Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

f : Z[size=70]13 [/size]× Z[size=70]13[/size] × Z[size=70]13 [/size]→ Z[size=70]13 [/size] × Z[size=70]13 [/size] × Z[size=70]13 [/size] × Z[size=70]13 [/size] (x, y, z) → (x + 2z, 2x + 2y + z, x + 4z, 3y + z) Si verifichi che la funzione è un omomorfismo di gruppi (additivi). Si specifichi (motivando la risposta) se essa è iniettiva, suriettiva o nè l’una nè l’altra. Vi ringrazio in anticipo

Buongiorno a tutti! Spero che sia giusto postare in algebra/logica questo argomento, altrimenti ditemi pure dove e come spostarlo. Avrei bisogno di un aiuto con un teorema di Teoria delle Categorie che si chiama "Teorema generale degli aggiunti" o "Teorema del funtore aggiunto". Dovrei (come esercizio) riuscire a dimostrare questo teorema, il problema però è che a lezione il prof non lo ha propriamente enunciato e quando gli ho chiesto spiegazioni mi ha detto che in sostanza è un teorema che ...

Salve, sto svolgendo questo esercizio: Sia $∗: ZZ_12$ $×$ $Z_12$ $→$ $ZZ_12$ l’operazione definita da $a$ $∗$ $b$ $=$ $a + b + 5.$ (1) Stabilire se l’operazione è commutativa ed associativa. (2) Determinare l’elemento neutro e stabilire se $(ZZ_12$,$∗)$ è un gruppo abeliano. (3) Calcolare l’elemento $(4 ∗ 5)^2$. Per il ...

Buonasera, non so se sia meglio postare qui o nella sezione di algebra... Sto cercando di dimostrare questa Proposizione Sia $G$ un sottogruppo chiuso di $(RR,+)$ non banale. Allora esiste $m≔min⁡(G∩(0,+∞))$ e $G={km∈R:k∈Z}$ Dimostrazione Poiché $G$ è un gruppo sappiamo che $\forall g∈G$ $kg∈G ∀k∈Z$. Inoltre, è chiaro che $∀g∈G ∀x∈RR ∃k_x∈ZZ:k_x g<x<(k_x+1)g$ Sia $G_+≔G∩(0,+∞)$ e sia $m=\text(inf) G_+$. Se, per assurdo, m=0 allora, ...

Mi è praticamente ovvio affermare che il rapporto tra le radici quadrate di numeri primi(diversi) non è razionale, ma come dovrei fare a dimostrarlo? Ho provato a ragionare per assurdo, ma non saprei come andare avanti (ponendo il rapporto tra le radici di due primi uguali al rapporto di numeri interi) So che la dimostrazione sarà semplicissima, ma sono curioso...

Spero di non aver sbagliato la collocazione di questo quesito, che propongo: Supponiamo di avere un Grafo (non orientato) G connesso. In G tutti i nodi sono di grado pari. E' vero o falso che togliendo un lato qualsiasi il grafo G' ottenuto resta connesso? PS:Mi riservo di dare la mia idea alla fine della discussione

Il mio testo riporta come corollario del teorema fondamentale dell'aritmetica il seguente risultato " Sia $n$ un numero intero tale che $|n|>1$. Allora esistono $p_1,...,p_t$ primi a due a due distinti e degli interi positivi $k_1,...,k_t$ tali che $n=(p_1)^(k_1)*...*(p_t)^(k_t)$" Ora mi chiedevo: non ci vuole anche un più o meno? Ad esempio $-100$ come lo scompongo secondo la "formula" che richiede?

Ciao! Devo dimostrare la seguente proposizione. Considero un anello commutativo con unità $(R;+,*)$ e $a_1,...,a_n inR$ suoi elementi. Allora $(a_1,...,a_n)={sum_(i=1)^(n)lambda_ia_i+sum_(i=1)^(n)r_i*a_i|lambda_j inZZ,r_j inR}$ Coincide con, $T={sum_(i=1)^(n)s_i*a_i|s_i inR}$ Sostanzialmente, secondo me, il motivo è dato dal fatto che $lambda_ia_i=lambda_i(a_i*1_R)=a_i*(lambda_i1_R)$ $sum_(i=1)^(n)lambda_ia_i+sum_(i=1)^(n)r_i*a_i=sum_(i=1)^(n)a_i*underbrace((lambda_i*1_R+r_i))_(s_i)$ Penso si possa concludere osservando che da $s_i=lambda_i*1_R+r_i$ è sempre possibile ricavare sia $s_i$ che $r_i$ ogni volta che ne fisso uno.

Buongiorno a tutti, sto svolgendo il seguente esercizio sulle permutazioni: Si consideri in $S_9$ la seguente permutazione $ f = (( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) , ( 7, 8, 6, 2, 3, 5, 9, 4, 1 ))$ (1) Scrivere $f$ come prodotto di cicli disgiunti e determinarne il periodo. (2) Determinare la parità di $f$. (3) Calcolare $f^-1$ e determinare il sottogruppo di $S_9$ generato da $f$. Ho svolto il primo punto, sperando che sia corretto: 1) Scrivere ...

Buon pomeriggio, Sto svolgendo il seguente esercizio sulle relazioni di equivalenza: Sia assegnata la relazione $p ⊂$ $ZZ$ $×$ $ZZ$ tale che $AA$ $a,b$ $in$ $ZZ$ $apb$ $iff$ $13|(2a + 11b)$ . (1) Verificare che $p$ è una relazione di equivalenza. (2) Determinare la classe di equivalenza $[0]_p$. Per il primo punto ...

