Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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\(\Box\) Problema di base: quante relazioni di equivalenza esistono in un insieme di cinque elementi?
Essendo cinque un numero relativamente piccolo, possiamo fare tutto esplicitamente contando le possibili partizioni. Innanzitutto, c'è \(1\) modo per prendere tutti gli elementi e \(1\) per prendere solo singoletti. Poi ci sono esattamente \(5\) modi per partizionare l'insieme in un singoletto contro quattro elementi. Dopodiché, posso suddividere l'insieme in due coppie e un singoletto; ho ...
Salve a tutti.
Vi chiedo di dimostrare il seguente teorema "siano $a,a'in A$ e $b,b' in B$ è $(a,b)=(a',b')$ se e solo se $a=a'$ e $b=b'$"
Ora ho un dubbio sulla veridicità di $(a,b)={{a},{b}}$ e sul perché dovrebbe essere per definizione $(a,b)={{a},{a,b}}$
Grazie a chi dipanerà i miei dubbi
Ciao a tutti,
sto leggendo qualcosa sugli insiemi e mi sono imbattuto nella relazione di equivalenza tra elementi di un insieme.
Questa presenta la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
In particolare mi ha "colpito" la seconda:
\(\displaystyle \forall a,b \in A : a\mathfrak{R}b \Longrightarrow b\mathfrak{R}a \)
Perché è presente il se...allora e non il se e solo se visto che è una relazione di equivalenza? Se io dovessi dire che b è in relazione con a (relazione di equivalenza) non ...
"Un campo è un anello commutativo unitario tale che ogni a ∈ A· ammette inverso a^(−1)∈ A"
Con A· = A - {0}
Questa citazione l'ho presa da delle slide che ci ha lasciato un professore.
Poco prima aveva definito "Campo" un anello se (A·, •) è commutativo.
Perchè in questa spiegazione l'ha definito commutativo "unario" se non parla di elementi neutri 1?
Qual'è il processo logico che lega, il sapere che esiste l'opposto di un elemento appartenente all'insieme A· nell'insieme A, all'aggiunta del ...
Sul libro di Algebra che sto leggendo trovo la seguente definizione di Cardinalità:
DEFINIZIONE. Si definisce cardinalità o numero cardinale o potenza di un insieme A la classe di equipotenza a cui A appartiente. Si indica con Card(A).
Per classe di equivalenza lo stesso dà come definizione:
Un sottoinsieme di A che contiene tutti e soli gli elementi equivalenti a un qualche elemento x di A prende il nome di classe di equivalenza di x per la relazione ∼.
Se la classe di equivalenza è un ...
Buongiorno, nel corso di Algebra 1 definiamo l'insieme degli elementi che non appartengono a se stessi.
A={x\inX\ |\ x\notin\ x}
la mia domanda, forse banale, e' come fa un elemento a non appartenere a se stesso?
Grazie
Ciao a tutti. Il mio prof. Di algebra propone il seguente esercizio:
Sia $A= CC[X]$ $/$ $(X^2-X)$ anello.
1) dimostrate che $uuu(A)={a(bX-1): a,b in A}$
dove con $uuu(A)$ intendo l'insieme degli invertibili di A (non sapevo come indicarlo)
2) se $a(bX-1)=a'(b'X-1) in A $
$con$
$a,a'!=0$
$ e $
$b,b'!=1 Rightarrow a=a'$
$ e $ $b=b'$
Premetto che non ero presente alla lezione in cui ha spiegato i quozienti quindi faccio ...
Ciao!
sia $KsubsetF$ una estensione semplice allora $abs(Gal(F/K))=[F]$[nota]non so se sia universalmente accettato ma la mia prof definisce $Gal(F/K)=Aut_K(F)$ a prescindere dal fatto che si tratti di una estensione di Galois[/nota]
La prof propose una dimostrazione per induzione e chiese(per esercizio) di farla in maniera costruttiva
dimostrazione
se $F=K$ non c'è nulla da dimostrare
supponiamo che $FneK$ e sia $a in FsetminusK$ algebrico di grado ...
Ciao!
Ho difficolta, sempre che sia corretta, a "vedere" questa dimostrazione che ho abbozzato.
In particolare la contronominale recita che in caratteristica $0$ tutti i polinomi irriducibili sono separabili ma non riesco a farmi un esempio che di grado maggiore al primo. Più che altro ho l'impressione che in caratteristica zero i polinomi irriducibili o non hanno radici o sono di grado uno.
Sia $K$ un campo e $f in K[x]$ un polinomio irriducibile
se ...
Ciao. Leggo che [Se si vuole un prodotto in \( \mathbb{R}^2 \) che abbia le proprietà di quello di \( \mathbb R\) (\( \left(\mathbb R,{\cdot}\right) \) è un gruppo abeliano) e che rispetti la norma \( \lVert(a,b)\rVert=\left(a^2+b^2\right)^{1/2} \)] ci si convince rapidamente che deve mescolare le componenti dei fattori. Perché?
E inoltre Si può dimostrare che il più generale prodotto in \( \mathbb R^2 \) commutativo e distributivo rispetto alla somma ...
Salve, qualcuno può aiutarmi a capire questa dimostrazione che ho trovato?
Dimostra che il numero di partizioni di un numero intero positivo \(n \) scrivibili con numeri distinti è uguale al numero di partizioni di \( n \) con numeri dispari.
