Esercizio riguardante i sottogruppi.
Buonasera, sto svolgendo un esercizio riguardante i gruppi.
Riporto solo una parte dell'esercizio una volta discussa procedo con la rimanente, giusto per non creare molta confusione.
Sia $G=GL(2,ZZ_8)$, sia $H subseteq G$ definito ponendo \(\displaystyle H=({\begin{vmatrix} y & x \\ 0 & y \end{vmatrix}} \:\ x \in \mathbb{Z_8}, y \in \mathbb{Z_8^*} ) \)
a) $H le G$
Risulta $H ne \emptyset$, infatti \(\displaystyle I={\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}} \), in tal caso considero due matrici $A,B \ in H$ dove
valuto l'inversa di $A$ ossia \(\displaystyle A^{-1}={\begin{vmatrix} y^{-1} & \tfrac{-x}{y^2} \\ 0 & y^{-1} \end{vmatrix}} \) quindi,
\(\displaystyle A^{-1}B={\begin{vmatrix} y^{-1} & \tfrac{-x}{y^2} \\ 0 & y^{-1} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} z & t \\ 0 & h \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix} y^{-1}z & y^{-1}t-\tfrac{xh}{y^2} \\ 0 & y^{-1}h \end{vmatrix}} .\)
Poiché sia $ZZ_8$ che $ZZ_8^(**)$ sono stabili per la legge indotta da $G$ risulta che $A^(-1)B \ in H$ cioè $H le G$.
b) Cardinalità di $H$
$|ZZ_8^(**)|=|{,1,3,5,7}|=4$ , $|ZZ_8|=|{0,1,2,3,4,5,6,7}|=8$.
Per come sono descritti gli elementi di $H$ ottengo per ogni $y in ZZ_8^(**)$ 8 matrici distinti, quindi la cardinalità di $H$ è $4 times 8=32.$
c) Abeliano
Siano sempre $A,B in H$ si ha
\(\displaystyle AB={\begin{vmatrix} a & b \\ 0 & c \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} d & e \\ 0 & f \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix} ad & ae+bf \\ 0 & cf \end{vmatrix}} \), invece \(\displaystyle BA={\begin{vmatrix} da & db+ec \\ 0 & fc \end{vmatrix}} \).
Abbiamo $ad=da$ , $cf=fc$ e $db+ec ne ae+bf$, allora $AB ne BA$, quindi $H$ non è abeliano.
d) Periodo dei seguenti elementi di $H$ \(\displaystyle A=\begin{vmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{vmatrix} \), \(\displaystyle B=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \)
\(\displaystyle A^2=AA=\begin{vmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{vmatrix}\begin{vmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9 & 0 \\ 0 & 9\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} \).
Quindi $A$ ha periodo due.
Invece
e) Determinare $, $
$\=\{A, I}$, $\=\{B,I,X,Y}$
buona serata.
Riporto solo una parte dell'esercizio una volta discussa procedo con la rimanente, giusto per non creare molta confusione.
Sia $G=GL(2,ZZ_8)$, sia $H subseteq G$ definito ponendo \(\displaystyle H=({\begin{vmatrix} y & x \\ 0 & y \end{vmatrix}} \:\ x \in \mathbb{Z_8}, y \in \mathbb{Z_8^*} ) \)
a) $H le G$
Risulta $H ne \emptyset$, infatti \(\displaystyle I={\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}} \), in tal caso considero due matrici $A,B \ in H$ dove
\(\displaystyle A={\begin{vmatrix} y & x \\ 0 & y \end{vmatrix}}, \displaystyle B={\begin{vmatrix} z & t \\ 0 & h \end{vmatrix}} \)
valuto l'inversa di $A$ ossia \(\displaystyle A^{-1}={\begin{vmatrix} y^{-1} & \tfrac{-x}{y^2} \\ 0 & y^{-1} \end{vmatrix}} \) quindi,
\(\displaystyle A^{-1}B={\begin{vmatrix} y^{-1} & \tfrac{-x}{y^2} \\ 0 & y^{-1} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} z & t \\ 0 & h \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix} y^{-1}z & y^{-1}t-\tfrac{xh}{y^2} \\ 0 & y^{-1}h \end{vmatrix}} .\)
Poiché sia $ZZ_8$ che $ZZ_8^(**)$ sono stabili per la legge indotta da $G$ risulta che $A^(-1)B \ in H$ cioè $H le G$.
b) Cardinalità di $H$
$|ZZ_8^(**)|=|{,1,3,5,7}|=4$ , $|ZZ_8|=|{0,1,2,3,4,5,6,7}|=8$.
Per come sono descritti gli elementi di $H$ ottengo per ogni $y in ZZ_8^(**)$ 8 matrici distinti, quindi la cardinalità di $H$ è $4 times 8=32.$
c) Abeliano
Siano sempre $A,B in H$ si ha
\(\displaystyle AB={\begin{vmatrix} a & b \\ 0 & c \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} d & e \\ 0 & f \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix} ad & ae+bf \\ 0 & cf \end{vmatrix}} \), invece \(\displaystyle BA={\begin{vmatrix} da & db+ec \\ 0 & fc \end{vmatrix}} \).
