Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Riguardando un vecchio esercizio mi sono venuti un paio di dubbi:
Definiamo i quaternioni \( \mathbf{Q} \) come il sottogruppo \( \left< A,B \right> \) di \( GL_2(\mathbb{C}) \) generato dalle matrici
\[ A=\begin{pmatrix}
0& 1\\
-1& 0
\end{pmatrix}\]
e \[ B=\begin{pmatrix}
0& i\\
i& 0
\end{pmatrix}\]
Dare tutti gli elementi di \( \mathbf{Q} \) in termini di \( A \) e \(B \) e dimostra che l'ordine di \( \mathbf{Q} \) è 8.
Allora chiaramente abbiamo che \( A^2 = - I \), \( A^3 = -A \) e ...
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Studente Anonimo
31 dic 2019, 14:37
Buongiorno,
Dovrei verificare che, se $m/n$ è un razionale positivo e $(m,n)$ denota il $M.C.D.$ positivo di $m,n$ il numero inetero $|m+n|/(m,n)$ dipende soltanto dalla frazione $m/n$ e non dalla scelta di un suo rappresentante.
Provare quindi che l'applicazione $f:m/n in QQ^+ to |m+n|/(m,n) in NN -{1}$è suriettiva e non iniettiva.
Dall'algoritmo di Euclide ho $r=M.C.D(m,n)$ allora risulta $r ne 0$ , sia $y in NN-{1}$ allora ...
Buongiorno, vi vorrei chiedere,
se considero: $f:S to T$ e siano $x\,\y \ in S$ e sia $xR_fy \ leftrightarrow\ f(x)=f(y)$ cioè la relazione di equivalenza generata da $f$
è possibile determinare l'iniettività e la suriettività di $f$ in relazione alla cardinalità di $[x]_(R_f) ?$
Ciao
Buongiorno,
Sia $R$ una corrispondenza binaria in $S$, si hanno le seguenti proprietà
1) riflessiva se $xRx$ per ogni $x in S$
2) antiriflessiva se $xnotRx$ per ogni $x in S$
3) simmetrica se per ogni coppia $(x,y)$ in $S$ tale che $xRy$ implica $yRx$
4) antisimmetrica se per ogni coppia $(x,y)$ in $S$ tale che $xRy$ implica ...
Ciao. Ho due esercizi:
1)Determina tutti gli omomorfismi $ ZZ/(12ZZ)rarrZZ/(8ZZ) $.
2)Determina tutti gli omomorfismi $ ZZ/(12ZZ)rarrZZ/(6ZZ) $.
Ne ho trovati alcuni, in particolare:
1) $ [X]_12 rarr [X]_6 $, $ [X]_12 rarr [X]_4 $, $ [X]_12 rarr [X]_3 $, $ [X]_12 rarr [X]_2 $ e ovviamente quello banale $ [X]_12 rarr [X]_1 $.
2) analogamente ho tutti quelli $ [X]_12 rarr [X]_a t.c. a|12 $.
Credevo che questi fossero gli unici, ma poi mi sono accorto che, ad esempio nel 2), anche $ [X]_12 rarr -[X]_6 $ lo è, allo stesso modo ho che gli opposti di ...
Vi chiedo cortesemente se sto intendendo le cose nel modo corretto, o meno.
Sia $R$ un anello. Dato un polinomio $p$ come $|NN|$-upla $(a_i)_{i \in NN} \in R^{NN}$ identicamente nulla "da un certo punto in poi", posso considerare la funzione polinomiale
$$p(x)=\sum_{i=0}^{deg(p)}a_ix^i \tag 1$$
a valori:
a) in $R$ stesso: in tal caso, la scrittura $(1)$ ha senso in virtù di "$+$" e ...
Salve per l'esame di Algebra 1 a Gennaio cercherei degli esercizi svolti sui GRUPPI e le PERMUTAZIONI in modo da riuscire a capirli e avere un'idea più generale e non solo teorica.
Qualcuno ha qualche link o qualche pdf?
Grazie
Ciao a tutti. Vi chiedo un aiuto per capire la dimostrazione del fatto che la cardinalità continua di $ R $ è maggiore di quella numerabile. La versione che riporta il mio testo è la seguente:
Definisco la funzione inclusione $ i : N → R $ e noto che i è iniettiva, quindi abbiamo $ Card(N) <= Card(R) $. [highlight]Se fosse $ Card(N) = Card(R) $ allora avremmo che l’intervallo $ [0, 1) $ sarebbe un insieme numerabile.[/highlight] Proviamo che non vale l’uguaglianza sopra mostrando ...
Ciao ragazzi, ho un dubbio riguardante i gruppi ciclici.
Io so, in generale, che un gruppo definito in $ZZ_n$ x $ZZ_m$ è ciclico se e solo se il M.C.D.(n, m)=1:
Prendiamo ora il gruppo $ZZ_7-{0}$ x $ZZ_2$ con la legge di composizione interna (ac, b+d), seppur il M.C.D.(7,2)=1 il gruppo non è ciclico, infatti non esiste un generatore.
Quindi quello che mi chiedo è: quando vale quella la formula del MCD? Dipende dalla legge di composizione interna? O ...
Buongiorno,
Stavo risolvendo questo eserczio, il quale lo risolvo con voi, ditemi se sono presenti errori.
Sia $f:RR to RR$ definita ponendo:
$f(x)=x^2 \ "se " \ x ge 0$
$f(x)=x(3-x) \ "se " \ x < 0$
devo verificare che è biettiva e determinare l'inversa.
