Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Ciao a tutti.
Ho il seguente esercizio: Sia $S_{\mathbb{N}}$ il gruppo delle applicazioni invertibili da $\mathbb{N}$ in se stesso. Provare che in $S_{\mathbb{N}}$ ci sono elementi di periodo infinito.
Deve essere una stupidaggine ma non riesco a trovare un esempio di funzione con periodo infinito cioè che $f^n\ne\text{id}$ per ogni $n\in\mathbb{N}$.
Pensavo ad una funzione $f$ che mi scambi ad esempio l'1 e il 2 e nei restanti numeri coincida con l'identità e:
-se la ...
Studiare la riducibilità del polinomio (e nel caso sia riducibile trovare la fattorizzazione in irriducibili)
X^2 + 4Y^4 in Q[X,Y]
e del polinomio
X^2 + 2Y^2 in Z(5)[X,Y]
dove con Z(5)[X,Y] si indica l'anello dei polinomi a coefficienti interi modulo 5 in due indeterminate.
Io ho provato a farlo.
Per quanto riguarda il secondo polinomio assumendo che 2 è congruo - 3 in Z(5)
A tentativi
(x+y)(x-y) =x^2-y^2 = x^2 +4y^2 mod(5)
(x+2y)(x-2y)= x^2-4y^2 = x^2 + y^2 mod(5)
(x+3y)(x-3y) =x^2-9y^2 = ...
ho letto la dimostrazione del teorema di Cauchy per i gruppi e ho provato ad abbozzarne un'altra che però non riesco a concludere; vi chiedo se ci sia una strada per farlo.
Sia $(G,*)$ un gruppo finito di ordine $abs(G)$ e $p$ un primo che divide $n$ allora $G$ ha un sottogruppo di ordine $p$
pongo $pk=n$
dimostrazione(bozza)
per ogni $g in G$ posso considerare $<<g>> leqG$ e per il teorema ...
Ciao. Ci sono tremila post sui vari forum/MSE/ph che riguardano questa dimostrazione, quindi questo mio intervento è un po' inutile. Voglio solo schiarirmi le idee cercando di scrivere qualcosa di comprensibile qui.
Sia \( A \) infinito numerabile. Allora ogni suo sottoinsieme \( E \) è o finito o infinito numerabile.
Sia \( E\subset A \) infinito. Sia \( x_{{-}}\colon\mathbb{N}\to A \) biiettiva. Definisco una successione \( n_{{-}} \) di naturali come segue. Sia \( n_1 \) il minimo ...
Ciao!
Ho questo esercizio
sia \( \mathrm{C} \) una categoria e \( \mathrm{a,b \in Obj_C } \) due oggetti; mostrare che se il prodotto esiste allora è unico a meno di isomorfismi
se $atimesb$ e $a*b$ sono entrambi prodotti con proiezioni $pi_a:atimesb->a$(risp. $b$) e $p_a:a*b->a$(risp. $b$).
visto che $pi_a$ e $pi_b$ sono morfismi che vanno rispettivamente in $a$ e in $b$ ed essendo ...
Ciao. Dato un sottogruppo \( H\leqq G \) di un gruppo \( G \), ove la legge di composizione è scritta in notazione moltiplicativa, un coset di \( H \) è un insieme della forma \( xH=\{x\}H \), dove il prodotto di sottoinsiemi \( H \), \( K \) di sottoinsiemi di un semigruppo, anche lui scritto in notazione moltiplicativa, è definito come \( HK:=\left\{hk:\text{$ h\in H $ e $ k\in K $}\right\} \).
Considerato ora il gruppo, additivo, \( \mathbb{Z} \), che cosa significa la ...
Ciao!
So che è un esercizio banale però vorrei cominciare a prendere dimestichezza con lo strumentario e le terminologie
Sia \( \mathrm{C} \) una categoria
Se \( 0,0' \in \mathrm{Obj_{C}} \) sono due oggetti iniziali allora sono isomorfi
Poiché sono oggetti iniziali allora esistono e sono unici i morfismi
\( \mathrm{ i \in Hom_{C}(0,0’), j \in Hom_{C}(0’,0)} \)
Data la legge si composizione \( \mathrm{ i \circ j \in Hom_{C}(0’,0’), j \circ i \in Hom_{C}(0,0)} \)
Dato che sono sempre ...
ho questa funzione h= R-->R ∀Z∈R h(z)= 1/3z^5-1
se voglio trovare la suriettività perchè devo fare questi passaggi?
h+1=1/3z^5
z^5=3(h+1) ---> perchè sparisce il denominatore?
z^5= ^5√3(h-1)
Questa non è nemmeno algebra, è teoria degli insiemi, e no, non puoi dimostrarlo senza assioma della scelta. Infatti (se ZF è consistente) esistono modelli di ZF in cui esistono bestialità come gli insiemi amorfi che praticamente hanno come sottoinsiemi solo i sottoinsiemi finiti e i loro complementari.
Comunque un modo più elementare di dimostrare quello che ti interessa è moltiplicarle l'insieme $X$ per un insieme con due elementi ${a, b} $usare che ha la stassa ...
Salve a tutti. Nei metodi finitari una frase col quantificatore esistenziale limitato della forma:
$$ \exists n
Sia $K$ campo algebricamente chiuso.
$A=k[x_1,...,x_n]$ anello.
