Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Sia \( G \) un gruppo, \( H < G \) un sottogruppo, e \( N < G \) un sottogruppo normale tale che \( H ,N \) sono risolubili. Dimostra che \(HN \) è risolubile.
Abbiamo che se \( f: G \to G' \) è un omomorfimso suriettivo e \( G \) risolubile allora anche \( G' \) è risolubile, tant'è che se \( G \) risolubile allora esistono \( G=G_0 > \ldots > G_n = \{e\} \) tale per cui \( G_{i+1} \) è normale in \( G_i \) e \( G_i \setminus G_{i+1} \) è abeliano.
Abbiamo che \( G' = f(G_0) > f(G_1) >\ldots ...
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Studente Anonimo
3 gen 2020, 02:38
Sia \( G \) un gruppo che agisce su un insieme \( X \). Sia \( H \) un sottoguppo di \(G\). Dimostra che \( H \) agisce transitivamente su \( X \) se e solo se \( G \) agisce transitivamente su \( X \) e \( G= H G_x \) dove \( x \in X \), e \( G_x \) è il gruppo di isotropia di \( x \) sotto l'azione di \( G \).
Il mio dubbio sta nel fatto che mi dice \( G= H G_x \) dove \( x \in X \), intende per un unico \( x \in X \) fissato oppure per ogni \( x \in X \)?
Se è per ogni \( x \in X \):
Se \( ...
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Studente Anonimo
3 gen 2020, 02:18
Siano \( H_1, \ldots, H_n \) dei sotto gruppi normali di \(G \) Consideriamo l'applicazione
\[ \phi : G \to G \setminus H_1 \times \ldots \times G \setminus H_n , g \mapsto (gH_1,\ldots,g H_n) \]
a) Dimostra che \( \ker(\phi)= H_1 \cap \ldots H_n \)
b) Dimostra che, se \( H_i \) è d'indice finito in \(G \), per tutti gli \( 1 \leq i \leq n \), e \( gcd( [G : H_i],[G:H_j])=1 \) per tutti gli \( i \neq j \), allora \( \phi \) è suriettiva e
\[ [G: H_1 \cap \ldots \cap H_n ] = \prod_{i=1}^{n} [ ...
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Studente Anonimo
31 dic 2019, 20:09
Siano $S,T$ inisiemi non vuoti. Provare che: $f:S to T$ è suriettiva se e soltanto se per ogni coppia $X,Y $ sottoinsiemi di $T$ da $f^(-1)(X) subseteq f^(-1)(Y) to X subseteq Y$
Prima implicazione
$f$ suriettiva se, e soltanto se $f^(-1)({y}) ne emptyset $ per ogni $y in T.$
Sia $emptyset=X subseteq T$ allora $emptyset=f^(-1)(emptyset) subseteq f^(-1)({y}) ne emptyset \ to \ emptyset subseteq {y}.$ Va bene la prima ?
C'è una dimostrazione che non capisco, o meglio per me aggiunge qualcosa di superfluo, ma non essendo sicuro al 100% chiedo a voi.
la dimostrazione è questa:
\(\displaystyle G \) monoide commutativo, \(\displaystyle x_1 , x_2 , ... , x_n \) elementi di \(\displaystyle G \), sia \(\displaystyle f \) una biezione da \(\displaystyle (1, 2, ..., n) \) in se, allora:
\(\displaystyle \prod\limits_{v=1}^{n} \) \(\displaystyle x_{f(v)} = \) \(\displaystyle \prod\limits_{v=1}^{n} \) \(\displaystyle ...
Riguardando un vecchio esercizio mi sono venuti un paio di dubbi:
Definiamo i quaternioni \( \mathbf{Q} \) come il sottogruppo \( \left< A,B \right> \) di \( GL_2(\mathbb{C}) \) generato dalle matrici
\[ A=\begin{pmatrix}
0& 1\\
-1& 0
\end{pmatrix}\]
e \[ B=\begin{pmatrix}
0& i\\
i& 0
\end{pmatrix}\]
Dare tutti gli elementi di \( \mathbf{Q} \) in termini di \( A \) e \(B \) e dimostra che l'ordine di \( \mathbf{Q} \) è 8.
