Calcolo gruppo di Galois ed campi intermedi

[francicko]

Sia $x^3 - x-1$ il polinomio in oggetto:
essendo irriducibile in $Q$, ed avendosi $delta=sqrt(Delta)$ non appartenente a $Q$ posso affermare che il gruppo di Galois è $S_3$.
Posso costruire il campo $Q(alpha)={a_0+a_1(alpha)+a_2(alpha)^2$ $ | $ $a_i$ $in$ $Q, $ $alpha^3 =alpha+1}$ , come posso calcolare esplicitamente i campi intermedi?

[hydro1]

Stai facendo confusione. Il campo $\mathbb Q(\alpha)$ ha grado 3 su $\mathbb Q$, quindi non ci sono campi intermedi per la regola dei gradi. Tu forse stai pensando al campo di spezzamento $K$ di quel polinomio, che avendo gruppo di Galois $S_3$ ha grado 6 su $\mathbb Q$. Per trovare i campi intermedi devi usare la corrispondenza di Galois: $S_3$ ha 3 sottogruppi non normali di indice 3 (generati dai 3 scambi) ed un sottogruppo normale di indice $2$ (generato da un 3-ciclo). Pertanto \(K/\mathbb Q\) ha 3 sottoestensioni non normali di grado 3 ed una normale di grado 2. Quali sono? E' facile da vedere: quelle non normali sono le estensioni $\mathbb Q(\alpha_i)$ per $i=1,2,3$ dove $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ sono le radici di $x^3-x-1$. Quella quadratica è $\mathbb Q(\sqrt{\Delta})$.

[francicko]

Ancora intuitivamente non mi è per nulla chiaro il teorema di corrispondenza.
Sempre considerando un polinomio generico di terzo grado, dal teorema deduco che essendo $S_3$ il suo gruppo di Galois, ed avendo questo tre sottogruppi di ordine. $2$ ossia: $sigma_1=(x_1)(x_2,x_3)$, $sigma_2=(x_2)(x_1,x_3)$,$sigma_3=(x_3)(x_1,x_2)$ un sottogruppo di ordine $3 $, ossia: $sigma_4=(x_1,x_2,x_3)$ a cui corrispondono gli intercampi $Q(x_1)$, $Q(x_2)$, $Q(x_3)$, $Q(delta)$, ed $S_3$ cui corrisponde il campo base $Q$, ed $(e)$ cui corrisponde il campo di spezzamento del polinomio $E$, mi sbaglio?
Mi chiedo perché ad esemppio$Q(x_1,x_2)$ non è un campo intermedio?

[hydro1]

E chi ha detto che non lo sia? E' un campo intermedio, coincide con $E$. Quindi è quello che corrisponde al sottogruppo banale.