Dimostrazione normalità di $\text{ker} f$
Esercizio. Siano $(X,\ast_X)$ e $(Y,\ast_Y)$ due gruppi e sia $f : X \mapsto Y$ un omomorfismo. Dimostrare che $(\text{ker}f,\ast)$ è un sottogruppo normale di $(X,\ast_X)$, dove $\ast:=\ast_X \cap (\text{ker}f)^3$.
Ok, sul fatto che $(\text{ker}f,\ast)$ sia un magma ci sono, così come sul fatto che è anche sottogruppo. Mi interessa la normalità. Per dimostrare che questo sottogruppo è normale devo far vedere che \[\forall x \in X : x \ast_X \text{ker}f=\text{ker}f \ast_X x .\] Per definizione per ogni $z \in X$ si ha $z \in x \ast_X \text{ker}f$ se e solo se esiste almeno un $h \in \text{ker}f$ per cui $z=x \ast_X h$. D'altronde, essendo $(X,\ast_X)$ un gruppo, \[z=x \ast_X h = ((x \ast_X h)\ast_X x')\ast_X x.\] Ma $(x \ast_X h)\ast_X x' \in \text{ker}f$: infatti, essendo $f$ un omomorfismo, \[f((x \ast_X h)\ast_X x')=...=\underbrace{(f(x)\ast_Yf(h))\ast_Y f(x')=...=f(x) \ast_Y f(x')}_{h \in \text{ker}f, \text{ quindi }f(h)=1_Y}=...=1_Y .\] Ho provato quindi che esiste almeno un $g \in \text{ker}f$ per cui $z = g \ast_X x$, ovvero $z \in \text{ker}f \ast_X x$.
In maniera analoga riesco a provare che $\text{ker}f \ast_X x \subseteq x \ast_X \text{ker}f$. Per l'assioma di estensionalità, la normalità che volevo provare.
Va bene? Vi prego anche di controllare la notazione.
Grazie.
Risposte
Per quanto ti appaia paradossale, essere così formale ti allontana dalla pratica matematica come la intendono i matematici. Il problema è che di matematica vera tu non ne hai ancora vista, quindi ti manca una qualche forma di confronto tra le immagini mentali che ti crei e l'idioletto che possiedono i matematici "professionisti", o chi, con qualche anno più di te, sta studiando per diventarlo. Questo comporta che è difficile farti capire cosa intendo con "la dimostrazione va bene, ma non è scritta in un modo che un matematico reputa convenzionale"; per esempio, nessuno si sogna di iniziare la dimostrazione che \(\ker f\) è un sottogruppo normale di un gruppo con
Io capisco perché fai così, e dimostra se non altro la tua vocazione al pensiero astratto, ma la prospettiva in cui ti costringi ad essere sovra-formale deve diventare quella di abbandonare il più in fretta possibile questo stile comunicativo; facendo matematica, non lo troverai da nessuna parte.
Prima di tutto è un magma.Questo è vero anche nella misura in cui l'operazione di gruppo tra elementi del sottogruppo ricade nel sottogruppo pressoché "ad occhio" dato che se $f(x)=1=f(y)$ allora $f(xy)=f(x)f(y)=1$. E l'esercizio deve darti questa scioltezza, questa non-chalance.
Io capisco perché fai così, e dimostra se non altro la tua vocazione al pensiero astratto, ma la prospettiva in cui ti costringi ad essere sovra-formale deve diventare quella di abbandonare il più in fretta possibile questo stile comunicativo; facendo matematica, non lo troverai da nessuna parte.
"killing_buddha":
Per quanto ti appaia paradossale, essere così formale ti allontana dalla pratica matematica come la intendono i matematici.
Sai, me ne sono accorto. È questo che intendo quando dico che non so cosa può uscire da me.
"killing_buddha":
Il problema è che di matematica vera tu non ne hai ancora vista, quindi ti manca una qualche forma di confronto tra le immagini mentali che ti crei e l'idioletto che possiedono i matematici "professionisti", o chi, con qualche anno più di te, sta studiando per diventarlo.
Infatti io la matematica vera non l'ho ancora vista, così come mi mancano dei riferimenti. Per questo scrivo qui per confronto.
È un teorema molto basilare questo e me ne rendo conto. Uno lo avrebbe svolto ad occhi chiusi. Ma il vero esercizio che faccio è di smontare e rimontare la teoria, vedere cosa c'è dentro e poi ci do del mio, la "esplodo", perché io punto al pensiero, ai "meccanismi" - meccanismi è un parola che non mi piace, ma questa mi viene - interni. Alla fine per un esercizio viene fuori questa summa.
"killing_buddha":
la dimostrazione va bene, ma non è scritta in un modo che un matematico reputa convenzionale
Questo mi fa capire che forse io non sto facendo matematica, o quantomeno la stia facendo ma non in maniera convenzionale. Vabbé, ho tempo per farmi male...
Oltre all'attacco non convenzionale, cosa non va? Quale sarebbe il sovra-formalismo?
