Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Dato un insieme A e definita una f:A -> B , chiameremo f(A) l'immagine di f, esso conterrà tutte le immagini f(a) appartenenti al codominio B, giusto?
La denotazione di "Immagine di f" è Im(f).
Ma se volessimo parlare delle immagini di due insiemi diversi a cui vengono applicati la stessa f?
Come le denoteremmo per distinguerle?
Grazie in anticipo.
Salve,
mentre stavo studiando il principio di inclusione ed esclusione, mi sono bloccato sulla dimostrazione:
Nella 6° riga (la prima sarebbe quella con cui comincia "Proposizione 2 (Pri. . . "), non capisco perché per dimostrare la prima e la seconda formula, abbiano fatto vedere che, con determinate formule applicate ad A e B otteniamo l'insieme vuoto.
Non ne vedo il collegamento, sembrano completamente diverse da quello che si vuole dimostrare o al passaggio ...
\(\Box\) Quesito: quanti elementi di un gruppo ciclico di ordine \(n\) sono generatori per il gruppo?
Il testo suggerisce prima di lavorare con \(n=5,6,8,10\). Ragionando sui casi specifici trovo una possibile risposta: un elemento \(g^m\) è un generatore del gruppo se \(\text{gcd}(n,m)=1\). A grandi linee (\(=\) scrivendo un po' le cose all'acqua di rose) vi chiedo se vanno bene queste idee per dimostrare bene questa cosa:
\(\circ\) Un elemento con esponente non coprimo a \(n\) non genera il ...
\(\Box\) Dimostrare che \(H=a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}\) è un sottogruppo di \((\mathbb{Z},+)\), e determinare se è generato dagli elementi \(a\) e \(b+7a\).
Prima di tutto, l'insieme \(H\) non è vuoto: ad esempio, \(a+b\in H\). Inoltre, dati \(x,y\in H\) si ha: \[ xy^{-1}=x-y=(az_1+bz_2)-(az_1'+bz_2')=a(z_1-z_1')+b(z_2-z_2')\in H,\] quindi \(H\) è un sottogruppo proprio di \(G\). Sul secondo punto ho delle incertezze. Dovrei dimostrare che \(x=an+bm\in H\) può essere scritto come ...
I sottoinsiemi finiti di \( \mathbb{N} \) sono numerabili o non numberabili?
Allora sebbene io l'abbia risolto in modo diverso avrei una curiosità, se fosse possibile procedere in modo distinto.
Nominiamo \( A \) l'insieme descritto nell'enunciato, io ho trovato la seguente mappa iniettiva \[ f : A \hookrightarrow \mathbb{N} \]
\[a\in A \mapsto f(a)= \prod\limits_{j \in a} p_j \]
Dove \( p_j \) è il \(j-\)esimo numero primo.
La mia domanda è un'altra allora, prima di pensare a questa cosa, ...
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Studente Anonimo
27 set 2019, 23:43
Ciao!
avrei bisogno di un check sulla dimostrazione della seguente affermazione
sia $K$ un campo e $a in K$ un elemento
$1$ se $p in K[x]$ è il polinomio minimo di $a$ allora è irriducibile ed in particolare lo si può prendere monico
$2$ se $p in K[x]$ è un polinomio irriducibile e monico allora è polinomio minimo di ogni sua radice
intanto posto $E_a={p in K[x]: p(a)=0}$ la quantità $min_(p in E_a)partialp$ è ben posta quindi in ...
Sia $G$ un gruppo di ordine $2$ che agisce su un insieme $S$ di $5$ elementi. Le orbite di questa azione sono composte da $1$ o $2$ elementi, rispettivamente per stabilizzatori di ordine $2$ o ordine $1$ (Teorema Orbita-Stabilizzatore). Poiché le orbite costituiscono una partizione dell'insieme $S$, questo basta per concludere che l'azione deve avere almeno ...
Buonasera,
sul mio libro di analisi, viene citato il seguente:
Assioma dell'infinito: esiste un insieme che contiene \(\displaystyle \emptyset \) e contiene il successivo di ogni suo elemento.
in altre parole: ogni insieme induttivo contiene lo $0$ e tutti i suoi successivi. Mi dice l'intersezione di due o piu insiemi induttivi, è un insieme induttivo "dimostrare per esercizio".
Se ho interpretato correttamente l'enunciato dell'assioma, due insiemi induttivi ...
Leggendo
More abstractly, if we are given any set X (not necessarily the set of vertices of a square),
then the set Sym(X) of all permutations of X is a group under composition, and the
subgroup Alt(X) of even permutations of X is a group under composition. If we list the
elements of X in a definite order, say as X = {x1, . . . , xn}, then we can think about Sym(X)
as Sn and Alt(X) as An, but a listing in a different order leads to different identifications
of Sym(X) with Sn and Alt(X) with ...
Salve,
volevo chiarire il mio seguente dubbio come da titolo. Riporto prima le definizione di sottoinsieme e sottoinsieme proprio, segue
Siano per entrambi due insieme $A,B$;
$A subseteq B leftrightarrow forall x : x in A to x in B$
$A subset B leftrightarrow (A subseteq B \wedge A ne B)$
Nella prima relazione, non si sta dicendo: che non esiste nessuno elemento $x in B : \ x notin A$, si sta solo dicendo che ogni elemento che appartiene a $B$, appartiene anche ad $A$.
