Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Un'altro esercizio di preparazione per l'esame, avrei un paio di domande.
Sia \( f(t)=t^9 + t^8 + t^7 +t^5 + t^4 + 1 \) un polinomio di \( \mathbb{F}_2[t] \). E sia \( A= \mathbb{F}_2[t]/(f) \) l'anello quoziente.
a) Trovare una radice doppia di \(f\) in \( \mathbb{F}_4\), campo di cardinalità 4. Utilizza un modello esplicito di \( \mathbb{F}_4\).
b) Calcola la cardinalità di \(A\)
c) Scomponi \(f\) in un prodotto di polinomi irriducibili di \( \mathbb{F}_2[t] \). Giustifica rigorosamente ...
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Studente Anonimo
21 lug 2020, 15:04
Esercizio prova d'esame: sugli ultimi due punti sono un po' indeciso. Onestamente non so bene se è lecito quello che faccio. Vi chiederei di controllare se per voi sono argomentazioni corrette.
Sia \(f(t) = t^3 + 3t^2 + 3t - 6 \) un polinomio in \( \mathbb{Q}[t] \) ed \(E \) il campo di rottura (?) (rupture field) di \(f\).
a) Utilizza il teorema di Gauss per dimostrare che \(f\) è irriducibile
b) Ponendo \(s=t+1\) calcola le radici di \(f(t) \in E[t] \)
c) Calcola il grado dell'estensione di ...
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Studente Anonimo
19 lug 2020, 21:31
Un esercizio di preparazione dell'esame e avrei un paio di domande su alcuni punti
a) Dimostra che \(f(t) = t^4 -4t^2+2 \) è irriducibile in \( \mathbb{Q}[t] \).
b) Dimostra che \( \alpha = \sqrt{2+\sqrt{2}} \) è una radice di \(f(t) \) e trova tutte le radici di \(f(t)\).
c) Identifica \( \mathbb{Q}[\alpha] \) con un quoziente di \( \mathbb{Q}[t] \) e spiega rigorosamente perché è un campo
d) Dimostra che \( \mathbb{Q}[\alpha] \) è un estensione algebrica di \( \mathbb{Q} \).
e) Calcola il ...
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Studente Anonimo
20 lug 2020, 00:17
Come scrivevo proprio ieri rispondendo al mio thread su un interessante Problema di geometria dalla prova INdAM 2017/2018, di questa mi rimane l'ultima dimostrazione da completare definitivamente. Vi riporto il testo del problema:
"Un mazzo è formato da un numero di $N$ di carte. Su ciascuna carta sono presenti $8$ diversi simboli. Si sa che, prendendo una qualsiasi coppia di carte dal mazzo, esse hanno esattamente un simbolo in comune. Tuttavia, non esiste un simbolo che sia presente in tutte le ...
Sia \( \alpha : \mathbb{Z}[t] \to \mathbb{C} \) definita da \( \alpha(f) = f(2+i) \) dimostra che il nucleo di \( \alpha \) è un ideale principale ed esibisci un suo generatore.
Io ho pensato a questo:
Abbiamo che \( p(t) = t^2 - 4t + 5 = (t-(2+i))(t-(2-i)) \in \ker(\alpha) \). Inoltre \(p(t) \) è irriducibile in \( \mathbb{Z} [t] \) poiché non possiede radici intere. Inoltre abbiamo evidentemente che \( (p(t)) \subset \ker \alpha \) siccome per ogni polinomio \(q(t) \in \mathbb{Z}[t] \) ...
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Studente Anonimo
18 lug 2020, 19:11
Il teorema di Eulero afferma che se \( (n,k)=1 \) allora \(k^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n \).
Dunque ad esempio prendendo \( \varphi(360)=96 \) abbiamo che \( (77,360)=1 \) e possiamo affermare che \( 77^{96} \equiv 1 \mod 360 \).
Ma possiamo concludere che \( 21^{96} \not\equiv 1 \mod 360 \) poiché \( (360,21)=3 \) ?
Mi si chiede se è vero o falso che
\( 21^{ \varphi(360)} \equiv 1 \mod 360 \) io direi di no per questo motivo. Ma nel teorema non c'è un se e solo se ma solamente un ...