Grazie
Visto che ormai siamo un trio mi unisco. 
@killing
A me una dimostrazione formale(il più formale per me possibile) provoca in un certo senso ‘pace interiore’.
Penso che la cosa abbia a che fare con il pensiero di aver incastonato una serie di ingranaggi che funzionano alla perfezione.
Aldilà di questo è una cosa che si riversa in ogni ambito della vita di una persona, come la continua ricerca di simmetrie.
Non te ne uscire con la solita frase: ‘menatela su altro’, sai benissimo che non sia un evento così raro.
@killing
A me una dimostrazione formale(il più formale per me possibile) provoca in un certo senso ‘pace interiore’.
Penso che la cosa abbia a che fare con il pensiero di aver incastonato una serie di ingranaggi che funzionano alla perfezione.
Aldilà di questo è una cosa che si riversa in ogni ambito della vita di una persona, come la continua ricerca di simmetrie.
Non te ne uscire con la solita frase: ‘menatela su altro’, sai benissimo che non sia un evento così raro.
Ti rispondo in due modi diversi, a due aspetti diversi della questione.
Ora, uso queste lievi sbavature per farti capire cosa intendo: chiamo sovra-formalismo la cura idiosincratica per aspetti come "indicare sempre rispetto a quale insieme sto considerando la struttura", "specificare che un gruppo è anzitutto un magma", "denotare una funzione $A\to B$ invariabilmente come un opportuno sottoinsieme di $A\times B$", "invocare l'assioma di estensionalità"... appaiata con l'aver lasciato un periodo in sospeso, e con il non aver denotato in maniera usuale l'inverso di un elemento in un monoide.
Le cose, brevemente, stanno così:
1. Non c'è niente di impietoso nella mia critica, sono anzi positivamente stupito tu sia così rapido ad imparare. Solo, un albero cresce bene grazie a un saggio equilibrio di potature, innesti e sfrondamenti. Il sovra-formalismo è un ramo che succhia energie che puoi proficuamente investire altrove.In breve, fai così per una inesperienza che è assai perdonabile, e devi prendere questi consigli come "ciò che si dice a chi è già bravo per conto suo, per continuare a tenerlo sulle corde". Continua così, va quasi tutto bene, ma questa cura eccessiva per il dettaglio, in un momento del tuo apprendimento in cui hai soprattutto bisogno di idee, più che di formalismo, ti dà un'idea sproporzionata di ciò che sono i rapporti di forza nei vari aspetti della mentalità matematica.
2. La matematica deve essere formale, e secondo me deve esserlo molto, ma non scadere nell'aridità di una dimostrazione automatizzata. E non perché disprezzi la matematica formalizzata o meccnaizzata. Anzi; sono un convinto fautore della creazione di proof-assistant sempre più strutturati, flessibili e potenti. Ma perché (di nuovo in breve) la matematica è vasta e non tutta è fatta allo stesso modo. Ci sono àmbiti di essa che non hanno bisogno, o sensibilità, per questo tipo di astrazione. Se vorrai incontrare altri matematici, devi tenere a mente che c'è persino gente a cui fare le dimostrazioni non interessa (o che ha un'idea estremamente ingenua di cosa significhi dimostrare un asserto). E poi ci sono gli ingegneri, certo, ma non infieriamo su chi già soffre per conto suo.
3. Perciò, se tu sei uno di quelli che specifica l'assioma di estensionalità ogni volta che vi fa ricorso, sei in buona compagnia, ho conosciuto altri come te, io sono stato in parte come te, e certamente troverai altri come te. Sai che cos'è il $\lambda$-calcolo? Sai cos'è la programmazione funzionale? Sono due cose che puoi studiare oggi, adesso, praticamente senza aprire libro, e avendo una prospettiva condensata, moderna, efficace e secondo me molto fertile di ciò che è la "matematica formalizzata". soprattutto, la programmazione funzionale è deliziosa da imparare per una persona che ha una vena strutturalista (come sospetto tu sia / spero tu diventi).
"Indrjo Dedej":Del resto, tale $h$ è unico, perché?
Esercizio. Siano $(X,\ast_X)$ e $(Y,\ast_Y)$ due gruppi e sia $f : X \mapsto Y$ un omomorfismo. Dimostrare che $(\text{ker}f,\ast)$ è un sottogruppo normale di $(X,\ast_X)$, dove $\ast:=\ast_X \cap (\text{ker}f)^3$.
Per definizione per ogni $z \in X$ si ha $z \in x \ast_X \text{ker}f$ se e solo se esiste almeno un $h \in \text{ker}f$ per cui $z=x \ast_X h$.
D'altronde, essendo $(X,\ast_X)$,Questa incidentale è sospesa: essendo $(X,\ast_X)$... cosa?
\[z=x \ast_X h = ((x \ast_X h)\ast_X x')\ast_X x.\]Qui è solo perché ho chiaro cosa stai facendo, che capisco che $x'=x^{-1}$.