Allora chiaramente abbiamo che \( A^2 = - I \), \( A^3 = -A \) e ...
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Studente Anonimo
31 dic 2019, 14:37
Buongiorno,
Dovrei verificare che, se $m/n$ è un razionale positivo e $(m,n)$ denota il $M.C.D.$ positivo di $m,n$ il numero inetero $|m+n|/(m,n)$ dipende soltanto dalla frazione $m/n$ e non dalla scelta di un suo rappresentante.
Provare quindi che l'applicazione $f:m/n in QQ^+ to |m+n|/(m,n) in NN -{1}$è suriettiva e non iniettiva.
Dall'algoritmo di Euclide ho $r=M.C.D(m,n)$ allora risulta $r ne 0$ , sia $y in NN-{1}$ allora ...
Buongiorno, vi vorrei chiedere,
se considero: $f:S to T$ e siano $x\,\y \ in S$ e sia $xR_fy \ leftrightarrow\ f(x)=f(y)$ cioè la relazione di equivalenza generata da $f$
è possibile determinare l'iniettività e la suriettività di $f$ in relazione alla cardinalità di $[x]_(R_f) ?$
Ciao
Buongiorno,
Sia $R$ una corrispondenza binaria in $S$, si hanno le seguenti proprietà
1) riflessiva se $xRx$ per ogni $x in S$
2) antiriflessiva se $xnotRx$ per ogni $x in S$
3) simmetrica se per ogni coppia $(x,y)$ in $S$ tale che $xRy$ implica $yRx$
4) antisimmetrica se per ogni coppia $(x,y)$ in $S$ tale che $xRy$ implica ...
Ciao. Ho due esercizi:
1)Determina tutti gli omomorfismi $ ZZ/(12ZZ)rarrZZ/(8ZZ) $.
2)Determina tutti gli omomorfismi $ ZZ/(12ZZ)rarrZZ/(6ZZ) $.
Ne ho trovati alcuni, in particolare:
1) $ [X]_12 rarr [X]_6 $, $ [X]_12 rarr [X]_4 $, $ [X]_12 rarr [X]_3 $, $ [X]_12 rarr [X]_2 $ e ovviamente quello banale $ [X]_12 rarr [X]_1 $.
2) analogamente ho tutti quelli $ [X]_12 rarr [X]_a t.c. a|12 $.
Credevo che questi fossero gli unici, ma poi mi sono accorto che, ad esempio nel 2), anche $ [X]_12 rarr -[X]_6 $ lo è, allo stesso modo ho che gli opposti di ...
Vi chiedo cortesemente se sto intendendo le cose nel modo corretto, o meno.
Sia $R$ un anello. Dato un polinomio $p$ come $|NN|$-upla $(a_i)_{i \in NN} \in R^{NN}$ identicamente nulla "da un certo punto in poi", posso considerare la funzione polinomiale
$$p(x)=\sum_{i=0}^{deg(p)}a_ix^i \tag 1$$
a valori:
a) in $R$ stesso: in tal caso, la scrittura $(1)$ ha senso in virtù di "$+$" e ...
Salve per l'esame di Algebra 1 a Gennaio cercherei degli esercizi svolti sui GRUPPI e le PERMUTAZIONI in modo da riuscire a capirli e avere un'idea più generale e non solo teorica.
Qualcuno ha qualche link o qualche pdf?
Grazie
Ciao a tutti. Vi chiedo un aiuto per capire la dimostrazione del fatto che la cardinalità continua di $ R $ è maggiore di quella numerabile. La versione che riporta il mio testo è la seguente:
Definisco la funzione inclusione $ i : N → R $ e noto che i è iniettiva, quindi abbiamo $ Card(N) <= Card(R) $. [highlight]Se fosse $ Card(N) = Card(R) $ allora avremmo che l’intervallo $ [0, 1) $ sarebbe un insieme numerabile.[/highlight] Proviamo che non vale l’uguaglianza sopra mostrando ...
Ciao ragazzi, ho un dubbio riguardante i gruppi ciclici.