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Studente Anonimo
17 lug 2020, 23:41
Ho un dubbio sulla 4) per gli altri penso di esserci, ma se aveste voglia di dare un occhiata alla mia argomentazione ve ne sarei grato.
Tra le seguenti affermazioni quale è vera e quale è falsa? Dare una giustificazione.
Poniamo \(A = \mathbb{Z}[i \sqrt{7}] \) e \( B= \mathbb{C} \).
1) Allora \(A\) è un ideale di \(B\).
2) Allora \(A\) è un sotto-anello di \(B\).
3) Allora \(A\) è un campo.
4) Allora \(A\) è un dominio euclideo.
5) Allora \(A\) è un dominio d'integrità.
1) ...
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Studente Anonimo
17 lug 2020, 23:02
Buonasera, non so come risolvere il seguente esercizio:
Sia $circ$ l’operazione su $ZZ$ definita da:
$ a circ b = { ( a+b , text(, se ) a text( è pari)),( a-b , text(, se ) a text( è dispari)):} $.
Mostrare che $ (ZZ, circ) $ è un gruppo e osservare che esistono elementi di periodo finito il cui prodotto ha periodo infinito.
Sono riuscita a fare la prima parte, ovvero dimostrare che $ (ZZ, circ) $ è gruppo, facendo vedere che l'operazione è associativa, che ogni elemento è simmetrizzabile e che esiste l'elemento ...
se suddivido gli interi in 10 gruppi ognuno dei quali è formato dai numeri che terminano per
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 come faccio a essere sicuro che i 10 gruppi rappresentano tutti gli interi?
ho capito che ci sono di mezzo le classi di resto e quindi i criteri di divisibilità da zero a nove
ma non sono riuscito a collegare le cose
Buongiorno,
Per famiglia di insieme si intende una applicazione che va da $I$ in un insieme di insieme.
(Correggetemi se sbaglio)
Quindi per un insieme di insieme posso considerare l'insieme delle parti di un dato insieme $S$, cioè $P(S)={X| subseteq S}$, quindi la seguente funzione $f:i in I to f_i=X_i in P(S)$ allora $f$ è una famiglia di insieme.
Mi chiedo ma $X_i$ dovrebbe essere definito?
Ciao
Buonasera volevo provare dato un insieme $S$ risulta $(P(S),subseteq)$ reticolo.
Quindi siano $A,B in P(S)$ si ha $exists "sup"{A,B}$ e $exists "inf"{A,B}$.
Pongo $L="sup"{A,B}$ risulta
1) $A subseteq L, B subseteq L$,
2)$ C in P(S), A subseteq C , B subseteq C to L subseteq C$
Per la 1) $A cup B subseteq L$, invece,
per la 2) $A cup B subseteq C$
Quindi, ho due possibilità
a)$Lsubseteq A cup B subseteq C$
oppure
b)$ A cup B subseteq L subseteq C$
Chiaramente la b) deve essere scartata, ma questo non saprei formalizzarlo.
Ciao
\( \displaystyle A = { (1,2);(2,3),(2,4),(3,1),(5,4).} \)\( \displaystyle A = { (1,2);(2,3),(2,4),(3,1),(5,4).} \)Salve a tutti,
Volevo chiedervi se un'affermazione del genere è corretta :
Preso un elemento qualsiasi di un grafo orientato \(\displaystyle G \) composto da\(\displaystyle N \) elementi, si supponga di cercare un cammino da un elemento \(\displaystyle A \) a \(\displaystyle B \).
Possiamo affermare che se, nella ricerca del cammino, la lunghezza del percorso da ...
Buongiorno,
ho la seguente proposizione dove non è riportata la dimostrazione, quindi ora vi riporta la mia dimostrazione, ditemi se può andare bene.
Enunciato:
Sia $omega$ legge esterna tra $X$ ed $S$ e sia $Sigma={Y subseteq S\:\ "Y parte stabile di S "}$.
Allora $bigcap_(Y in Sigma) Y$ è una parte stabile.
Dimostrazione:
Siano $a, b in bigcap_(Y in Sigma) Y \ to\ a,b in Y\,\ forall Y in Sigma,$ poiché $Y$ è una parte stabile per $omega$, risulta:
$alpha \ omega\ a in Y $ e $alpha \ omega\ b in Y $, di nuovo per la stabilità ...