Ora, uso queste lievi sbavature per farti capire cosa intendo: chiamo sovra-formalismo la cura idiosincratica per aspetti come "indicare sempre rispetto a quale insieme sto considerando la struttura", "specificare che un gruppo è anzitutto un magma", "denotare una funzione $A\to B$ invariabilmente come un opportuno sottoinsieme di $A\times B$", "invocare l'assioma di estensionalità"... appaiata con l'aver lasciato un periodo in sospeso, e con il non aver denotato in maniera usuale l'inverso di un elemento in un monoide.
Le cose, brevemente, stanno così:
1. Non c'è niente di impietoso nella mia critica, sono anzi positivamente stupito tu sia così rapido ad imparare. Solo, un albero cresce bene grazie a un saggio equilibrio di potature, innesti e sfrondamenti. Il sovra-formalismo è un ramo che succhia energie che puoi proficuamente investire altrove.In breve, fai così per una inesperienza che è assai perdonabile, e devi prendere questi consigli come "ciò che si dice a chi è già bravo per conto suo, per continuare a tenerlo sulle corde". Continua così, va quasi tutto bene, ma questa cura eccessiva per il dettaglio, in un momento del tuo apprendimento in cui hai soprattutto bisogno di idee, più che di formalismo, ti dà un'idea sproporzionata di ciò che sono i rapporti di forza nei vari aspetti della mentalità matematica.
2. La matematica deve essere formale, e secondo me deve esserlo molto, ma non scadere nell'aridità di una dimostrazione automatizzata. E non perché disprezzi la matematica formalizzata o meccnaizzata. Anzi; sono un convinto fautore della creazione di proof-assistant sempre più strutturati, flessibili e potenti. Ma perché (di nuovo in breve) la matematica è vasta e non tutta è fatta allo stesso modo. Ci sono àmbiti di essa che non hanno bisogno, o sensibilità, per questo tipo di astrazione. Se vorrai incontrare altri matematici, devi tenere a mente che c'è persino gente a cui fare le dimostrazioni non interessa (o che ha un'idea estremamente ingenua di cosa significhi dimostrare un asserto). E poi ci sono gli ingegneri, certo, ma non infieriamo su chi già soffre per conto suo.
3. Perciò, se tu sei uno di quelli che specifica l'assioma di estensionalità ogni volta che vi fa ricorso, sei in buona compagnia, ho conosciuto altri come te, io sono stato in parte come te, e certamente troverai altri come te. Sai che cos'è il $\lambda$-calcolo? Sai cos'è la programmazione funzionale? Sono due cose che puoi studiare oggi, adesso, praticamente senza aprire libro, e avendo una prospettiva condensata, moderna, efficace e secondo me molto fertile di ciò che è la "matematica formalizzata".
soprattutto, la programmazione funzionale è deliziosa da imparare per una persona che ha una vena strutturalista (come sospetto tu sia / spero tu diventi).
"anto_zoolander":
Visto che ormai siamo un trio mi unisco.
@killing
A me una dimostrazione formale(il più formale per me possibile) provoca in un certo senso ‘pace interiore’.
Penso che la cosa abbia a che fare con il pensiero di aver incastonato una serie di ingranaggi che funzionano alla perfezione.
Aldilà di questo è una cosa che si riversa in ogni ambito della vita di una persona, come la continua ricerca di simmetrie.
Non te ne uscire con la solita frase: ‘menatela su altro’, sai benissimo che non sia un evento così raro.
Io sono un difensore di un approccio strutturale alla matematica, ma non sono un formalista. Qual è la differenza tra i due approcci? Sostanzialmente che nella prima ottica c'è un livello (quello che oscura la struttura e l'interconnessione tra gli enti che si studiano) che è "troppo" formale.
Più che sulla loro definizione scevra da qualsiasi ambiguità e libera da qualsiasi riferimento a congiunture umane, il focus ermeneutico di uno strutturalista è sulla natura relazionale degli oggetti in gioco. Lo strutturalismo è lo studio della cogenza dietro le cose, portato avanti nella convinzione che la loro comprensione si realizzi meglio se quelle cose sono studiate non "per sé stesse" ma connesse con tutti gli altri oggetti da relazioni meta-linguistiche. Se ci pensi attentamente, ti renderai conto che questo approccio è ortogonale-complementare allo studio dei fondamenti: da un lato, "come definire" le cose; dall'altro, "ciò che le cose sono" a prescindere da come le hai definite.
In questa prospettiva "la domanda" diventa qualcosa del genere:
va bene, $\ker f$ è un sottogruppo normale, ma cosa significa normale? Qual è il motivo profondo per cui ho bisogno di richiedere che un sottogruppo sia normale [dal fondo: "perché questo dà all'insieme delle classi laterali \(G/H\)
una struttura di gruppo!"] ma siamo davvero sicuri che il motivo sia quello? Probabilmente ne esiste uno di più profondo; probabilmente si può ragionare in maniera simile in un'altra struttura algebrica?