Buonasera. Sto svolgendo il seguente esercizio: Si consideri l’insieme \(\displaystyle A = \) $QQ$\(\displaystyle × \)$QQ$ e sia \(\displaystyle ∗ : A × A → A \) l’operazione definita da \(\displaystyle (a,b) ∗ (c,d) = (a 5 + c,2bd) \) \(\displaystyle ∀ (a,b),(c,d) ∈ A. \) (1) Stabilire se l’operazione è commutativa ed associativa. (2) Determinare, se esiste, l’elemento neutro e stabilire se (A,∗) `e un gruppo abeliano. (3) Determinare, se esiste, ...

Salve Ragazzi, scusate ma sono nuovo nel forum e non so bene ancora come utilizzare gli argomenti, ma avendo dato un' occhiata veloce non ho trovato nulla di simile al mio caso che mi chiede di calcolare il resto della divisione per 72 di 365^51. e calcolare il resto della divisione per 84 di 341^51.

Buongiorno, Sto approfendendo diversi dettagli sull'algoritmo della divisione euclidea. Ora mi trovo questa definizione che ho capito, ma ho un'incertezza su un punto dopo alcuni passaggi. Vi riporto la def. che ho sul mio libro: Def. Siano $P_1$ e $P_2$ polinomi, di cui $P_2$ non nullo. Si dice che $P_1$ è divisibile per $P_2$ se il resto della divisione tra $P_1$ e $P_2$ è il polinomio nullo, quindi esiste ...

Dati X, A, B tre insiemi qualsiasi $ X sub (A uu B) rArr X sub A vv X sub B $ è ovviamente falsa. Un controesempio è $X = A uu B$ con A, B disgiunti. Io però "sdimostro" che è vera: $X sub (A uu B) hArr $ $y in X rArr y in A uu B hArr $ $y in X rArr y in A vv y in B hArr $ $(y in X rArr y in A) vv (y in X rArr y in B) hArr $ $X sub A vv X sub B $ Non riesco a trovare l'errore, persino le tavole di verità mi confermano le equivalenze. Riuscite a trovarlo? Grazie!

Ciao! Ho questa dimostrazione, che mi sono 'lasciato per esercizio', da fare. sia $(G,phi)$ un gruppo. se \( N \unlhd G \) allora $R_N={(a,b) inGtimesG| phi(a,b') inN}$ è una relazione $phi$ compatibile. se $R$ è una relazione di equivalenza $phi$ compatibile, allora esiste un sottogruppo normale tale che $R_N=R$ in poche parole, tutte e sole le relazioni $phi$ compatibili sono quelle definite da un sottogruppo normale. Prima dimostriamo che ...

Ciao a tutti! Mi dispiace per il titolo poco originale, ma non mi è venuto niente di particolare in mente. Ecco l'esercizio che mi accingo a risolvere. Esercizio. Sia $(X,\ast)$ un gruppo. Preso \[Z(X):=\{x \in X | \forall y \in X : x \ast y=y \ast x\}\] mostrare che $(Z(X),\ast)$ è un gruppo. Bhé, anzitutto mi chiedo se ha senso parlare di $(Z(X),\ast)$ come magma. In effetti, essendo $Z(X) \subseteq X$ e $(X,\ast)$ un gruppo, per ogni ...

Addentrandomi nello studio della cofinalità (https://en.wikipedia.org/wiki/Cofinality) degli insiemi (parzialmente) ordinati ho trovato un esercizio che chiede di dimostrare che dato un insieme totalmente ordinato, la sua cofinalità è un cardinale regolare (https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_cardinal), ovvero che in un certo senso la cofinalità è una funzione idempotente (è giusto dire che la cofinalità vista come funzione dalla classe degli insiemi totalmente ordinati alla classe dei cardinali è idempotente?). Il problema è che non so come ...

Buongiorno, Sto leggendo la proposizione riguardante l'algoritmo della divisione. Vi riporto solo la parte che non mi è chiara cioè quella inerente all'unicità. Enunciato Siano $P_1$ un polinomio di grado $n$ e $P_2$ di grado $m$. Allora esistono e sono unici due polinomi $Q$ e $R$ tali che: $P_1=Q circdot P_2+R$ e $deg(R)<m$. Inoltre, se $ m le n $ si ha $deg(Q)=n-m$ , mentre se ...

Salve chiedo aiuto per questo esercizio 'Sia $(S,<=)$ un insieme ordinato tale che ogni parte totalmente ordinata sia inferiormente limitata. Provare che $(S,<=)$ è dotato di elementi mininali' L'enunciato assomiglia al lemma di Zorn ma è a parti invertite, non saprei come procedere... Premetto inoltre che non conosco la dimostrazione del lemma di Zorn Grazie

Sappiamo già la validità delle seguenti inclusioni insiemistiche: sia $f:X \rightarrow Y$ con $A\subseteq X$ e $B \subseteq Y$ allora $A \subseteq f^(-1)(f(A))$ e $f(f^(-1)(B)) \subseteq B$. Ora io aggiungo l'ipotesi che la funzione sia anche iniettiva. Allora $A = f^(-1)(f(A))$. Per dimostrare questa uguaglianza insiemistica mi basta solo verificare che $f^(-1)(f(A)) \subseteq A$. Ora visto che ho supposto la f iniettiva, essa ammette una inversa sinistra $g$ che io chiamo $f^(-1)$ e quindi ho ...