Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Siano $n$ e $k$ due numeri naturali e sia $A$ un insieme di cardinalità $n$. Assumendo che $k<=n$, quale tra questi numeri è $|{B in A| |B| = k}|$ ?
- $(n!)/(k!)$
- $ (n <br />
<br />
k) $
- $ (n!)/((n-k)!)$
Se $|A| = 10$ quanti sono:
(i) i sottoinsiemi di $A$ di cardinalità 3?
(ii) quelli di cardinalità 7?
(iii) Le applicazioni iniettive da {1,2,3} ad $A$?
Ho provato a svolgere l'esercizio ...
Determinare l'insieme T dei primi p tali che il polinomio $f_p = x^3 - x^2 + 2x +1$ appartiene $ Z_p[x]$ ammetta -2 come radice. Per ogni $p$ appartenente a $T$, scrivere $f_p$ come prodotto di polinomi monici irriducibili in $Z_p[x]$.
Salve avrei difficoltà con questo esercizio negli ultimi passaggi:
- Divido il polinomio per (x+2) e trovo che il resto è -15;
- L'insieme dei primi che dividono 15 sono 3 e 5.
Adesso come scrivo il polinomio ...
Un funtore \(G : {\cal E} \to {\cal B}\) è una fibrazione discreta se per ogni $f : B\to GE$ in \(\cal B\) esiste un'unica freccia $v : E'\to E$ tale che $Gv=f$.
Un morfismo di fibrazioni discrete tra \(G : {\cal E}\to {\cal B}\) e \(G' : {\cal E}'\to {\cal B}\) è un funtore \(H : {\cal E}\to {\cal E}'\) tale che $G'\circ H =G$.
Mostrare che questo definisce una categoria \(\text{Fib}({\cal B})\) delle fibrazioni discrete su \(\mathcal B\).
Mostrare che il funtore ...
Salve.
Se considero il polinomio X^3 - Y^2 - 1 in Z[Y][X] il polinomio che devo considerare è X^3 - 1 la cui fattorizzazione è (X - 1)(X^2 - X + 1).
Se considero il polinomio X^3 - Y^2 - 1 in Z[X][Y] il polinomio che devo considerare è -Y^2 - 1 che è irriducibile in Z[Y] perché il suo discriminante è negativo.
Esatto?
L'irriducibilità del polinomio posso anche studiarla così?
Ma poi quali passaggi devo fare? Ringrazio coloro i quali mi aiuteranno a risolverlo questo esercizio sui polinomi.
Buongiorno a tutti,
da amante della teoria dei numeri mi sono imbattuto nel Teorema dei numeri poligonali e in particolare ho provato a cercare una dimostrazione del caso dei numeri triangolari (provato da Gauss se non erro: ogni numero si può esprimere come somma di tre numeri trinagolari) su internet ma non ne ho cavato nulla. Volevo pertanto chiedere se voi disponete di un link o altro dove poter rinvenire questa dimsotrazione.
Grazie a chi mi aiuterà!
Per ogni primo p si considerino i polinomi $f_(p) = 2x^(3) + 3x + 1 $ e $ g_(p) = 3x^(2) - 4x + 2$
(i) Per quali primi p il polinomio $f_p g_p$ è monico?
(ii) Detto q il massimo tale primo, scrivere $f_pg_p$ come prodotto di polinomi irriducibili in $Z_q[x]$
(i) Non ho proprio idea di quello che si debba fare, potreste darmi qualche dritta? Ho cercato su internet ma nulla di concreto.
(ii) Bisogna vedere quali sono i divisori del polinomio e dividerlo con ruffini? Il primo polinomio ...
Gauss ha dimostrato che la circonferenza unitaria è divisibile in n parti uguali se e solo se è inscrivibile in essa un
poligono regolare di n lati tale che n è o un qualsiasi numero pari oppure un particolare primo detto di Fermat.