Preocedo cosi
Iniettività
1) $x_1 , x_2 ge 0$ tali che $f(x_1)=f(x_2)$ allora
$x_1^2=x_2^2$ se e solo se $x_1=x_2$ con $x_1, x_2 in RR $
2) $x_1 , x_2 < 0 $ tali che $f(x_1) ne f(x_2)$ allora
$(x_1-x_2)(x_1+x_2-3) ne 0 $ se e solo se ...
Ho trattato il teorema di Seifert-Van Kampen e, per poterne dare una versione con il prodotto amalgamato, c'è stata una breve parentesi sui gruppi liberi[nota]Ho dato la seguente definizione, se $S$ è un insieme non vuoto si dice che la coppia $(F,\phi)$, con $F$ gruppo e $\phi:S\to F$ applicazione, è il gruppo libero generato da $S$ se vale la seguente proprietà universale: per ogni gruppo $G$ e per ogni applicazione ...
Tanto vale introdurre qualche frammento di linguaggio categoriale in più. Un diagramma è un qualcosa che consta di posizioni e frecce. [nota]Se vi piace di più, un grafo orientato.[/nota] Ovviamente le posizioni vanno riempite col nome di oggetti (che possono essere insiemi, spazi vettoriali, gruppi, spazi topologici, ...) e le frecce stanno a rappresentare morfismi (che a seconda dei casi possono essere funzioni, applicazioni lineari, omomorfismi, omeomorfismi, ...). Ci interessano i triangoli ...
Buongiorno, devo provare la seguente caratterizzazione dell'iniettività di una funzione.
Siano $S,T$ non vuoti.
Provare che $f:S to T$ è iniettiva se e soltanto se per ogni coppia $(X,Y) subseteq S$ da $f(X) subseteq f(Y)$ segue $X subseteq Y$
$to$ quindi dobbiamo provare che per ogni coppia di sottoinsiemi $X,Y$ di $S$ da $f(X) subseteq f(Y)$ segue che $X subseteq Y.$
Sia $y in f(X) \ to \ exists x_1 in X \ : \ y= f(x_1) $
essendo che $f(X) subseteq f(Y)$ si ha che ...
Buongiorno, nel corso di Algebra I alla facoltà' di Matematica, mi sono imbattuto nella dimostrazione che "n non appatiene a se stesso".
La dimostrazione procede per assurdo, si suppone che "n appartenga a se stesso", da cui si ricava che "n appartiene a nU{n}" ed e chiaro, e contemporaneamente si afferma che nU{n} appartiene ad n".
Questa ultima affermazione non l'ho capita onestamente. Tenete presente che io sono uno studente-lavoratore e non ho la possibilità' di frequentare.
Grazie a chi ...
Buongiorno, nonostante abbia cercato di capire dagli appunti e dal testo consigliato, mi trovo in difficoltà a comprendere questi fatti:
"Un gruppo ciclico di ordine 4 contiene esattamente due elementi di ordine 4."
COME FACCIO A DEDURLO?
"Un gruppo non ciclico di ordine 4 contiene 3 elementi di ordine 2 e un elemento di ordine 1."
COME FACCIO A DEDURLO?
Grazie
Ogni relazione di equivalenza determina una partizione dell'insieme in cui è definita ( e viceversa ).
Se mi viene assegnata la relazione, ad es. la congruenza modulo 2 e un insieme su cui è definita ( ad es. i numeri naturali da 0 a 100) posso crearmi facilmente le classi e quindi la partizione.
E il viceversa?
Cioè se mi viene assegnata una partizione qualsiasi , ad es. nell'insieme di prima ripartisco i numeri in classi arbitrarie cioè da 0 a 6 in una classe , poi il 20 e il 25 in una ...
Buongiorno,
Definizione di relazione:
Sia $G$ sottoinsieme $S "x" T$, la coppia $R=(S"x"T,G)$ è detta relazione tra $S$ e $T$ avente $G$ come grafico.
Non riesco a formalizzare il concetto che $R subseteq S"x"T$ per come è stata definita. Oppure è solo una terminologia per identificare che stiamo lavorando con gli elementi del prodotto cartesiano $S"x"T$ avente per grafico $G$ ?
Ciao
Ciao. Sia \( G \) un gruppo finito. Dico che un suo sottogruppo \( H \) è massimale se non esiste alcun sottogruppo proprio \( H^\prime \) di \( G \) tale che \( H\subset H^\prime\).
Uno. Ogni sottogruppo proprio di un gruppo finito \( G \) è contenuto in un massimale.
Dimostrazione. Sia \( H\leqq G \) un sottogruppo di ordine \( m \). Dico che, se \( H \) non ammettesse massimali, per ogni naturale \( m^\prime\geqq m \) sarebbe possibile trovare un sottogruppo proprio di \( G \) contente \( H ...
Buongiorno,
credo che la cosa sia banale, ma ho poca dimestichezza con il gruppo moltiplicativo degli interi modulo $n$. Definiamo $\mathcal{N}:=\{n \in \mathbb{N}| ZZ_n^\times \cong \mathbb{Z}_{\varphi(n)}\}$, dove $\varphi$ è la funzione di Eulero. Per $n=2,3,4,5,6$ mi sembra di aver costruito esplicitamente degli isomorfismi, per cui sarei tentato di concludere che $\mathcal{N}=\mathbb{N}$. E' proprio così?
Siano $R$ e $R'$ due anelli e sia $f:R->R'$ un omomorfismo di anelli.
Se $g:R'->R$ è un omomorfismo di gruppi tale che $f \circ g = "id"_R$ posso concludere che $f$ è un isomorfismo di anelli?
In teoria dovrei verificare anche la condizione $g \circ f = "id"_{R'}$.
C'è qualche controesempio in cui vale la condizione $f \circ g = "id"_R$ ma non vale la condizione $g \circ f = "id"_{R'}$?
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