Buongiorno,
Volevo provare:
se prendo due insiemi $A,B ne emptyset$ i quali risultano stabili per $omega$, allora
$AcupB$ stabili per $omega$ se e solo se $AsubseteqB$ o $BsubseteqA.$
$to$
$"hp." \ qquad AcupB$ stabili per $omega,$
$"th." \ qquad AsubseteqB \ qquad leftrightarrow \ qquad a in A to a in B.$
Siano $a in A\,\ b in B\:\ b notin A$, $a\omega\b in AcupB$
1) $a\omega\b in A leftrightarrow a,b in A leftrightarrow a in A , b in A$
2) $a\omega\b in B leftrightarrow a,b in B leftrightarrow a in B , b in B$
La 1) viene esclusa, in virtù del fatto che $b notinA$, quindi, rimane la 2), cioè ...
Salve vorrei avere chiarimenti su questo esercizio sulle applicazioni.
Si consideri l'applicazione \( f: N_0\longmapsto Z \) definita ponendo
$ f(x) = { ( x/3 ) ,( -x ):} $
$ x/3 $ se $ x in 3N_0 $
$ -x $ se \( x \notin 3N_0 \)
1)Motivando la risposta si stabilisca se $ f $ è iniettiva e suriettiva.
2)Si determini l'immagine $ f(N_p) $ .
3)Si determini la controimmagine $ f^(-1)(N_p) $ .
4)Assegnata l'applicazione \( g: y\in Z\longmapsto 3y \in ...
Senza scomodare la teoria di Galois, dato il polinomio $a_0+a_1x+a_2x^2 +a_3x^3 $, è siano $x_1,x_2,x_3$ le radici del polinomio, come si può dimostrare che all'estensione $Q(x_1)$ appartengono le rimanenti radici $x_1,x_2$?
Buongiorno,
Siano $|S|=n$, $|T|=t$ e $T^S={f:StoT\|\ f\ "applicazione"}.$.
Provare $|T^S|=t^n$ per ogni $n ge 1.$
Procedo per induzione su $n$, quindi sia $n=1.$
Se $n=1 \ to\ |S|=1$ quindi $S={a}.$
Sia $f : S \ to T leftrightarrow f: a in {a} \ to \ f(a) in T$, il valore $f(a) in T$ può assumere $t$ valori possibili, quindi possiamo assegnare $t$ funzioni da ${a}$ in $T$, cioè $|T^({a})|=t^1=t.$
La base d'induzione è ...
Ho un dubbio:
se considero l'operazione $x*y = x+y+5$ , $ (Z,*)$, rispetto a questa operazione, é un gruppo abeliano, questo l'ho verificato.
Come faccio a trovare il generatore.
Devo pensare a questo gruppo come un laterale del gruppo additivo $(Z,+)$, cioé $ Z - 3$
Grazie
Ciao a tutti
ho dei problemi nello stabilire quando un ideale di \(\mathbb{Z}[X]\) é primo o/e massimale. Per esempio il seguente esercizio:
Siano \(I=(X^2+X+1, X+1), J=(X^2+X+2, X+1)\) ideali di \(\mathbb{Z}[X] \) stabilire se sono primi e/o massimali.
Dalla teoria so che se il quoziente \(\mathbb{Z}[X]/I\) é integro (risp. un campo) allora \(I\) é primo (risp. massimale) ed inoltre che, essendo qui in un dominio, se \(I\) é massimale allora é anche primo. Però determinare questo ...
Ciao a tutti,
Riprendendo uno degli ultimi argomenti del corso di Algebra I, mi sono imbattuto nella richiesta di trovare la cardinalità dell'insieme $ (A[x])/I $, dove $I$ è l'ideale generato dal polinomio $x^4+2x^3+x^2+2x$ e $A$ è $ZZ/(3ZZ)$.
Ho opportunamente fattorizzato in fattori irriducibili il polinomio in questione arrivando a $ x(x+1)(x-1)(x+2)$ ma poi non sono in grado di procedere. A questo punto penso mi manchi qualche pezzo sul come è fatto ...
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