Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Sia \( H \) un sottogruppo di \( G \). Dimostra che abbiamo un isomorfismo di gruppi
\( \operatorname{Aut}_G(G / H) \cong N_G(H)/H \) dove \( \operatorname{Aut}_G(G / H) \) è il gruppo degli automorfismi \(G\)-equivarianti di \(G / H \) mentre \(N_G(H) \) è il normalizzatore di \( H \) in \(G \).
Non capisco una parte delle soluzioni, le altre sono apposto!
Deiniamo \( \phi : N_G(H) \to \operatorname{Aut}_G(G / H) \) per \( \phi(g): G / H \to G/H \), \( x H \mapsto xg^{-1} H \) per tutti i ...
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Studente Anonimo
3 gen 2020, 15:39
Salve, mi sto preparando per un esame di Matematica Discreta e tra tutti gli argomenti quello del calcolo combinatorio è quello che più mi turba: gli esercizi tipici non sono di carattere "meccanico" come esercizi sui sistemi lineari nè intuitivi come quelli sul principio d'induzione. Non ho modo di verificare se ho svolto correttamente un esercizio, e questo mi lascia appeso col dubbio "forse dovevo usare le disposizioni anzichè le combinazioni..."
Tra i materiali offerti dal prof vi sono 2 ...
Ciao ragazzi ho sempre dubbi sugli esercizi che svolgo in quanto su questo argomento la mia prof non mi ha dato esercizi guida, l'esercizio è il seguente: (riporto solo i punti che mi interessano)
Sono assegnate sull'insieme $A = Z_6 xx Z_3$ le leggi di composizione interne $+$, $xx$ definite come segue: $AA (x, y), (z, t) in A$
$(x, y) + (z, t) = (x +z, y + t), (x, y) xx (z,t) = (xz, yt)$
e sia $B = {(O, y) : y in Z_3}$.
(a) Determinare l'elemento neutro della struttura (A, +);
(b) determinare l'elemento neutro della ...
Sia \( G \) un gruppo, \( H < G \) un sottogruppo, e \( N < G \) un sottogruppo normale tale che \( H ,N \) sono risolubili. Dimostra che \(HN \) è risolubile.
Abbiamo che se \( f: G \to G' \) è un omomorfimso suriettivo e \( G \) risolubile allora anche \( G' \) è risolubile, tant'è che se \( G \) risolubile allora esistono \( G=G_0 > \ldots > G_n = \{e\} \) tale per cui \( G_{i+1} \) è normale in \( G_i \) e \( G_i \setminus G_{i+1} \) è abeliano.
Abbiamo che \( G' = f(G_0) > f(G_1) >\ldots ...
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Studente Anonimo
3 gen 2020, 02:38
Sia \( G \) un gruppo che agisce su un insieme \( X \). Sia \( H \) un sottoguppo di \(G\). Dimostra che \( H \) agisce transitivamente su \( X \) se e solo se \( G \) agisce transitivamente su \( X \) e \( G= H G_x \) dove \( x \in X \), e \( G_x \) è il gruppo di isotropia di \( x \) sotto l'azione di \( G \).
Il mio dubbio sta nel fatto che mi dice \( G= H G_x \) dove \( x \in X \), intende per un unico \( x \in X \) fissato oppure per ogni \( x \in X \)?
Se è per ogni \( x \in X \):
Se \( ...
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Studente Anonimo
3 gen 2020, 02:18
Siano \( H_1, \ldots, H_n \) dei sotto gruppi normali di \(G \) Consideriamo l'applicazione
\[ \phi : G \to G \setminus H_1 \times \ldots \times G \setminus H_n , g \mapsto (gH_1,\ldots,g H_n) \]
a) Dimostra che \( \ker(\phi)= H_1 \cap \ldots H_n \)
b) Dimostra che, se \( H_i \) è d'indice finito in \(G \), per tutti gli \( 1 \leq i \leq n \), e \( gcd( [G : H_i],[G:H_j])=1 \) per tutti gli \( i \neq j \), allora \( \phi \) è suriettiva e
\[ [G: H_1 \cap \ldots \cap H_n ] = \prod_{i=1}^{n} [ ...