Ciao, ho bisogno di aiuto su un problema.
Siano A e B sottoinsiemi di X.
Dimostrare oppure confutare mediante controesempi la seguente uguaglianza tra insiemi:
$ P(A) nn P(B)=P(AnnB) $
Dove $ P(Z) $ indica l'insieme delle parti di Z.
Il mio professore ha suggerito, in caso di situazioni del genere, di mostrare separatamente che il primo membro è sottoinsieme del secondo membro, quindi che il secondo è sottoinsieme del primo. Di conseguenza il primo e il secondo membro coincidono. ...
Siano \(n, k \in \mathbb{N} \) fissati. Trovare il numero di soluzioni dell'equazione
\[ x_1 + \ldots + x_k = n \ \ \ \ \ (\star)\]
tale che \( x_i \in \mathbb{Z}_{\geq 0} \), per \( i \in \{ 1, \ldots, k \} \)
Soluzione:
Il numero di soluzioni è dato da \( \binom{n+k-1}{k-1} \)
Dimostrazione:
Costruiamo una biiezione tra le soluzioni di \( (\star) \) e i sottoinsiemi di cardinalità \( k-1 \) in \( [n+k-1] \)
\( (x_1, \ldots, x_k) \to \{ x_1+1, x_1+x_2+2, \ldots, x_1 + \ldots + x_{k-1} + ...
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Studente Anonimo
18 set 2019, 19:29
Ciao a tutti
È da mesi che studio per l'esame di Algebra dal libro Greco Valabrega e ho notato che ci sono moltissimi errori, ma la maggior parte sono (almeno penso) di battitura. Ora ho un problema abbastanza serio: il libro dice che l'insieme vuoto si indica con la lettera greca phi e che il simbolo con la barra è lo zero nella notazione scientifica e addirittura scrive di non confonderli..
Ma leggendo su internet ho visto che in realtà bisogna non confondere phi con il simbolo di insieme ...
Prima di tutto, correggi il testo .
Secondariamente, penso che tu possa solo dimostrare che \(\langle h\rangle \cong \mathbb{Z}\). Infatti, se considero qualsiasi gruppo del tipo \(H = K\ltimes\mathbb{Z}\), \(K\) gruppo qualsiasi, posso senz'altro costruire una \(\phi_g\) come nella tua definizione.
Salve a tutti, ho provato a cercare la soluzione a questo problema in post precedenti ma senza risultati.
Ho provato a risolvere l'esercizio utilizzando teoremi che richiedessero nelle ipotesi i numeri primi come ad esempio il piccolo teorema di Fermat (in questo caso ho provato a "risolvere" l'equazione esponenziale, ma era impossibile) oppure negando la tesi, ma nulla sembra funzionare.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Edit: modifica titolo.
Dimostra che un insieme \( A \) non può essere in biiezione con l'insieme dei suoi sottoinsiemi.
Allora vi chiedo se la mia idea è corretta e inoltre se sapete come trattare il caso in cui \( A \) è non numerabile.
La mia idea:
Se \( A \) è numerabile allora abbiamo due possibilità
1) Se \( \operatorname{card}(A) \in \mathbb{N} \), diciamo \( n \), allora è triviale, infatti \( \operatorname{card}(A)=n < \operatorname{card}(\mathcal{P}(A))=2^n \), \( \forall n \in \mathbb{N} \).
2) Se \( A ...
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Studente Anonimo
19 set 2019, 01:11
Salve a tutti,
ho appena incominciato all'universita' Logica per la Programmazione, sto svolgendo qualche esercizio ma non avendo le soluzioni non so se sono corrette.
-"Aldo va al cinema ma Dario no"
A$\wedge$$\neg$D (Aldo=A; Dario=D)
-"Luigi andra' al cinema o andra' al teatro"
C$\vee$T (Cinema=C; Teatro=T)
-"Se ho lezione di LMB allora e' Martedi' o Venerdi'" (LMB=L; Martedi=M; Venerdi=V)
L $\Rightarrow$ (M $\vee$ V)
-"Non puoi montare ...
Ho trovato questo esercizio:
The group a $Z_2$ acts on the real numbers by multiplication by $(-1)^n$ Vorrei dimostrare
che si tratta di un'azione di gruppo, ma non capisco com'é definita la funzione. Chi é $n$? Dopo dovrei farcela.
Grazie infinite
Salve a tutti,
sono reduce da giusto un paio di lezioni di Logica e, date le mie difficoltà nelle dimostrazioni in generale, ho deciso di iniziare a dimostrare alcune delle leggi più semplici prima di passare a proposizioni più complesse, senza però usare le tabelle di verità.
In particolare mi sto concentrando sulle due proprietà distributive:
$p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)$
$p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)$
che vorrei riuscire a dimostrare partendo da altri mattoncini base: commutatività, associatività, idempotenza, ...
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