"killing_buddha":
Questa incidentale è sospesa: essendo $(X,∗_X)$... cosa?
Mi sono scordato un pezzo. Ho corretto.
Uso $x'$ al posto di $x^{-1}$ per comodità nella scrittura spesso su un tablet.
"killing_buddha":
Del resto, tale $h$ è unico, perché?
Sia anche $j \in \text{ker}f$ tale che $z= x \ast_X j$. Quindi $x \ast_X h=x \ast_X j$, da cui per la legge di cancellazione, $h=j$. Vuoi confermare le tue ipotesi, eh?
"killing_buddha":
Le cose, brevemente, stanno così:
1. Non c'è niente di impietoso nella mia critica, sono anzi positivamente stupito tu sia così rapido ad imparare. Solo, un albero cresce bene grazie a un saggio equilibrio di potature, innesti e sfrondamenti. Il sovra-formalismo è un ramo che succhia energie che puoi proficuamente investire altrove.In breve, fai così per una inesperienza che è assai perdonabile, e devi prendere questi consigli come "ciò che si dice a chi è già bravo per conto suo, per continuare a tenerlo sulle corde". Continua così, va quasi tutto bene, ma questa cura eccessiva per il dettaglio, in un momento del tuo apprendimento in cui hai soprattutto bisogno di idee, più che di formalismo, ti dà un'idea sproporzionata di ciò che sono i rapporti di forza nei vari aspetti della mentalità matematica.
2. La matematica deve essere formale, e secondo me deve esserlo molto, ma non scadere nell'aridità di una dimostrazione automatizzata. E non perché disprezzi la matematica formalizzata o meccnaizzata. Anzi; sono un convinto fautore della creazione di proof-assistant sempre più strutturati, flessibili e potenti. Ma perché (di nuovo in breve) la matematica è vasta e non tutta è fatta allo stesso modo. Ci sono àmbiti di essa che non hanno bisogno, o sensibilità, per questo tipo di astrazione. Se vorrai incontrare altri matematici, devi tenere a mente che c'è persino gente a cui fare le dimostrazioni non interessa (o che ha un'idea estremamente ingenua di cosa significhi dimostrare un asserto). E poi ci sono gli ingegneri, certo, ma non infieriamo su chi già soffre per conto suo.
3. Perciò, se tu sei uno di quelli che specifica l'assioma di estensionalità ogni volta che vi fa ricorso, sei in buona compagnia, ho conosciuto altri come te, io sono stato in parte come te, e certamente troverai altri come te. Sai che cos'è il λ-calcolo? Sai cos'è la programmazione funzionale? Sono due cose che puoi studiare oggi, adesso, praticamente senza aprire libro, e avendo una prospettiva condensata, moderna, efficace e secondo me molto fertile di ciò che è la "matematica formalizzata".
Purtroppo sono cresciuto con gli Elementi sotto il cuscino - metaforicamente - con la sua critica e sono fortissimamente interessato alla logica e alla teoria degli insiemi. E purtroppo sono sensibile agli aspetti assiomatici, definitori e dimostrativi. Vuoi vedere come faccio le cose di analisi? Logica pura, e qualcuno impallidirà a questa affermazione. Secondo te io non ho capito perché un post come questo
viewtopic.php?f=36&t=167806
non ha avuto risposte? Due anni fa ero agli inizi e più inesperto... Senza contare i miei post recenti in questa sezione... L'ho capito che è troppo. Volevo una conferma ed è venuta.
Non non so cosa sia il $\lambda$-calcolo e la programmazione funzionale. Vedrò.
Purtroppo sono cresciuto con gli Elementi sotto il cuscino - metaforicamente - con la sua critica e sono fortissimamente interessato alla logica e alla teoria degli insiemi. E purtroppo sono sensibile agli aspetti assiomatici, definitori e dimostrativi.L'interesse per queste cose non e' ne' un handicap ne' una colpa; solo, io penso che la propensione per i fondamenti si nutra di informazioni su cio' che vuoi fondare. Solitamente un logico "tocca" matematica che e' "di costituzione elementare", e ignora la topologia algebrica, l'algebra omologica, la teoria della rappresentazione, la geometria dei numeri.. cosi' come le implementazioni dei suoi modelli. Questo limita il tuo apprendimento perche' parli in maniera sempre piu' approfondita di un parco di concetti sempre piu' esiguo, fino al paradosso di chi "sa un sacco di cose su sempre meno cose, finche' non sa tutto di nulla".
Tutto questo, al netto della consapevolezza che non c'e' un logico, ma che la disciplina si fonda su diversi pilastri, e ha diverse declinazioni molto diverse tra loro anche in seno a se' stessa. A me interessa molto l'aspetto dei fondamenti (problemi come: la metateoria che fa da ambiente per ZF e' consistente?), ma allo stesso tempo mi interessano molto dei problemi "concreti"[1], mi interessano molto alcuni aspetti della combinatoria, alcuni aspetti strutturali dell'analisi, alcune applicazioni della teoria delle categorie ai fondamenti della fisica teorica, e incidentalmente la filosofia della matematica. Ma non quella fatta da Benacerraf e da Badiou: loro non sapevano, o non volevano, calcolare l'hessiana di una curva di grado 6. Questa loro incapacita', il loro disinteresse per mettere le mani nelle interiora della cosa che interessa fondare, li invalida ai miei occhi, per lo stesso motivo per cui sto proponendo il mio pensiero a te.