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Studente Anonimo
31 dic 2019, 20:09
Siano $S,T$ inisiemi non vuoti. Provare che: $f:S to T$ è suriettiva se e soltanto se per ogni coppia $X,Y $ sottoinsiemi di $T$ da $f^(-1)(X) subseteq f^(-1)(Y) to X subseteq Y$
Prima implicazione
$f$ suriettiva se, e soltanto se $f^(-1)({y}) ne emptyset $ per ogni $y in T.$
Sia $emptyset=X subseteq T$ allora $emptyset=f^(-1)(emptyset) subseteq f^(-1)({y}) ne emptyset \ to \ emptyset subseteq {y}.$ Va bene la prima ?
C'è una dimostrazione che non capisco, o meglio per me aggiunge qualcosa di superfluo, ma non essendo sicuro al 100% chiedo a voi.
la dimostrazione è questa:
\(\displaystyle G \) monoide commutativo, \(\displaystyle x_1 , x_2 , ... , x_n \) elementi di \(\displaystyle G \), sia \(\displaystyle f \) una biezione da \(\displaystyle (1, 2, ..., n) \) in se, allora:
\(\displaystyle \prod\limits_{v=1}^{n} \) \(\displaystyle x_{f(v)} = \) \(\displaystyle \prod\limits_{v=1}^{n} \) \(\displaystyle ...
Riguardando un vecchio esercizio mi sono venuti un paio di dubbi:
Definiamo i quaternioni \( \mathbf{Q} \) come il sottogruppo \( \left< A,B \right> \) di \( GL_2(\mathbb{C}) \) generato dalle matrici
\[ A=\begin{pmatrix}
0& 1\\
-1& 0
\end{pmatrix}\]
e \[ B=\begin{pmatrix}
0& i\\
i& 0
\end{pmatrix}\]
Dare tutti gli elementi di \( \mathbf{Q} \) in termini di \( A \) e \(B \) e dimostra che l'ordine di \( \mathbf{Q} \) è 8.
Allora chiaramente abbiamo che \( A^2 = - I \), \( A^3 = -A \) e ...
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Studente Anonimo
31 dic 2019, 14:37
Buongiorno,
Dovrei verificare che, se $m/n$ è un razionale positivo e $(m,n)$ denota il $M.C.D.$ positivo di $m,n$ il numero inetero $|m+n|/(m,n)$ dipende soltanto dalla frazione $m/n$ e non dalla scelta di un suo rappresentante.
Provare quindi che l'applicazione $f:m/n in QQ^+ to |m+n|/(m,n) in NN -{1}$è suriettiva e non iniettiva.
Dall'algoritmo di Euclide ho $r=M.C.D(m,n)$ allora risulta $r ne 0$ , sia $y in NN-{1}$ allora ...
Buongiorno, vi vorrei chiedere,
se considero: $f:S to T$ e siano $x\,\y \ in S$ e sia $xR_fy \ leftrightarrow\ f(x)=f(y)$ cioè la relazione di equivalenza generata da $f$
è possibile determinare l'iniettività e la suriettività di $f$ in relazione alla cardinalità di $[x]_(R_f) ?$
Ciao
Buongiorno,
Sia $R$ una corrispondenza binaria in $S$, si hanno le seguenti proprietà
1) riflessiva se $xRx$ per ogni $x in S$
2) antiriflessiva se $xnotRx$ per ogni $x in S$
3) simmetrica se per ogni coppia $(x,y)$ in $S$ tale che $xRy$ implica $yRx$
4) antisimmetrica se per ogni coppia $(x,y)$ in $S$ tale che $xRy$ implica ...
Ciao. Ho due esercizi:
1)Determina tutti gli omomorfismi $ ZZ/(12ZZ)rarrZZ/(8ZZ) $.
2)Determina tutti gli omomorfismi $ ZZ/(12ZZ)rarrZZ/(6ZZ) $.
Ne ho trovati alcuni, in particolare:
1) $ [X]_12 rarr [X]_6 $, $ [X]_12 rarr [X]_4 $, $ [X]_12 rarr [X]_3 $, $ [X]_12 rarr [X]_2 $ e ovviamente quello banale $ [X]_12 rarr [X]_1 $.