Sia \( \mathcal{D}(n) \) il numero di partizioni di \(n \) con numeri distinti e \( \mathcal{O}(n) \) il numero di partizioni con numeri dispari allora abbiamo che
\[ \sum\limits_{n \geq0} \mathcal{D}(n)q^n = \prod\limits_{n=1}^{\infty} (1+q^n) = ...
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Studente Anonimo
12 ott 2019, 14:35
Per \( n \in \mathbb{Z}_{\geq 1} \) abbiamo che
\[ \sum\limits_{d \mid n } \phi(d)=n \]
dove \( \phi \) è la funzione totiente di Eulero. Trova una dimostrazione usando argomentazioni di combinatoria di questa formula
Vi domando se vi sembra abbastanza combinatoria come dimostrazione e se va bene.
Io ho pensato a questo definiamo \( \Phi_d := \{ \ell \in [d] : \operatorname{gcd}(\ell,d)=1 \} \) abbiamo \( \left| \Phi_d \right| = \phi(d) \) e quindi dimostrare che \[ \bigsqcup\limits_{d ...
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Studente Anonimo
11 ott 2019, 11:05
Ciao!
ho il seguenti due esercizi dimostrativi sulla teoria dei campi
1. sia $ksubsetF$ una estensione di campi e sia $a in Fsetminusk$ un elemento tale che $[k(a):k]$ è dispari; dimostrare che $k(a)=k(a^2)$
2. sia $f(x)=x^p-x-1 in ZZ_p[x]$
- dimostrare che $f(x)$ è irriducibile su $ZZ_p$
- dimostrare che l'estensione formale $ZZ_p(xi)$ è il campo di spezzamento di $f(x)$
primo
sicuramente $ksubsetk(a^2)subsetk(a)$
supponiamo per assurdo che ...
\(\Box\) Problema di base: determinare il numero di elementi di ordine \(2\) in \(\mathcal{S}_4\).
Allora, l'idea è che una permutazione composta a se stessa è l'identità se fissa due elementi e scambia gli altri due. In particolare, posso fissare le coppie \(\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\}\), quindi \(\mathcal{S}_4\) avrebbe \(6\) elementi di ordine due.
Quindi si tratta di un problema di combinatoria: conto i modi in cui posso ottenere sottoinsiemi di \(2\) elementi da \(4\), e ...
Ciao!
Avrei bisogno di un check su qu questa dimostrazione
1. ogni campo $k$ finito ha $p^n$ elementi con $p$ primo
2. per ogni primo $p$ e naturale $n$ esiste un campo con $p^n$ elementi
Primo
Considerando il monomorfismo $varphi:ZZ->k$ definito come $varphi(n)=n*1_k$ si ottiene una copia $overline(ZZ_p)approxZZ_p$ all’interno di $k$
Deve essere $n:=dim_(overline(ZZ_p))k<+infty$ poiché avendo cardinalità finita ogni ...
Salve a tutti. Non riesco a risolvere il seguente esercizio:
$"Determinare gli elementi invertibili dell'anello di convoluzione"$
Il nostro prof non ha accennato minimamente ma sono andata in internet e ho trovato che
$ f: NN -> X$
$a_n=f(n)$
$f+g:n->f(n)+g(n)$
$f☆g=\sum_{j=0}^n(f(j)*g(n-j))$
elemento neutro 1 se n=0 e 0 se n>1
Io ho pensato di risolverlo per induzione, ossia per $n=0$ ho trovato che $g(0)=f(0)^(-1)$
Perché ho posto $g(0)f(0)=1$
con $n=1$ ho trovato che $g(1)=-f(1)f(0)^(-2)$
Per $n=2 g(2)= f(1)^(2)*f(0)^(-3)-f(2)*f(0)^(-2)$ e ho ...
La relazione vuota è definita così:
E più tardi affermano che essa è simmetrica, antisimmetrica, transitiva.
Fino a qui ci sto, ma poi dice che non è riflessiva (e neanche totale ma lì va bene).
Quella relazione non dovrebbe continuare ad essere considerata riflessiva fino a prova contraria?
Grazie.
P.s.
Il punto ii)
considero la superficie algebrica di ordine n associata alla disuguaglianza di Fermat cioè:
x^n+y^n-z^n=0 Poi posso avere due casi:
(1)
n pari essendo una disuguaglianza porto Z^n a secondo membro , estraggo la radice ennesima e scrivo:
Z=+o- radice ennesima di X^n+Z^n la superficie associata si divide in 2 falde , una positiva e l'altra negativa
quindi la disuguaglianza è sempre verificata per tutte le terne x,y,z
(2)
n dispari estraggo sempre la radice ennesima ...
Buongiorno,
leggendo la definizione di cardinalità: Si chiama cardinalità di un insieme non vuoto $A$ e si indica con $|A|$, la classe degli insiemi equipotenti ad $A$.
C'è ne sta anche un'altra, cioè: si definisce cardinalità di un insieme, il numero di elementi di tale insieme.
Ora, il dubbio che mi viene, come le due definzioni possono essere equivalenti ?
Buongiorno,
Tre giorni fà a lezione abbiamo parlato di come riuscire a costruire l'insieme dei Numeri Interi partendo dall'insieme dei Numeri Naturali.
Io però ho capito poco perché aveva a che fare con le partizioni.
Ora che le ho ri-studiate(mi ero scordato alcuni dettagli infatti), non trovo però online una spiegazione a riguardo (tanto meno sui mio libro di logica), quindi mi stavo chiedendo se qualcuno che conoscesse questa dimostrazione, se me la potesse dimostrare passo passo.
Grazie ...
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