[1] tipo questo o questo: il fatto che non esista e non possa esistere una formula chiusa per la coomologia di un prodotto di cerchi e' una sfida all'ermeneutica, ed e' una deficienza cogente ed ineliminabile della nostra comprensione degli oggetti matematici; soprattutto perche' sfida con domande tipo "cosa e' davvero la combinatoria" che un logico immerso nell'ennesimo tentativo di re-implementare l'aritmetica di Peano non si fara' mai.
"killing_buddha":
va bene, $\ker f$ è un sottogruppo normale, ma cosa significa normale? Qual è il motivo profondo per cui ho bisogno di richiedere che un sottogruppo sia normale [dal fondo: "perché questo dà all'insieme delle classi laterali \(G/H\) una struttura di gruppo!"] ma siamo davvero sicuri che il motivo sia quello?
Cavolo, io avrei detto di sì, anche perché mi pare che si possa dimostrare che l'operazione sul quoziente della relazione definita dal gruppo sia ben definita se E SOLO SE il sottogruppo è normale, ma se dici così mi viene da pensare che in effetti un motivo più profondo ci sia, e a questo punto sono curioso di sapere qual è.
Probabilmente ne esiste uno di più profondo ; probabilmente si può ragionare in maniera simile in un'altra struttura algebrica?
In quanto alle analogie con altre strutture algebriche c'era un'osservazione che avevo fatto al tempo quando studiavo teoria dei gruppi (avevo già fatto teoria degli anelli), che forse non c'entra nulla con quello a cui pensavi te ma mi farebbe piacere sapere cosa ne pensi.
L'osservazione che avevo fatto è che c'è una sorta di analogia tra le sottostrutture nei due ambienti (anelli e gruppi) ovvero sotto molti aspetti i sottoanelli per gli anelli sono come i sottogruppi per i gruppi, e questo non è troppo sorprendente anche dal nome se vogliamo, ma avevo notato anche una certa somiglianza tra gli ideali e i sottogruppi normali, anche se l'analogia non funziona tanto bene se si passa a confrontare sottogruppi con sottogruppi normali a sottoanelli con ideali, infatti nel primo caso i secondi sono dei casi particolari dei primi, mentre nel secondo caso sono quasi inesistenti gli oggetti che siano sia sottoanelli che ideali, direi solo tutto l'anello se lo si considera un ideale come si fa di solito, oppure ${0}$ se per anello non si intende unitario.
"killing_buddha":
Solitamente un logico "tocca" matematica che e' "di costituzione elementare", e ignora la topologia algebrica, l'algebra omologica, la teoria della rappresentazione, la geometria dei numeri.. cosi' come le implementazioni dei suoi modelli. Questo limita il tuo apprendimento perche' parli in maniera sempre piu' approfondita di un parco di concetti sempre piu' esiguo
Avevo bisogno di sentire anche questo. Grazie mille.
"Indrjo Dedej":
Esercizio. Siano $(X,\ast_X)$ e $(Y,\ast_Y)$ due gruppi e sia $f : X \mapsto Y$ un omomorfismo. Dimostrare che $(\text{ker}f,\ast)$ è un sottogruppo normale di $(X,\ast_X)$, dove $\ast:=\ast_X \cap (\text{ker}f)^3$.
[...]
Prima di preoccuparti della notazione (che è qualcosa di molto più soggettivo di quanto pensi) e dell'essere il più scrupoloso possibile, dovresti cercare di capire i concetti sottostanti. Definire l'operazione su un sottogruppo potrebbe sembrarti uno scrupolo formale, ma è un errore concettuale. Infatti l'operazione di un sottogruppo è implicita nella definizione di sottogruppo, insomma non si può essere un sottogruppo rispetto ad una operazione diversa.
Forse è una questione di notazioni, ma come definisci l'intersezione di una funzione con un insieme? Nota che l'operazione su un gruppo \((G,\bullet)\) è una funzione da \(\displaystyle G\times G \) in \(\displaystyle G \), quindi a voler essere formali l'operazione su un sottogruppo \(\displaystyle H \) è definita formalmente come la funzione \(p\circ \bullet \circ (i\times i) \) dove \(\displaystyle i\colon H\to G \) è l'immersione di \(\displaystyle H \) in \(\displaystyle G \), \(\displaystyle (i\times i)\colon H\times H\to G\times G \) è il prodotto di \(\displaystyle i \) con \(\displaystyle i \) e \(\displaystyle p\colon G\to H\colon H\times H\to H \) è la proiezione di \(G\) in \(H\) (ristretta ad \(\displaystyle H \) è la funzione identità e manda \(\displaystyle G\setminus H \) in \(\displaystyle \{1\} \). Generalmente si ignora la proiezione \(p\).
