Campi finiti

[anto_zoolander]

Ciao!
Avrei bisogno di un check su qu questa dimostrazione

1. ogni campo $k$ finito ha $p^n$ elementi con $p$ primo
2. per ogni primo $p$ e naturale $n$ esiste un campo con $p^n$ elementi

Primo

Considerando il monomorfismo $varphi:ZZ->k$ definito come $varphi(n)=n*1_k$ si ottiene una copia $overline(ZZ_p)approxZZ_p$ all’interno di $k$

Deve essere $n:=dim_(overline(ZZ_p))k<+infty$ poiché avendo cardinalità finita ogni sistema linearmente indipendente ha al più $abs(k)$ elementi e quindi ci sono sistemi massimali

Questo significa che $k$ ammette base $B={u_1,...,u_n}$ e sarà $k={sum_(j=1)^(m)a_ju_j| a_j in overline(ZZ_p)}$. Data l’unicita della scrittura di ogni elemento ci saranno esattamente $p^n$ elementi distinti.

Secondo

preso il polinomio $p(x)=x^(p^n)-x in ZZ_p[x]$ si può considerare il suo campo di spezzamento $Sigma$ che esiste sicuramente e prendere

$k={a in Sigma: a^(p^n)=a}$

Sicuramente è un campo considerando lo sviluppo de binomio di newton ma la cosa più importante è che deve avere $p^n$ elementi che equivale al dimostrare che le radici sono distinte

$x^(p^n)-x=x(x^(p^n-1)-1)$

se $xi ne 1$ è una radice del polinomio a destra allora ogni $xi^k$ è anche essa radice con la proprietà che $xi^(p^n)=xi$ quindi ${xi^k}_(k=1)^(p^n-1)$ contiene radici distinte del polinomio

Dato che contiene tutte le radici del polinomio è proprio il campo di spezzamento.

[j18eos]

Il punto primo è perfetto e semplicissimo[nota]Magari me l'avessero spiegato così a lezione...[/nota]!

Punto secondo: ma non dovrebbe essere \(\displaystyle\Sigma=GF(p^n)\)[nota]Galois Field of \(\displaystyle p^n\) elements.[/nota]?

[anto_zoolander]

Troppo gentile grazie

Per il secondo onestamente non saprei risponderti.
È un esercizio lasciato alla fine della teoria sui campi finiti, proprio prima di iniziare la teoria di Galois.

Sicuramente nel campo di spezzamento $x^(p^n)-x in ZZ_p[x]$ ha al più $p^n$ radici.
Diciamo che l’unico problema l’ho nel mostrare che effettivamente quelle potenze di $xi$ siano tutte distinte per $1leqk
EDIT ho provato a dimostrarlo in questo modo

per $n=1$ il campo è banalmente $ZZ_p$ per ogni primo $p$
supponiamo che $n>1$

$f(x)=x^(p^n)-x$

sia $xi in F$ una radice del polinomio e supponiamo per assurdo che esista un $m>1$ per cui $(x-xi)^m|x^(p^n)-x$

allora $x^(p^n)-x=(x-xi)^mq(x)$ e derivando $p^nx^(p^n-1)-1=m(x-xi)^(m-1)q(x)+(x-xi)^m q’(x)$
essendo il campo a caratteristica $p$ si ottiene che $m(x-xi)^(m-1)q(x)+(x-xi)^m q’(x)=-1$ il che è assurdo quindi ogni radice ha una molteplicità $m=1$

poi scritto $f(x)=x(x^(p^n-1)-1)$ presa una radice $xi$ diversa dall'unità del fattore più a destra si ottengono $p^n-1$ radici del tipo $xi^k$ con $k=1,...,p^n-1$ che devono essere distinte a causa di quanto dimostrato sopra.

tra l'altro il campo risulterebbe essere $k={0,1,xi,xi^2,...,xi^(p^n-2)}$ dal quale considerando $ksetminus{0}$ si ottiene un gruppo moltiplicativo ciclico

[j18eos]

Hai sbagliato a derivare...

[anto_zoolander]

Mi cospargo il capo di cenere. Corretto.

Alla fine comunque quello che conta è il grado di $m(x-xi)^(m-1)q(x)$ che è $(m-1)+(n-m)=n-1>0$

[j18eos]

Una volta dimostrato che le radici \(\displaystyle\xi\) sono distinte in \(\displaystyle\mathbb{F}\), poiché questi è il campo di spezzamento di \(\displaystyle x^{p^n}-x\) hai concluso.

[anto_zoolander]

Questo perché $K={a inF: a^(p^n)=a}$
È un sottocampo che contiene tutte le radici e quindi deve essere il campo di spezzamento. Giusto?

L’esser campo è dato dal fatto che $0,1 in K$ e la chiusura rispetto al prodotto è banalmente rispettata

Vorrei invece avere un check su quella della somma

[size=80]$(a+b)^(p^n)=sum_(k=0)^(p^n)((p^n),(k))a^k b^(p^n-k)=a^(p^n)+b^(p^n)+sum_(k=1)^(p^n-1)[p^n/k((p^n-1),(k-1))]a^k b^(p^n-k)$[/size]

Questo per le proprietà del binomiale

Ora essendo che $[p*p^(n-1) ((p^n-1),(k-1))]/k in NN$ significa che $k$ divide sempre quel prodotto ma è coprimo con $p$ e quindi divide il fattore senza $p$. “Uscendo” il fattore $p$ dalla somma, essendo in caratteristica $p$, essa è nulla e quindi si ottiene che è un sottocampo.

[j18eos]

Sto iniziando a confondermi

\(\displaystyle\mathbb{Z}_p\) lo abbiamo costruito come orologio di Gauss a \(\displaystyle p\) ore, e tutti i suoi elementi soddisfano l'equazione \(\displaystyle x^p-x\); in generale, si dimostra una proprietà analoga per il campo \(\displaystyle GF(q)\) con finiti elementi.

Per le proprietà della caratteristica di un anello, e per quanto hai dimostrato al punto precedente: \(\displaystyle q=p^n\) per qualche numero primo \(\displaystyle p\) e qualche numero naturale \(\displaystyle n\).

Quindi bisogna costruire un campo \(\displaystyle\mathbb{F}\) ove il polinomio \(\displaystyle x^{p^n}-x\) si "spezzi" in fattori lineari; tale lo si costruisce "e ce lo teniamo buono"...

Inoltre, \(\displaystyle\dim_{\mathbb{Z}_p}\mathbb{F}\leq p^n!\) e \(\displaystyle x^{p^n}-x\) è un polinomio separabile[nota]Non ha radici multiple.[/nota], dato che la sua derivata vale \(\displaystyle-1\)...

Considerando il sottoinsieme di \(\displaystyle\mathbb{F}\) i cui elementi soddisfano l'equazione \(\displaystyle x^{p^n}-x=0\), si ha che questi è un sottocampo di \(\displaystyle\mathbb{F}\) su cui il polinomio \(\displaystyle x^{p^n}-x\) si spezza, ovvero deve essere \(\displaystyle\mathbb{F}\) stesso.

Ci siamo?

[anto_zoolander]

Esattamente, proprio questo “ho fatto”.

[j18eos]

Bene: ci siamo!