Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Questa non è nemmeno algebra, è teoria degli insiemi, e no, non puoi dimostrarlo senza assioma della scelta. Infatti (se ZF è consistente) esistono modelli di ZF in cui esistono bestialità come gli insiemi amorfi che praticamente hanno come sottoinsiemi solo i sottoinsiemi finiti e i loro complementari.
Comunque un modo più elementare di dimostrare quello che ti interessa è moltiplicarle l'insieme $X$ per un insieme con due elementi ${a, b} $usare che ha la stassa ...
Salve a tutti. Nei metodi finitari una frase col quantificatore esistenziale limitato della forma:
$$ \exists n
Sia $K$ campo algebricamente chiuso.
$A=k[x_1,...,x_n]$ anello.
$I\subsetA$ ideale.
Supponiamo che la varietà associata $\mathbb{V}(I)$ sia finita.
Voglio dimostrare che allora \(A/I\) come anello è isomorfo a una somma diretta finita di campi.
Per un risultato precedente so che \(A/I\) come $K$-spazio vettoriale ha dimensione finita.
La mia domanda è: basta questo per concludere che è isomorfo a una somma diretta di campi come anello?
Io pensavo di no ma il ...
Muovendo da questa discussione, voglio chiedere una cosa.
La proprietà da cui discendono risultati di algebra lineare quali "ogni spazio finitamente generato ha una base" e "un insieme di \( \dim{V} \) vettori linearmente indipendenti genera anche lo spazio" è la seguente.
Se \( V \) è uno spazio vettoriale finitamente generato, un insieme è massimale nel poset \( \mathcal{B} \) degli insiemi linearmente indipendenti se e solo se il suo cardinale è il massimo nell'insieme dei cardinali ...
da wikipedia sul teorema di fermat:
" Fermat dimostrò che non esiste una terna (a,b,c) tale che $ a^4+b^4=c^2 $ (ovviamente, se non esiste un c elevato al quadrato che soddisfa l'equazione, non può nemmeno essercene uno elevato alla quarta potenza)."
Non ho capito perchè dice "ovviamente" .
Grazie
Salve, ho questa domanda che mi frulla in testa ma non avendo studiando logica non so darmi, nè trovare, una risposta. I teoremi di incompletezza di Godel si applicano anche all'insieme (molto vasto) della matematica odierna? Per esempio, nel sottoinsieme dell'analisi matematica (in cui però rientrano anche gli assiomi dell'aritmetica ecc..), è possibile che la congettura di Riemann sia giusta ma che con gli assiomi attuali non sia possibile dimostrarla (come afferma il th di Godel)?
Ciao. Ho un dubbio stupidissimo. Mi sto chiedendo se la formula (non alludo a nulla di "formale"; non so nulla di logica)
\[
\tag {1}\label{eqn:prima} \left(\forall x\ldotp x\in S\implies\mathscr{P}x\right)\land\left(\forall y\ldotp y\in T\implies\mathscr{Q}y\right)
\] sia logicamente equivalente a
\[
\tag {2}\label{eqn:seconda} \forall x\ldotp x\in S\implies\left(\forall y\ldotp y\in T\implies\mathscr{P}x\land\mathscr{Q}y\right)
\]
Se \( x\in S \) è vera, allora, che preso \( y\in T \) valga ...
ESERCIZIO
RIDUCIBILITA' E IRRIDUCIBILITA' DEI POLINOMI IN Z[X]
Sia p un primo naturale. Studiare, al variare di p, la riducibilità di f(X) = X^4 + 10*p*X + 3*p in Z[X] e, nel caso sia riducibile, determinare la sua fattorizzazione in irriducibili.
Ho provato a risolverlo io e l'ho risolto così. (X + 3) divide f(X) se p = 3 che è un numero naturale, quindi -3 è una radice di f(X). Pertanto il polinomio X^4 + 30*X + 9 è riducibile in Z[X].
La sua fattorizzazione in irriducibili in Z[X] è ...
ESERCIZIO
Sia p un numero primo naturale. Studiare, al variare di p, la riducibilità di X^4 + 10*p*X + 3*p in Z[X] e nel caso in cui sia riducibile , determinare la sua fattorizzazione in irriducibili.
Io ho proceduto così:
p = 1. Il polinomio diventa X^4 + 10*X + 3 = (X^2 + 3)^2 - 6*X^2 + 10*X - 6.
Ora (X^2 + 3)^2 è sempre positivo e non si annulla mai in Z, - 6*X^2 + 10*X - 6 è sempre negativo e non si annulla mai in Z.
p=3. Il polinomio diventa X^4 + 30*X + 9 = (X + 3)*(X^3- 3*X^2 + 9*X ...
Salve. È la mia prima volta, quindi chiedo scusa a tutti se non so scrivere bene le formule. Desidero una sorta d'aiuto.
Devo dire se i due polinomi assegnati $F$ e $G$ sono irriducibili rispettivamente in $ZZ[X,Y]$ e in $CC[X,Y]$ dimostrandolo e giustificando ogni risposta.
I polinomi sono $F(X,Y) = 4X^3 - 2Y$ e $G(X,Y) = X^3 - (Y^2 + 1)$
Con ^ ho denotato l'elevamento a potenza, con MCD il massimo comune divisore.
Io ho proceduto così.
...
Sia $(S,<=)$ un insieme totalmente ordinato. Allora ogni parte non vuota e finita di S è dotata di minimo e massimo.
