Costruzione dell'insieme Z

[AlexanderSC]

Buongiorno,

Tre giorni fà a lezione abbiamo parlato di come riuscire a costruire l'insieme dei Numeri Interi partendo dall'insieme dei Numeri Naturali.

Io però ho capito poco perché aveva a che fare con le partizioni.

Ora che le ho ri-studiate(mi ero scordato alcuni dettagli infatti), non trovo però online una spiegazione a riguardo (tanto meno sui mio libro di logica), quindi mi stavo chiedendo se qualcuno che conoscesse questa dimostrazione, se me la potesse dimostrare passo passo.

Grazie in anticipo

[axpgn]

Qui per esempio

[AlexanderSC]

Grazie infinite, mi è stato molto utile!

Ho solo un dubbio, quando applico la proprieta di somma fra due classi d'equivalenza di segno opposto (ad esempio [(0,4)] + [(3,0)] ),
il risultato non è della classica forma [(0, n)] / [(n, 0)], in quel caso basta rinominare il risultato con il suo elemento più piccolo(Nell'esempio la classe d'equivalenza risultante, ha come elemento (0, 1) che sarebbe poi la risposta)?

Grazie

[axpgn]

Non ho capito bene cosa intendi dire …
Il risultato di quella operazione ($[(0;4)]+[(3;0)]$) è $[(0+3;4+0)]=[(3;4)]$, ma dato che $[(3;4)]$ rappresenta una classe di equivalenza, qualsiasi elemento della classe può rappresentarla perciò anche $[(0;1)]$

Cordialmente, Alex

[gugo82]

La costruzione può essere modificata facendo a meno di classi di equivalenza.
Certo, si perde un po’ di eleganza, ma non ci sono problemi più profondi.

Consideriamo l’insieme $Z$ costituito dalle coppie ordinate del tipo $(n,m) in NN^2$ caratterizzate dalla seguente proprietà: $(n,m) in Z$ se e solo se o $n=0$ oppure $m=0$.[nota]Come quasi tutti gli analisti considero $0 in NN$.[/nota]
Quindi in $Z$ ci sono solo le coppie del tipo $(n,0)$ o $(0,m)$.

Su $Z$ definiamo la somma $+: Z^2 -> Z$ ponendo:
\[
\begin{split}
(n_1,0) + (n_2,0) &= (n_1 + n_2, 0) \\
(0, m_1) + (0, m_2) &= (0, m_1 + m_2) \\
(n_1, 0) + (0, m_2) &= \begin{cases} (n_1 - m_2, 0) & \text{, se } n_1 \geq m_2 \\ (0, m_2 - n_1) & \text{, se } m_2 > n_1 \end{cases} \\
(0, m_1) + (n_2, 0) &= \begin{cases} (n_2 - m_1, 0) & \text{, se } n_2 \geq m_1 \\ (0, m_1 - n_2) & \text{, se } m_1 > n_2 \end{cases}
\end{split}
\]
ed il prodotto $* : Z^2 -> Z$ ponendo:
\[
\begin{split}
(n_1,0) \cdot (n_2,0) &= (n_1n_2, 0) \\
(0, m_1) \cdot (0, m_2) &= (m_1 m_2, 0) \\
(n_1,0) \cdot (0,m_2) &= (0, n_1m_2) \\
(0, m_1) \cdot (n_2, 0) &= (0, m_1 n_2)
\end{split}
\]
(in cui le operazioni ai secondi membri sono quelle già definite in $NN$).
Con qualche conto si verifica che $+$ e $*$ godono delle usuali proprietà (commutativa, associativa, distributiva di $*$ rispetto a $+$), che $+$ ha come elemento neutro $(0,0)$, che ogni coppia $(n,0)$ [risp. $(0,m)$] ha come opposto la coppia $(0,n)$ [risp. $(m,0)$] e che $*$ ha come elemento neutro $(1,0)$.
Quindi $(Z,+,*)$ è un anello commutativo unitario; inoltre, si prova che vale la Legge di Annullamento del Prodotto, sicché $(Z,+,*)$ è un dominio d’integrità unitario.
Questa struttura viene denotata con $ZZ$ ed è detta anello degli interi.

Con queste definizioni si dimostra che $ZZ$ contiene una sottostruttura isomorfa a $(NN, +,*)$: infatti, l’applicazione $i:NN -> Z$ che assegna $i(n) := (n,0)$ è additiva (i.e., $i(n_1+n_2) = i(n_1) + i(n_2)$) e moltiplicativa (cioè, $i(n_1n_2) = i(n_1)*i(n_2)$).
Quindi possiamo ritenere che $NN sub ZZ$ ed identificare ogni coppia del tipo $(n,0)$ semplicemente con $n$ ($in NN$); in particolare $0$ ed $1$ saranno usati per denotare le coppie $(0,0)$ ed $(1,0)$.
Invece, le coppie del tipo $(0,m)$ (con $m >=1$) si denotano col simbolo $-m$ (leggi: “meno emme”); in particolare, la coppia $(0,1)$, opposta di $1$, si denota con $-1$ (leggi: “meno uno”).
Dato che (per la definizione della moltiplicazione) risulta $(0,m) = (0,1)*(m,0)$, possiamo affermare che $-m = (-1)*m$ e, visto che $(m,0) + (0,m) = (0,0)$, possiamo affermare che $-m$ è l’opposto di $m$ e, viceversa, che $m$ è l’opposto di $-m$, ossia che $-(-m) = m$.

In $ZZ$ possiamo poi definire la sottrazione mediante “somma con l’opposto”, i.e. possiamo porre $b - a := b + (-a)$; in tal modo, è semplice provare che $b - a$ è l’unico elemento di $ZZ$ che sommato ad $a$ fornisce $b$ e che la sottrazione definita in $ZZ$ è un’estensione di quella definita su $NN$ (quando $b>= a$).

Inoltre, su $ZZ$ si può mettere la relazione $<=$ ponendo per definizione:
\[
a \leq b\ \stackrel{\text{def}}{\Leftrightarrow}\ b - a \in \mathbb{N}
\]
e si dimostra che essa è una relazione d’ordine (riflessiva, antisimmetrica e transitiva) totale, compatibile con le operazioni (nel senso che $a<= b => a+c <= b+c$ e $a<= b ^^ 0<= c => a*c <= b*c$), rispetto alla quale $NN - \{0\}$ coincide con l’insieme dei numeri positivi di $(ZZ, <=)$.

[AlexanderSC]

Capito, quindi la definizione di somma, è più complessa rispetto a quella rappresentata nel primo link.
Ti ringrazio per il tuo tempo, e per il testo allegato
Buona Giornata.

[gugo82]

"AlexanderSC":Capito, quindi la definizione di somma, è più complessa rispetto a quella rappresentata nel primo link.

Non più complessa: si tratta solo di distinguere un po’ di casi.

"AlexanderSC":Ti ringrazio per il tuo tempo, e per il testo allegato

Prego!