Nella dimostrazione, hai aggiunto un po' di passaggi inutili perché \(\forall x\in X,\,xHx^{-1} \subseteq H\) è tra le definizioni equivalenti di normalità di un sottogruppo. Ridimostrare ogni volta l'equivalenza di queste definizioni mi pare una perdita di tempo.
Definisco una funzione come sottoinsieme di un prodotto cartesiano con una certa proprietà.
Scrivo apposta per capire, avere un confronto. Tutto qui.
Mi dispiace profondamente che tra le mie righe non riesca ad emergere il lavorio che sta dietro e quanto io in realtà abbia compreso.
Per comunicare nella stessa lingua allora dovrò comprarmi un libro di algebra. Coi pdf non ce la faccio.
Scrivo apposta per capire, avere un confronto. Tutto qui.
Mi dispiace profondamente che tra le mie righe non riesca ad emergere il lavorio che sta dietro e quanto io in realtà abbia compreso.
Per comunicare nella stessa lingua allora dovrò comprarmi un libro di algebra. Coi pdf non ce la faccio.
"Indrjo Dedej":
Definisco una funzione come sottoinsieme di un prodotto cartesiano con una certa proprietà.
Scrivo apposta per capire, avere un confronto. Tutto qui.
Mi dispiace profondamente che tra le mie righe non riesca ad emergere il lavorio che sta dietro e quanto io in realtà abbia compreso.
Per comunicare nella stessa lingua allora dovrò comprarmi un libro di algebra. Coi pdf non ce la faccio.
Tra libro e dispense non cambia molto, non serve che spendi soldi: su questi argomenti si possono trovare dispense gratuite di qualità discreta.
Sull'operazione ok, non avevo fatto caso all'elevamento alla terza. E' corretto allora, anche se continua ad essere sbagliato scrivere l'operazione associata ad un sottogruppo. Ma sono sicuro che sia qualcosa su cui semplicemente non ci avevi ragionato. Secondo me più che trovare più materiali dovresti solo smettere di avere paura di essere poco preciso
.
Questo topic mi incuriosisce.
Prima di lanciarsi in giudizi e digressioni,io sarei curioso di capire chi è che ci scrive, cosa ha studiato, da dove ha preso l'esercizio.
Questo modo di risolverlo non mi sembra né utile, né illuminante, né tantomeno elegante. Introduce una serie di nozioni (magma, principio di estensionalità, prodotto cartesiano, intersezione e penso altri) senza averli definiti (qui) e soprattutto senza che siano necessari ai fini della dimostrazione della proposizione, a meno che uno non voglia fare un (brutto) esercizio di retorica, più che di logica o teoria degli insiemi. Questa è algebra. Partiamo dalle definizioni importanti ai fini della dimostrazione: gruppo, sottogruppo, sottogruppo normale e nucleo. Il topic starter ha voglia di scrivercele in parole sue, per come le ha studiate? Useremo poi queste quattro per dimostrare la proposizione.
Prima di lanciarsi in giudizi e digressioni,io sarei curioso di capire chi è che ci scrive, cosa ha studiato, da dove ha preso l'esercizio.
Questo modo di risolverlo non mi sembra né utile, né illuminante, né tantomeno elegante. Introduce una serie di nozioni (magma, principio di estensionalità, prodotto cartesiano, intersezione e penso altri) senza averli definiti (qui) e soprattutto senza che siano necessari ai fini della dimostrazione della proposizione, a meno che uno non voglia fare un (brutto) esercizio di retorica, più che di logica o teoria degli insiemi. Questa è algebra. Partiamo dalle definizioni importanti ai fini della dimostrazione: gruppo, sottogruppo, sottogruppo normale e nucleo. Il topic starter ha voglia di scrivercele in parole sue, per come le ha studiate? Useremo poi queste quattro per dimostrare la proposizione.
Lieto che ti abbia incuriosito.
Io sono chi ti dice il nick. Sono uno studente di quarta liceo che sta studiando da autodidatta. L'esercizio viene da un libro trovato in biblioteca, ma l'ho riformulato io.
Non voleva né essere utile, né illuminante né tantomeno elegante.
Credevo fossero concetti ben noti, e pensavo di non mettermi a ridefinirli di volta in volta. E poi non credo di fare aver fatto un brutto esercizio di retorica, e nemmeno un esercizio di retorica.
Ti sembra che non abbia usate delle definizioni?
Io sono chi ti dice il nick. Sono uno studente di quarta liceo che sta studiando da autodidatta. L'esercizio viene da un libro trovato in biblioteca, ma l'ho riformulato io.
"Gary_Baldi":
Questo modo di risolverlo non mi sembra né utile, né illuminante, né tantomeno elegante.
Non voleva né essere utile, né illuminante né tantomeno elegante.