Io ho fatto così.
Si ponga $S^**=NN$ se S è infinito oppure $S^**=I_|S|$ se S è finito. Per ogni $ninS^**$ si ponga $S_n={X inP(S):$X è finito e $|X|=n}$. Dimostrare l'asserto sopra equivale quindi a dimostrare che per ogni $ninS^**$ ogni elemento di $S_n$ è dotato di minimo e di massimo. Per n=1, qualunque sia ...
Ciao!
Mi domandavo una cosa; è possibile, e sensato, parlare di ordinamento dei vari “tipi di infinito”? Se la risposta dovesse essere positiva si può avere “il più piccolo tra gli infiniti”?
Ciao, questo è il primo post anche se vi leggo da un po' in modalità lurker
Premetto che sono un po' avanti con l'età e sono i miei primi passi su questa materia per via di un esame (li faccio da privatista, non posso seguire le lezioni per motivi lavorativi) quindi perdonatemi se ci arrivo dopo alle vostre risposte.
Volevo chiedervi un consiglio su un esercizio che devo svolgere ma di cui non so se sto sbagliando completamente l'approccio al problema che è il seguente:
Si consideri ...
Sto facendo un po' di esercizi nei quali sono scarso, ad esempio questo:
Siano $X$ e $Y$ (non vuoti) e $f: X \rightarrow Y$ un'applicazione. Si dimostri che $f$ è iniettiva se e solo se per ogni $T \subseteq X$ si ha che $f(X \setminus T) \subseteq Y \setminus f(T)$.
che è tratto dalle dispense consigliatemi nella discussione apposita. Ho provato a svolgere la dimostrazione ma sono giunto ad un punto morto. Ecco il mio tentativo: per contrapposizione si ...
Salve, dovrei dimostrare che per ogni \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) si ha \(\displaystyle 8\mid 9^{n}+7 \).
Ho proceduto a verificarla per n=0:
\(\displaystyle \displaystyle 8\mid 9^{n}+7 \Leftrightarrow \exists h\in \mathbb{Z}\: \: t.c.\: \: 9^{n}+7 = 8h \)
\(\displaystyle 9^{0} + 7 =8h \Rightarrow 8 = 8h \Rightarrow h=1\in \mathbb{Z} \)
I problemi sorgono per n+1:
\(\displaystyle 9^{n} + 7 =8h \Rightarrow 9^{n} =8h-7 \)
\(\displaystyle 9^{n+1} + 7 =8h \Rightarrow 9\cdot 9^{n} ...
Ciao. Quelli che seguono non sono necessariamente esercizi correlati.
1. Siano \( G \) e \( H=\langle h_1,\dots,h_n\rangle \) rispettivamente un gruppo e un sottogruppo di \( G \) generato da \( h_1,\dots,h_n\in G \); allora \( H \) è generato dall'unione \(\bigcup_{i=1}^n\langle h_i\rangle \) dei sottogruppi ciclici generati da ciascun \( h_i \).
Dimostrazione. Il sottogruppo \( H \) è il g.l.b. della famiglia dei sottogruppi di \( G \) contenenti gli \( h_i \), e di fatto il minimo. Allora ...
Io so che le funzioni NON iniettive non si possono invertire (perchè l'inversa non avrebbe immagine univoca ) ;
però nel libro di algebra che mi accingo a leggere,spesso si usa l'inversa di una funzione suriettiva ma non iniettiva.
Ad esempio la proiezione canonica P,è suriettiva ma in generale non iniettiva,eppure si usa spesso la sua controimmagine .
Esempio P^-1( I) = J , cioè la controimmagine di un ideale di anello è un ideale, etc....
Cioè se applicata ad insiemi P diventa ...
Salve a tutti, sto facendo un po' di confusione con la scomposizione dei cicli in una permutazione. In particolare ho la permutazione in $\mathbb{S}_{9}$:
\begin{pmatrix}
1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\
9& 2& 3& 4& 1& 6& 5& 7& 8
\end{pmatrix}
ho scomposto in cicli e ottenuto $( 1 9 8 7 5 )$.
Come posso scomporre ulteriormente $( 1 9 8 7 5 )$ per ottenere un prodotto di cicli binari? (nella forma $( c_{1}c_{2} )( c_{3}c_{4} ).. ( c_{n}c_{k} )$)
Grazie in anticipo
Salve a tutti, ho bisogno di una delucidazione riguardo agli ideali di un anello quoziente. Premetto che sto studiando la decomposizione primaria. Un esercizio chiedeva di dimostrare che:
Sia $I$ un ideale proprio di $A$. $I$ è primario $\iff$ $(0)$ è un ideale primario di \(A/I \) .
Sono iniziati quindi a venirmi dei dubbi esistenziali sulla struttura degli ideali di un anello quoziente. Ciò che ho capito ...
Se $m : M \times M \to M$ è un'operazione interna che rende $M$ un magma (da ora in poi "il prodotto in $M$"), $n\ge 1$ è un numero naturale, ed \(\vec a = \{a_1,\dots, a_n\} \subseteq M\) una tupla di elementi di $M$, date la definizione di una "parentesizzazione" della tupla di elementi, ossia una definizione formale per una scelta di parentesi che associ in certa maniera il prodotto di tutti gli elementi della tupla \(\vec a\).
No, non c'è già ...
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