Riducibilità e caratteristica

[anto_zoolander]

Ciao!

Ho difficolta, sempre che sia corretta, a "vedere" questa dimostrazione che ho abbozzato.
In particolare la contronominale recita che in caratteristica $0$ tutti i polinomi irriducibili sono separabili ma non riesco a farmi un esempio che di grado maggiore al primo. Più che altro ho l'impressione che in caratteristica zero i polinomi irriducibili o non hanno radici o sono di grado uno.

Sia $K$ un campo e $f in K[x]$ un polinomio irriducibile

se $f$ ha almeno una radice multipla in $K$ allora $chrK>0$

sia $alpha in K$ una radice multipla di $f$ allora esistono un polinomio $q in K[x]$ e un $m>1$ per cui $f(x)=(x-alpha)^mq(x)$ e $q(alpha)ne0$ che posso scrivere come $f(x)=(x-alpha)*[(x-alpha)^(m-1)q(x)]$

essendo $f$ irriducibile, ed essendo $x-alpha$ non unità, deve essere $(x-alpha)^(m-1)q(x)=c$ per qualche $c in K$.

Derivando si ottiene $(m-1)(x-alpha)^(m-2)q(x)+(x-alpha)^(m-1)q'(x)=0$

visto che $(x-alpha)^(m-2)$ è non nullo posso dividere per questo fattore ottenendo

$(m-1)q(x)+(x-alpha)^(m-1)q'(x)=0 => (m-1)q(alpha)=0$

essendo $q(alpha) ne0$ si ottiene $(m-1)*1_k=0$ con $(m-1)>0$ pertanto $K$ ammette una caratteristica non nulla.

[Studente Anonimo]

"anto_zoolander":Sia $K$ un campo e $f in K[x]$ un polinomio irriducibile

se $f$ ha almeno una radice multipla in $K$ allora $chrK>0$

Questo enunciato è formulato male, prova a ricontrollare la fonte. E' ovvio che se $f(X)$ è irriducibile e ha una radice $alpha$ in $K$ allora $f(X)=c*(X-alpha)$ con $c in K$. Fine.

Il problema enunciato correttamente è il seguente:

Sia $K$ un campo e $f(X) in K[X]$ un polinomio irriducibile. Sia $E$ un sovracampo di $K$ (cioè un campo che contiene $K$ come sottocampo) e sia $alpha in E$ una radice multipla di $f(X)$. Allora $K$ ha caratteristica positiva.

Dimostrazione: scriviamo $f(X)=(X-alpha)^m q(X)$ e deriviamo ...

PS: esempio di un polinomio irriducibile di grado $2$: $f(X)=X^2+1$ è irriducibile in $RR[X]$
(d'altra parte è riducibile in $CC[X]$ perché $f(X)=(X+i)(X-i)$).

NB: quando dici che un polinomio è irriducibile devi sempre dire su quale campo! O equivalentemente in quale anello di polinomi. Altrimenti non ha proprio senso.

[anto_zoolander]

Il testo in questione è l'Herstein che mi è famoso per creare continue confusioni con le notazioni.
Grazie

[anto_zoolander]

Per la soluzione considero $f(X)=(X-xi)^m q(X)$ con $xi in E$ e $q(xi)ne0$: derivo ottenendo

$f'(X)=(X-xi)^(m-1)(mq(X)+(X-xi)^m q'(X))$

essendo $f in k[X]$ irriducibile allora $f$ è il polinomio minimo di $xi$ su $k$
se fosse $m>1$ allora $f'(X)$ avrebbe anche $xi$ come radice ed essendo $f$ il polinomio minimo $f|f'$ ma allora $f'(X)=0$

il che è assurdo poichè essendo $(X-xi)^(m-1)ne0$ deve essere $mq(X)+(X-xi)^mq'(X)=0 => mq(xi)=0$

[Studente Anonimo]

Ok ma $mq(xi)=0$ non è assurdo, semplicemente implica che la caratteristica di $K$ divide $m$.