente il nucleo

Lemma 2

sia $R$ un anello e $I$ un ideale. Considerata $pi:R->R/I$ la proiezione canonica allora $Ker(pi)=I$

Lemma 3

sia $R$ un anello e $I$ un ideale, considerata $pi:R->R/I$ la proiezione

per ogni ideale $A$ di $R$ contenente $I$ si ha $pi(A)=A/I$

Di questo metto anche la dimostrazione che ho dimostrato così
$pi(A)={yinR/I|existsx inR,pi(x)=y}={[x]inR/I|x inA}$

Essendo $A/I={[x]: x inA}$ si ha la tesi, poiché

$[x]inpi(A)<=>x inA<=>[x]inA/I$

Intanto è suriettiva poiché se $B inY$ allora $pi^(leftarrow)(B)$ è un ideale di $R$ contente $I$ pertanto essendo $pi(pi^(leftarrow)(B))=B$ si ha la suriettivitá

Se $A,B$ sono ideali di $R$ contenenti $I$ allora $pi(A)=pi(B) => A/I=B/I$ quindi

$x inA<=>[x]inA/I=B/I<=>x inB => A=B$

Corretto?

[killing_buddha]

È giusto. Prova a farlo anche per altre strutture. È vero per i gruppi? È vero per gli spazi vettoriali? In quale variazione dell'enunciato?

È vero per i semigruppi? Perché? È vero per gli insiemi puntati?