Anello di convoluzione

[Rosaaaa1]

Salve a tutti. Non riesco a risolvere il seguente esercizio:
$"Determinare gli elementi invertibili dell'anello di convoluzione"$
Il nostro prof non ha accennato minimamente ma sono andata in internet e ho trovato che
$ f: NN -> X$
$a_n=f(n)$
$f+g:n->f(n)+g(n)$
$f☆g=\sum_{j=0}^n(f(j)*g(n-j))$
elemento neutro 1 se n=0 e 0 se n>1
Io ho pensato di risolverlo per induzione, ossia per $n=0$ ho trovato che $g(0)=f(0)^(-1)$
Perché ho posto $g(0)f(0)=1$
con $n=1$ ho trovato che $g(1)=-f(1)f(0)^(-2)$
Per $n=2 g(2)= f(1)^(2)*f(0)^(-3)-f(2)*f(0)^(-2)$ e ho continuato fino ad n=4 sperando di trovare una relazione generica tra loro per procedere con l'induzione.
Sarà che sono sveglia dalle 6 ma io non riesco a trovare nessuna relazione. Per caso qualcuno la vede o sono del tutto fuori strada?

[Studente Anonimo]

Scusa ma se $n$ è maggiore di $1$ devi avere

[tex]\sum_{j=0}^n f(j)g(n-j) = 0[/tex]

Se conosci $g(m)$ per ogni $m
[tex]g(n)=-f(0)^{-1} \sum_{j=1}^n f(j)g(n-j)[/tex].

Fine, no?

Quindi $f$ ammette inverso se e solo se $f(0) ne 0$ (assumendo che il tuo $X$ sia un campo).

[Rosaaaa1]

Si, infatti io per ogni caso con $m
Grazie mille