$I\subsetA$ ideale.
Supponiamo che la varietà associata $\mathbb{V}(I)$ sia finita.
Voglio dimostrare che allora \(A/I\) come anello è isomorfo a una somma diretta finita di campi.
Per un risultato precedente so che \(A/I\) come $K$-spazio vettoriale ha dimensione finita.
La mia domanda è: basta questo per concludere che è isomorfo a una somma diretta di campi come anello?
Io pensavo di no ma il ...
Muovendo da questa discussione, voglio chiedere una cosa.
La proprietà da cui discendono risultati di algebra lineare quali "ogni spazio finitamente generato ha una base" e "un insieme di \( \dim{V} \) vettori linearmente indipendenti genera anche lo spazio" è la seguente.
Se \( V \) è uno spazio vettoriale finitamente generato, un insieme è massimale nel poset \( \mathcal{B} \) degli insiemi linearmente indipendenti se e solo se il suo cardinale è il massimo nell'insieme dei cardinali ...
da wikipedia sul teorema di fermat:
" Fermat dimostrò che non esiste una terna (a,b,c) tale che $ a^4+b^4=c^2 $ (ovviamente, se non esiste un c elevato al quadrato che soddisfa l'equazione, non può nemmeno essercene uno elevato alla quarta potenza)."
Non ho capito perchè dice "ovviamente" .
Grazie
Salve, ho questa domanda che mi frulla in testa ma non avendo studiando logica non so darmi, nè trovare, una risposta. I teoremi di incompletezza di Godel si applicano anche all'insieme (molto vasto) della matematica odierna? Per esempio, nel sottoinsieme dell'analisi matematica (in cui però rientrano anche gli assiomi dell'aritmetica ecc..), è possibile che la congettura di Riemann sia giusta ma che con gli assiomi attuali non sia possibile dimostrarla (come afferma il th di Godel)?
Ciao. Ho un dubbio stupidissimo. Mi sto chiedendo se la formula (non alludo a nulla di "formale"; non so nulla di logica)
\[
\tag {1}\label{eqn:prima} \left(\forall x\ldotp x\in S\implies\mathscr{P}x\right)\land\left(\forall y\ldotp y\in T\implies\mathscr{Q}y\right)
\] sia logicamente equivalente a
\[
\tag {2}\label{eqn:seconda} \forall x\ldotp x\in S\implies\left(\forall y\ldotp y\in T\implies\mathscr{P}x\land\mathscr{Q}y\right)
\]
Se \( x\in S \) è vera, allora, che preso \( y\in T \) valga ...
ESERCIZIO
RIDUCIBILITA' E IRRIDUCIBILITA' DEI POLINOMI IN Z[X]
Sia p un primo naturale. Studiare, al variare di p, la riducibilità di f(X) = X^4 + 10*p*X + 3*p in Z[X] e, nel caso sia riducibile, determinare la sua fattorizzazione in irriducibili.
Ho provato a risolverlo io e l'ho risolto così. (X + 3) divide f(X) se p = 3 che è un numero naturale, quindi -3 è una radice di f(X). Pertanto il polinomio X^4 + 30*X + 9 è riducibile in Z[X].
La sua fattorizzazione in irriducibili in Z[X] è ...
ESERCIZIO
Sia p un numero primo naturale. Studiare, al variare di p, la riducibilità di X^4 + 10*p*X + 3*p in Z[X] e nel caso in cui sia riducibile , determinare la sua fattorizzazione in irriducibili.
Io ho proceduto così:
p = 1. Il polinomio diventa X^4 + 10*X + 3 = (X^2 + 3)^2 - 6*X^2 + 10*X - 6.
Ora (X^2 + 3)^2 è sempre positivo e non si annulla mai in Z, - 6*X^2 + 10*X - 6 è sempre negativo e non si annulla mai in Z.
p=3. Il polinomio diventa X^4 + 30*X + 9 = (X + 3)*(X^3- 3*X^2 + 9*X ...
Salve. È la mia prima volta, quindi chiedo scusa a tutti se non so scrivere bene le formule. Desidero una sorta d'aiuto.
Devo dire se i due polinomi assegnati $F$ e $G$ sono irriducibili rispettivamente in $ZZ[X,Y]$ e in $CC[X,Y]$ dimostrandolo e giustificando ogni risposta.
I polinomi sono $F(X,Y) = 4X^3 - 2Y$ e $G(X,Y) = X^3 - (Y^2 + 1)$
Con ^ ho denotato l'elevamento a potenza, con MCD il massimo comune divisore.
Io ho proceduto così.
...
Sia $(S,<=)$ un insieme totalmente ordinato. Allora ogni parte non vuota e finita di S è dotata di minimo e massimo.
Io ho fatto così.
Si ponga $S^**=NN$ se S è infinito oppure $S^**=I_|S|$ se S è finito. Per ogni $ninS^**$ si ponga $S_n={X inP(S):$X è finito e $|X|=n}$. Dimostrare l'asserto sopra equivale quindi a dimostrare che per ogni $ninS^**$ ogni elemento di $S_n$ è dotato di minimo e di massimo. Per n=1, qualunque sia ...
Ciao!
Mi domandavo una cosa; è possibile, e sensato, parlare di ordinamento dei vari “tipi di infinito”? Se la risposta dovesse essere positiva si può avere “il più piccolo tra gli infiniti”?
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