Il significato del teorema non è il seguente:
se prendo l'angolo giro 360 gradi e lo divido per qualunque degli n trovati da Gauss ottengo un numero decimale
finito, per tutti gli altri dispari che non verificano il teorema un numero decimale infinito.
\(\newcommand{\normal}{ \mathrel{ \underset{{=}}{\lhd} } }\)\( \newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}} \)Ciao. Ho una domanda sul teorema di fattorizzazione per i gruppi (mi è venuta da un esercizio di algebra lineare, ma credo che riportare i dettagli sia pressoché inutile, quindi non do contesto).
Serve l'assioma della scelta, nel teorema di fattorizzazione per i gruppi?
Espandendo un attimo: dimostrare che esiste un'unica \( \psi \) tale che, dati due gruppi \( G \), \( H \), un sottogruppo ...
Sia σ la relazione d’ordine definita in S da: ∀X, Y, Z, T ∈ P(A)
(X, Y ) σ (Z, T) ⇐⇒ (X, Y ) = (Z, T) ∨ |X × Y | < |Z × T|.
(vi) Determinare in (S, σ) eventuali minimo, massimo, elementi minimali, elementi massimali.
Prima di tutto voglio ringraziare voi ed il forum poiché ho superato un altro esame grazie ad esso, quindi grazie ragazzi.
Adesso devo darmi algebra lineare ed ho alcuni dubbi in proposito: questa semplice richiesta (vi) mi mette in difficoltà perché non ho ben chiara la ...
Salve a tutti, vi chiedo aiuto per questi esercizi:
Da usare solo le dimostrazioni (diretta, contrapposizione, assurdo o contro-esempio):
1. Se n>0 e (4^n)-1 è primo allora n è dispari
Da usare l'induzione:
2. Se n>=1 allora (n^3)+2n è divisibile per 3
Il primo non riesco a svolgerlo, mentre sul secondo mi ritrovo la tesi uguale a: (k^3) + 2k + 3((k^2) + k + 1), ma non si riesco a dimostrarla tramite induzione matematica.
Un grazie anticipato a chi deciderà di aiutarmi
Siano S e T insiemi. Assumendo |S| = 3 e |T| = 5 calcolare:
(i) il numero delle applicazioni iniettive S a T;
(ii) il numero delle applicazioni iniettive T a S;
(iii) il numero delle applicazioni suriettive S a T;
(iv) il numero delle applicazioni da S a T;
(v) il numero delle applicazioni costanti da S a T.
Salve a tutti, intanto ringrazio di cuore tutti coloro che mi hanno permesso di superare Analisi I e Geometria lineree ringrazio il sito e siti come questi. Ho un grosso problema nel ...
Ciao a tutti,
come ho scritto nella presentazione, ultimamente ho sviluppato un interesse (speriamo sano) per i numeri primi.
Per questo abbia cercato ciò che mi potesse chiarire a che punto sono i matematici nell'individuare i numeri primi, tutto ciò che è venuto fuori non fuga le domande che provo a farvi di seguito.
Senza stare qui a ripercorrere tutto ciò che fino ad oggi è stato prodotto, passo ad esporre qualche considerazione personale per capire cosa mi sfugge e magari anche il ...
Ciao a tutti.
Ho il seguente esercizio: Sia $S_{\mathbb{N}}$ il gruppo delle applicazioni invertibili da $\mathbb{N}$ in se stesso. Provare che in $S_{\mathbb{N}}$ ci sono elementi di periodo infinito.
Deve essere una stupidaggine ma non riesco a trovare un esempio di funzione con periodo infinito cioè che $f^n\ne\text{id}$ per ogni $n\in\mathbb{N}$.
Pensavo ad una funzione $f$ che mi scambi ad esempio l'1 e il 2 e nei restanti numeri coincida con l'identità e:
-se la ...