Io so, in generale, che un gruppo definito in $ZZ_n$ x $ZZ_m$ è ciclico se e solo se il M.C.D.(n, m)=1:
Prendiamo ora il gruppo $ZZ_7-{0}$ x $ZZ_2$ con la legge di composizione interna (ac, b+d), seppur il M.C.D.(7,2)=1 il gruppo non è ciclico, infatti non esiste un generatore.
Quindi quello che mi chiedo è: quando vale quella la formula del MCD? Dipende dalla legge di composizione interna? O ...
Buongiorno,
Stavo risolvendo questo eserczio, il quale lo risolvo con voi, ditemi se sono presenti errori.
Sia $f:RR to RR$ definita ponendo:
$f(x)=x^2 \ "se " \ x ge 0$
$f(x)=x(3-x) \ "se " \ x < 0$
devo verificare che è biettiva e determinare l'inversa.
Preocedo cosi
Iniettività
1) $x_1 , x_2 ge 0$ tali che $f(x_1)=f(x_2)$ allora
$x_1^2=x_2^2$ se e solo se $x_1=x_2$ con $x_1, x_2 in RR $
2) $x_1 , x_2 < 0 $ tali che $f(x_1) ne f(x_2)$ allora
$(x_1-x_2)(x_1+x_2-3) ne 0 $ se e solo se ...
Ho trattato il teorema di Seifert-Van Kampen e, per poterne dare una versione con il prodotto amalgamato, c'è stata una breve parentesi sui gruppi liberi[nota]Ho dato la seguente definizione, se $S$ è un insieme non vuoto si dice che la coppia $(F,\phi)$, con $F$ gruppo e $\phi:S\to F$ applicazione, è il gruppo libero generato da $S$ se vale la seguente proprietà universale: per ogni gruppo $G$ e per ogni applicazione ...
Tanto vale introdurre qualche frammento di linguaggio categoriale in più. Un diagramma è un qualcosa che consta di posizioni e frecce. [nota]Se vi piace di più, un grafo orientato.[/nota] Ovviamente le posizioni vanno riempite col nome di oggetti (che possono essere insiemi, spazi vettoriali, gruppi, spazi topologici, ...) e le frecce stanno a rappresentare morfismi (che a seconda dei casi possono essere funzioni, applicazioni lineari, omomorfismi, omeomorfismi, ...). Ci interessano i triangoli ...
Buongiorno, devo provare la seguente caratterizzazione dell'iniettività di una funzione.
Siano $S,T$ non vuoti.
Provare che $f:S to T$ è iniettiva se e soltanto se per ogni coppia $(X,Y) subseteq S$ da $f(X) subseteq f(Y)$ segue $X subseteq Y$
$to$ quindi dobbiamo provare che per ogni coppia di sottoinsiemi $X,Y$ di $S$ da $f(X) subseteq f(Y)$ segue che $X subseteq Y.$
Sia $y in f(X) \ to \ exists x_1 in X \ : \ y= f(x_1) $
essendo che $f(X) subseteq f(Y)$ si ha che ...
Buongiorno, nel corso di Algebra I alla facoltà' di Matematica, mi sono imbattuto nella dimostrazione che "n non appatiene a se stesso".
La dimostrazione procede per assurdo, si suppone che "n appartenga a se stesso", da cui si ricava che "n appartiene a nU{n}" ed e chiaro, e contemporaneamente si afferma che nU{n} appartiene ad n".
Questa ultima affermazione non l'ho capita onestamente. Tenete presente che io sono uno studente-lavoratore e non ho la possibilità' di frequentare.
Grazie a chi ...
Buongiorno, nonostante abbia cercato di capire dagli appunti e dal testo consigliato, mi trovo in difficoltà a comprendere questi fatti:
"Un gruppo ciclico di ordine 4 contiene esattamente due elementi di ordine 4."
COME FACCIO A DEDURLO?
"Un gruppo non ciclico di ordine 4 contiene 3 elementi di ordine 2 e un elemento di ordine 1."
COME FACCIO A DEDURLO?
Grazie
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