2) analogamente ho tutti quelli $ [X]_12 rarr [X]_a t.c. a|12 $.
Credevo che questi fossero gli unici, ma poi mi sono accorto che, ad esempio nel 2), anche $ [X]_12 rarr -[X]_6 $ lo è, allo stesso modo ho che gli opposti di ...
Vi chiedo cortesemente se sto intendendo le cose nel modo corretto, o meno.
Sia $R$ un anello. Dato un polinomio $p$ come $|NN|$-upla $(a_i)_{i \in NN} \in R^{NN}$ identicamente nulla "da un certo punto in poi", posso considerare la funzione polinomiale
$$p(x)=\sum_{i=0}^{deg(p)}a_ix^i \tag 1$$
a valori:
a) in $R$ stesso: in tal caso, la scrittura $(1)$ ha senso in virtù di "$+$" e ...
Salve per l'esame di Algebra 1 a Gennaio cercherei degli esercizi svolti sui GRUPPI e le PERMUTAZIONI in modo da riuscire a capirli e avere un'idea più generale e non solo teorica.
Qualcuno ha qualche link o qualche pdf?
Grazie
Ciao a tutti. Vi chiedo un aiuto per capire la dimostrazione del fatto che la cardinalità continua di $ R $ è maggiore di quella numerabile. La versione che riporta il mio testo è la seguente:
Definisco la funzione inclusione $ i : N → R $ e noto che i è iniettiva, quindi abbiamo $ Card(N) <= Card(R) $. [highlight]Se fosse $ Card(N) = Card(R) $ allora avremmo che l’intervallo $ [0, 1) $ sarebbe un insieme numerabile.[/highlight] Proviamo che non vale l’uguaglianza sopra mostrando ...
Ciao ragazzi, ho un dubbio riguardante i gruppi ciclici.
Io so, in generale, che un gruppo definito in $ZZ_n$ x $ZZ_m$ è ciclico se e solo se il M.C.D.(n, m)=1:
Prendiamo ora il gruppo $ZZ_7-{0}$ x $ZZ_2$ con la legge di composizione interna (ac, b+d), seppur il M.C.D.(7,2)=1 il gruppo non è ciclico, infatti non esiste un generatore.
Quindi quello che mi chiedo è: quando vale quella la formula del MCD? Dipende dalla legge di composizione interna? O ...
Buongiorno,
Stavo risolvendo questo eserczio, il quale lo risolvo con voi, ditemi se sono presenti errori.
Sia $f:RR to RR$ definita ponendo:
$f(x)=x^2 \ "se " \ x ge 0$
$f(x)=x(3-x) \ "se " \ x < 0$
devo verificare che è biettiva e determinare l'inversa.
Preocedo cosi
Iniettività
1) $x_1 , x_2 ge 0$ tali che $f(x_1)=f(x_2)$ allora
$x_1^2=x_2^2$ se e solo se $x_1=x_2$ con $x_1, x_2 in RR $
2) $x_1 , x_2 < 0 $ tali che $f(x_1) ne f(x_2)$ allora
$(x_1-x_2)(x_1+x_2-3) ne 0 $ se e solo se ...
Ho trattato il teorema di Seifert-Van Kampen e, per poterne dare una versione con il prodotto amalgamato, c'è stata una breve parentesi sui gruppi liberi[nota]Ho dato la seguente definizione, se $S$ è un insieme non vuoto si dice che la coppia $(F,\phi)$, con $F$ gruppo e $\phi:S\to F$ applicazione, è il gruppo libero generato da $S$ se vale la seguente proprietà universale: per ogni gruppo $G$ e per ogni applicazione ...
Tanto vale introdurre qualche frammento di linguaggio categoriale in più. Un diagramma è un qualcosa che consta di posizioni e frecce. [nota]Se vi piace di più, un grafo orientato.[/nota] Ovviamente le posizioni vanno riempite col nome di oggetti (che possono essere insiemi, spazi vettoriali, gruppi, spazi topologici, ...) e le frecce stanno a rappresentare morfismi (che a seconda dei casi possono essere funzioni, applicazioni lineari, omomorfismi, omeomorfismi, ...). Ci interessano i triangoli ...
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