Studiare la riducibilità del polinomio (e nel caso sia riducibile trovare la fattorizzazione in irriducibili)
X^2 + 4Y^4 in Q[X,Y]
e del polinomio
X^2 + 2Y^2 in Z(5)[X,Y]
dove con Z(5)[X,Y] si indica l'anello dei polinomi a coefficienti interi modulo 5 in due indeterminate.
Io ho provato a farlo.
Per quanto riguarda il secondo polinomio assumendo che 2 è congruo - 3 in Z(5)
A tentativi
(x+y)(x-y) =x^2-y^2 = x^2 +4y^2 mod(5)
(x+2y)(x-2y)= x^2-4y^2 = x^2 + y^2 mod(5)
(x+3y)(x-3y) =x^2-9y^2 = ...
ho letto la dimostrazione del teorema di Cauchy per i gruppi e ho provato ad abbozzarne un'altra che però non riesco a concludere; vi chiedo se ci sia una strada per farlo.
Sia $(G,*)$ un gruppo finito di ordine $abs(G)$ e $p$ un primo che divide $n$ allora $G$ ha un sottogruppo di ordine $p$
pongo $pk=n$
dimostrazione(bozza)
per ogni $g in G$ posso considerare $<<g>> leqG$ e per il teorema ...
Ciao. Ci sono tremila post sui vari forum/MSE/ph che riguardano questa dimostrazione, quindi questo mio intervento è un po' inutile. Voglio solo schiarirmi le idee cercando di scrivere qualcosa di comprensibile qui.
Sia \( A \) infinito numerabile. Allora ogni suo sottoinsieme \( E \) è o finito o infinito numerabile.
Sia \( E\subset A \) infinito. Sia \( x_{{-}}\colon\mathbb{N}\to A \) biiettiva. Definisco una successione \( n_{{-}} \) di naturali come segue. Sia \( n_1 \) il minimo ...
Ciao!
Ho questo esercizio
sia \( \mathrm{C} \) una categoria e \( \mathrm{a,b \in Obj_C } \) due oggetti; mostrare che se il prodotto esiste allora è unico a meno di isomorfismi
se $atimesb$ e $a*b$ sono entrambi prodotti con proiezioni $pi_a:atimesb->a$(risp. $b$) e $p_a:a*b->a$(risp. $b$).
visto che $pi_a$ e $pi_b$ sono morfismi che vanno rispettivamente in $a$ e in $b$ ed essendo ...
Ciao. Dato un sottogruppo \( H\leqq G \) di un gruppo \( G \), ove la legge di composizione è scritta in notazione moltiplicativa, un coset di \( H \) è un insieme della forma \( xH=\{x\}H \), dove il prodotto di sottoinsiemi \( H \), \( K \) di sottoinsiemi di un semigruppo, anche lui scritto in notazione moltiplicativa, è definito come \( HK:=\left\{hk:\text{$ h\in H $ e $ k\in K $}\right\} \).
Considerato ora il gruppo, additivo, \( \mathbb{Z} \), che cosa significa la ...
Ciao!
So che è un esercizio banale però vorrei cominciare a prendere dimestichezza con lo strumentario e le terminologie
Sia \( \mathrm{C} \) una categoria
Se \( 0,0' \in \mathrm{Obj_{C}} \) sono due oggetti iniziali allora sono isomorfi
Poiché sono oggetti iniziali allora esistono e sono unici i morfismi
\( \mathrm{ i \in Hom_{C}(0,0’), j \in Hom_{C}(0’,0)} \)
Data la legge si composizione \( \mathrm{ i \circ j \in Hom_{C}(0’,0’), j \circ i \in Hom_{C}(0,0)} \)
Dato che sono sempre ...
ho questa funzione h= R-->R ∀Z∈R h(z)= 1/3z^5-1
se voglio trovare la suriettività perchè devo fare questi passaggi?
h+1=1/3z^5
z^5=3(h+1) ---> perchè sparisce il denominatore?
z^5= ^5√3(h-1)
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