Abbiamo $ad=da$ , $cf=fc$ e $db+ec ne ae+bf$, allora $AB ne BA$, quindi $H$ non è abeliano.
d) Periodo dei seguenti elementi di $H$ \(\displaystyle A=\begin{vmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{vmatrix} \), \(\displaystyle B=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \)
\(\displaystyle A^2=AA=\begin{vmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{vmatrix}\begin{vmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}9 & 0 \\ 0 & 9\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} \).
Quindi $A$ ha periodo due.
Invece
\(\displaystyle B^2=BB=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 4 \\ 0 & 1\end{vmatrix}=X.\)
\(\displaystyle B^3=BB^2=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}1 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 6 \\ 0 & 1\end{vmatrix}=Y.\)
\(\displaystyle B^4=BB^3=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}1 & 6 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 8 \\ 0 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix}.\)
Quindi $B$ ha periodo 3. \(\displaystyle B^3=BB^2=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}1 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 6 \\ 0 & 1\end{vmatrix}=Y.\)
\(\displaystyle B^4=BB^3=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}1 & 6 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 8 \\ 0 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix}.\)
e) Determinare $, $
$\=\{A, I}$, $\=\{B,I,X,Y}$
buona serata.
Risposte
\( \newcommand{\pt}[1]{\Bigl(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\Bigr)} \)a) L'inversa di \( \pt{y & x\\0 & y}\in G := \mathrm{GL}(2,\mathbb Z_8) \) è \( \pt{y^{-1} & y^{-1}(1 - xy^{-1})\\0 & y^{-1}} \); questo ti conferma che \( H\leqq G \).
b) Va bene.
c)
d) Va bene.
e) Yep.
b) Va bene.
c)
"Pasquale 90":Mi trovi un controesempio?
abeliaNO
d) Va bene.
e) Yep.
Buongiorno marco2132k,
Per la a), quando mi calcolo l'inversa di una matrice uso la seguente formuletta:
siano $A in M_n(R)$ dove \(\displaystyle A=\begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix} \) il suo determinante $Delta=x\y-z\v$ e $(Delta)^(-1)=1/(x\y-z\v)$, allora
\(\displaystyle A^{-1}=\begin{vmatrix} v(\Delta)^{-1} & -y(\Delta)^{-1} \\ -z(\Delta)^{-1} & x(\Delta)^{-1} \end{vmatrix} \).
Quindi considerando una matrice di $H$ cioè \(\displaystyle \begin{vmatrix} y & x \\ 0 & y \end{vmatrix} \) , si ha $Delta=y\y-x\0=y^2$ e $(Delta)^(-1)=1/y^2$ allora \(\displaystyle \begin{vmatrix} y(\Delta)^{-1} & -x(\Delta)^{-1} \\ 0 & y(\Delta)^{-1} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} y/y^2 & -x/y^2 \\ 0 & y/y^2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \tfrac{1}{y} & \tfrac{-x}{y^2} \\ 0 & \tfrac{1}{y} \end{vmatrix} \).
Invece la c) mi sa che non esiste nessun controesempio per questa domanda
, in effetti ho sbagliato, dovevo riscrivere gli elementi della matrice in maniera uguale, ossia $a=c$ per la matrice $A$ e $d=f$ per la matrice $B$, quindi la relazione $ac+bf=db+ec.$Quindi il gruppo è abeliano.
Invece per e) lo prendo per un si ?
Ciao
Per la a), quando mi calcolo l'inversa di una matrice uso la seguente formuletta:
siano $A in M_n(R)$ dove \(\displaystyle A=\begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix} \) il suo determinante $Delta=x\y-z\v$ e $(Delta)^(-1)=1/(x\y-z\v)$, allora
\(\displaystyle A^{-1}=\begin{vmatrix} v(\Delta)^{-1} & -y(\Delta)^{-1} \\ -z(\Delta)^{-1} & x(\Delta)^{-1} \end{vmatrix} \).
Quindi considerando una matrice di $H$ cioè \(\displaystyle \begin{vmatrix} y & x \\ 0 & y \end{vmatrix} \) , si ha $Delta=y\y-x\0=y^2$ e $(Delta)^(-1)=1/y^2$ allora \(\displaystyle \begin{vmatrix} y(\Delta)^{-1} & -x(\Delta)^{-1} \\ 0 & y(\Delta)^{-1} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} y/y^2 & -x/y^2 \\ 0 & y/y^2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \tfrac{1}{y} & \tfrac{-x}{y^2} \\ 0 & \tfrac{1}{y} \end{vmatrix} \).
Invece la c) mi sa che non esiste nessun controesempio per questa domanda
, in effetti ho sbagliato, dovevo riscrivere gli elementi della matrice in maniera uguale, ossia $a=c$ per la matrice $A$ e $d=f$ per la matrice $B$, quindi la relazione $ac+bf=db+ec.$Quindi il gruppo è abeliano.Invece per e) lo prendo per un si ?
Ciao
Sì, hai ragione ahah
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