"Gary_Baldi":
Introduce una serie di nozioni (magma, principio di estensionalità, prodotto cartesiano, intersezione e penso altri) senza averli definiti (qui) e soprattutto senza che siano necessari ai fini della dimostrazione della proposizione, a meno che uno non voglia fare un (brutto) esercizio di retorica, più che di logica o teoria degli insiemi.
Credevo fossero concetti ben noti, e pensavo di non mettermi a ridefinirli di volta in volta. E poi non credo di fare aver fatto un brutto esercizio di retorica, e nemmeno un esercizio di retorica.
"Gary_Baldi":
Questa è algebra. Partiamo dalle definizioni importanti ai fini della dimostrazione: gruppo, sottogruppo, sottogruppo normale e nucleo. Il topic starter ha voglia di scrivercele in parole sue, per come le ha studiate? Useremo poi queste quattro per dimostrare la proposizione.
Ti sembra che non abbia usate delle definizioni?
Non voleva né essere utile, né illuminante né tantomeno elegante.
Il problema è questo
Ah, ok, adesso capisco. Sono felice che uno studente di quarta liceo si interessi all'algebra da autodidatta.
Ti spiego cosa volevo dire col mio precedente intervento. Intanto ti ho chiesto che cosa stessi studiando per capire a che scopo stai facendo un esercizio, ai fini della comprensione di quale teoria, perché non è la stessa cosa se è teoria dei gruppi o teoria degli insiemi, ecco.
Presumo che l'esercizio, che tu ti sei divertito a modificare, tu l'abbia trovato in un libro di algebra da primo semestre universitario dove si parla della teoria dei gruppi (o a limite da un primo libro di algebra lineare dove si parla di spazi vettoriali, che in particolare sono gruppi abeliani)
Facciamo finta che vogliamo svolgere il "tema" da te proposto per intero e nel modo più completo possibile dando tutte le definizioni e motivando ogni passaggio. Ci serve la definizione di gruppo. Ha senso dire che "Un gruppo è un magma, un semigruppo e un monoide tale che..."? Poi dobbiamo scrivere anche cos'è un monoide, cos'è un semigruppo, cos'è un magma... quindi un'altra serie di definizioni che non ci sono mai servite e non ci serviranno mai nel nostro corso di Algebra 1, ancora meno nel nostro corso di Geometria 1 a ingegneria.
Ci servirà anche la definizione di omomorfismo, quindi di funzione... ci servirà una definizione rigorosa di funzione come sottoinsieme del prodotto cartesiano (definire) tra dominio (definire) e codominio (definire) come in un corso di Analisi, oppure ci basterà una descrizione del concetto di applicazione come legge che ad ogni elemento di un insieme A associa uno e un solo elemento di un insieme B, per poi passare veramente a ciò che ci interessa e cioè che cos'è che rende un'applicazione tra due gruppi un omomorfismo?
Normalità. $H
Sottogruppo. Il sottogruppo di un gruppo $G$ eredita da $G$ la struttura di gruppo (OPPURE $H$ è un gruppo con l'operazione indotta da $G$.) Non può verificarsi, come ti hanno detto, che ci si riferisca a un oggetto come sottogruppo prendendo come operazione una diversa rispetto a quella di $G$. Essendo il nucleo un sottogruppo di $G$ è ridondante e astruso pensare di aver bisogno di specificare che la sua operazione, vista come sottoinsieme del prodotto cartesiano, si debba intersecare col prodotto cartesiano dei $(Ker)^3$. E' una contorsione mentale barocca senza alcuno scopo, non rende più efficace il discorso, non è elegante, non ci aiuta in nessun modo ad arrivare a quello che ci interessa nella dimostrazione.
E il tutto non risulta neanche rigoroso, perché, ti ripeto, se tu dovessi fare degli appunti di teoria dei gruppi su questo stile, per studiare 50 pagine di Algebra, ti ci vorrebbero 800 pagine di appunti dove usi trecento volte la parola "magma", per dire, e in nessuna di quelle 300 avere mai una struttura degna del nome di "magma" perché non ne ha uno più generale (cioè gruppo, gruppo abeliano, anello, campo ecc.)
E' come se tu dovessi fare un tema di filosofia sulla "Repubblica" di Platone e dicessi "La Repubblica è un'opera di Platone scritta in greco. L'alfabeto greco è un sistema di scrittura di 24 lettere, derivante dal fenicio, il quale derivava da geroglifici egizi... ecc. ecc." Sarebbe tutto molto giusto e istruttivo, ma prima di arrivare a dire qual è il succo della Repubblica per lo scopo per cui la stai studiando, e cioè il valore filosofico, ti ci vuole un secolo e avresti esaurito tutto il tempo a disposizione.
E' vero anche che sei in quarta liceo, quindi di tempo ne hai ancora molto prima di arrivare a confrontarti con l'algebra dell'università.
Comunque ammiro molto la tua verve e la passione che ci metti, mi è piaciuto il topic perché non è l'ennesima richiesta di aiuto ma si è sviluppata una discussione interessante, come dovrebbe accadere in un forum. Continua a studiare e se vuoi leggere un testo di algebra carino ti consiglio, se riesci a trovarlo "Algebretta" di Benedetto Scimemi. E' molto breve e fatto benissimo, ti farà capire cose utili.
Un saluto.
Ti spiego cosa volevo dire col mio precedente intervento. Intanto ti ho chiesto che cosa stessi studiando per capire a che scopo stai facendo un esercizio, ai fini della comprensione di quale teoria, perché non è la stessa cosa se è teoria dei gruppi o teoria degli insiemi, ecco.
Presumo che l'esercizio, che tu ti sei divertito a modificare, tu l'abbia trovato in un libro di algebra da primo semestre universitario dove si parla della teoria dei gruppi (o a limite da un primo libro di algebra lineare dove si parla di spazi vettoriali, che in particolare sono gruppi abeliani)
Facciamo finta che vogliamo svolgere il "tema" da te proposto per intero e nel modo più completo possibile dando tutte le definizioni e motivando ogni passaggio. Ci serve la definizione di gruppo. Ha senso dire che "Un gruppo è un magma, un semigruppo e un monoide tale che..."? Poi dobbiamo scrivere anche cos'è un monoide, cos'è un semigruppo, cos'è un magma... quindi un'altra serie di definizioni che non ci sono mai servite e non ci serviranno mai nel nostro corso di Algebra 1, ancora meno nel nostro corso di Geometria 1 a ingegneria.
Ci servirà anche la definizione di omomorfismo, quindi di funzione... ci servirà una definizione rigorosa di funzione come sottoinsieme del prodotto cartesiano (definire) tra dominio (definire) e codominio (definire) come in un corso di Analisi, oppure ci basterà una descrizione del concetto di applicazione come legge che ad ogni elemento di un insieme A associa uno e un solo elemento di un insieme B, per poi passare veramente a ciò che ci interessa e cioè che cos'è che rende un'applicazione tra due gruppi un omomorfismo?
Normalità. $H
Sottogruppo. Il sottogruppo di un gruppo $G$ eredita da $G$ la struttura di gruppo (OPPURE $H$ è un gruppo con l'operazione indotta da $G$.) Non può verificarsi, come ti hanno detto, che ci si riferisca a un oggetto come sottogruppo prendendo come operazione una diversa rispetto a quella di $G$. Essendo il nucleo un sottogruppo di $G$ è ridondante e astruso pensare di aver bisogno di specificare che la sua operazione, vista come sottoinsieme del prodotto cartesiano, si debba intersecare col prodotto cartesiano dei $(Ker)^3$. E' una contorsione mentale barocca senza alcuno scopo, non rende più efficace il discorso, non è elegante, non ci aiuta in nessun modo ad arrivare a quello che ci interessa nella dimostrazione.
E il tutto non risulta neanche rigoroso, perché, ti ripeto, se tu dovessi fare degli appunti di teoria dei gruppi su questo stile, per studiare 50 pagine di Algebra, ti ci vorrebbero 800 pagine di appunti dove usi trecento volte la parola "magma", per dire, e in nessuna di quelle 300 avere mai una struttura degna del nome di "magma" perché non ne ha uno più generale (cioè gruppo, gruppo abeliano, anello, campo ecc.)
E' come se tu dovessi fare un tema di filosofia sulla "Repubblica" di Platone e dicessi "La Repubblica è un'opera di Platone scritta in greco. L'alfabeto greco è un sistema di scrittura di 24 lettere, derivante dal fenicio, il quale derivava da geroglifici egizi... ecc. ecc." Sarebbe tutto molto giusto e istruttivo, ma prima di arrivare a dire qual è il succo della Repubblica per lo scopo per cui la stai studiando, e cioè il valore filosofico, ti ci vuole un secolo e avresti esaurito tutto il tempo a disposizione.
E' vero anche che sei in quarta liceo, quindi di tempo ne hai ancora molto prima di arrivare a confrontarti con l'algebra dell'università.
Comunque ammiro molto la tua verve e la passione che ci metti, mi è piaciuto il topic perché non è l'ennesima richiesta di aiuto ma si è sviluppata una discussione interessante, come dovrebbe accadere in un forum. Continua a studiare e se vuoi leggere un testo di algebra carino ti consiglio, se riesci a trovarlo "Algebretta" di Benedetto Scimemi. E' molto breve e fatto benissimo, ti farà capire cose utili.
Un saluto.
Stai scherzando, vero?
Cioè se per dimostrare un teorema del genere devi prendere per la tangente, per dimostrare la Lipschitzianità della funzione integrale devi tenere un intero corso di Analisi uno, più un intero corso per la corretta dizione della parola ‘Lipschitzianitá’
Cioè se per dimostrare un teorema del genere devi prendere per la tangente, per dimostrare la Lipschitzianità della funzione integrale devi tenere un intero corso di Analisi uno, più un intero corso per la corretta dizione della parola ‘Lipschitzianitá’
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo