Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Provando a fare qualche esercizio sul prodotto tensoriale mi sono accorto che sto sbagliando di grosso, nella seguente dimostrazione ci deve essere un errore veramente stupido. Consideriamo $ RRox _RR RR $ che sappiamo essere non banale (es. la mappa bilineare $(x,y)\rightarrow xy$ non è banale). Cosa c'è di sbagliato nella seguente dimostrazione di $ RRox _RR RR = {0}$: Dalla definizione di prodotto tensoriale si ha che $xa \otimes b = a \otimes xb$ quindi $0 = (xa \otimes b) - (a \otimes xb) = (xa \otimes b) + (-a \otimes xb) = xa -a \otimes b +xb = (x-1)a \otimes (x+1)b$ Scegliendo ...

Io conosco la soluzione che conta il numero di sottoinsiemi dell'insieme prodotto cartesiano AxB : se la cardinalità di AxB è k , sarà $ 2^k $ . In queste dispense (pagina 11 , punto B ) usa anche un secondo metodo basato sul principio del prodotto . Non lo capisco! https://luca-giuzzi.unibs.it/corsi/disc ... teggio.pdf Grazie

Come si concilia il fatto che esiste un intervallo arbitrariamente grande tra due primi ed il teorema che dice che esistono infiniti primi distanti tra loro 70000000 di numeri? P. S. La mia domanda nasce dal fatto che può esistere un intervallo inimmaginamente grande tra due primi consecutivi, ma tra inimmaginamente grande ed infinito che relazione esiste?

Sia \(s= \frac{X^3+2}{X} \in \mathbb{Q}(X) \). Consideriamo \( \mathbb{Q}(s) \) il più piccolo sotto campo di \( \mathbb{Q}(X) \) contenenete \(s\) (da non confondere con il campo delle frazioni razionali in una indeterminata \(s\)). a) Dimostra che \( \mathbb{Q}(X) \) è algebrico su \( \mathbb{Q}(s) \) b) Calcola i gradi \( [\mathbb{Q}(X) : \mathbb{Q}(s)] \) e \( [\mathbb{Q}(s) : \mathbb{Q}]\). Per a) ho fatto così abbiamo che è algebrico se per ogni elemento \( \alpha \in \mathbb{Q}(X) \), ...

f è la relazione che associa ad ogni retta del fascio di rette del piano con centro P il punto sulla retta R del piano (la sua proiezione ): Afa , Bfb, Cfc etc... ( A,B,C sono le rette del fascio di centro P , mentre a,b,c sono le proiezioni\intersezioni di tali rette con la retta del piano R ). f non è una funzione secondo me , perchè è FUNZIONALE ma non è ovunque definita ( la retta del fascio // alla retta R non ha immagine , se non all'infinito). La relazione inversa g ( ...

\( \mathbb{C}(x) \) il campo delle frazioni del anello dei polinomi \( \mathbb{C}[x] \) è algebricamente chiuso? Vero o falso? Io direi falso. Se \( \mathbb{C}(x) \) è algebricamente chiuso allora per ogni polinomio (edit: evidentemente non costante :edit) \( p(t) \in \mathbb{C}(x)[t] \) esiste \( \alpha \in \mathbb{C}(x) \) tale che \( p(\alpha)=0\). Consideriamo \(t^2- x \in \mathbb{C}(x)[t] \), supponiamo che esiste \( \alpha = p(x)/q(x) \) con \( p(x) \in \mathbb{C}[x] \) e \( q(x) \in ...

Sia \( K \) un campo finito. Dimostra che a) La caratteristica di \(K \) è un numero primo b) \( card(K)=p^n \) per \(n \) intero. c) Tutti gli elementi non nulli di \(K\) sono radice di \( t^{p^n -1} -1 \) d) \(K\) è il campo di decomposizione di \(t^{p^n} - t \). Allora per a) Siccome \(K \) è un campo allora è un dominio d'integrità pertanto \( car(K)=p \), perché gli unici anelli che sono un dominio d'integrità hanno caratteristica 0 oppure un numero pirmo p. Per b) ho guardato la ...

C'è un modo più efficace per dimostrare che \(4x^3+120x^2+8x-12\) è irriducibile in \( \mathbb{Q}[x] \) ? Questo è come ho fatto io \( 4 \) è invertibile in \( \mathbb{Q} \) dunque quel polinomio è irriducibile se e solo se \( x^3 + 30 x^2 + 2x-3 \) è irriducibile. Pertanto usando il teorema di Gauss sappiamo che quel polinomio, essendo primitivo, è irriducibile in \( \mathbb{Q}[x] \) se e solo se è irriducibile in \( \mathbb{Z}[x] \). Usando il criterio di riduzione modulo 11 otteniamo il ...

Un'altro esercizio di preparazione per l'esame, avrei un paio di domande. Sia \( f(t)=t^9 + t^8 + t^7 +t^5 + t^4 + 1 \) un polinomio di \( \mathbb{F}_2[t] \). E sia \( A= \mathbb{F}_2[t]/(f) \) l'anello quoziente. a) Trovare una radice doppia di \(f\) in \( \mathbb{F}_4\), campo di cardinalità 4. Utilizza un modello esplicito di \( \mathbb{F}_4\). b) Calcola la cardinalità di \(A\) c) Scomponi \(f\) in un prodotto di polinomi irriducibili di \( \mathbb{F}_2[t] \). Giustifica rigorosamente ...

Esercizio prova d'esame: sugli ultimi due punti sono un po' indeciso. Onestamente non so bene se è lecito quello che faccio. Vi chiederei di controllare se per voi sono argomentazioni corrette. Sia \(f(t) = t^3 + 3t^2 + 3t - 6 \) un polinomio in \( \mathbb{Q}[t] \) ed \(E \) il campo di rottura (?) (rupture field) di \(f\). a) Utilizza il teorema di Gauss per dimostrare che \(f\) è irriducibile b) Ponendo \(s=t+1\) calcola le radici di \(f(t) \in E[t] \) c) Calcola il grado dell'estensione di ...

Un esercizio di preparazione dell'esame e avrei un paio di domande su alcuni punti a) Dimostra che \(f(t) = t^4 -4t^2+2 \) è irriducibile in \( \mathbb{Q}[t] \). b) Dimostra che \( \alpha = \sqrt{2+\sqrt{2}} \) è una radice di \(f(t) \) e trova tutte le radici di \(f(t)\). c) Identifica \( \mathbb{Q}[\alpha] \) con un quoziente di \( \mathbb{Q}[t] \) e spiega rigorosamente perché è un campo d) Dimostra che \( \mathbb{Q}[\alpha] \) è un estensione algebrica di \( \mathbb{Q} \). e) Calcola il ...

Come scrivevo proprio ieri rispondendo al mio thread su un interessante Problema di geometria dalla prova INdAM 2017/2018, di questa mi rimane l'ultima dimostrazione da completare definitivamente. Vi riporto il testo del problema: "Un mazzo è formato da un numero di $N$ di carte. Su ciascuna carta sono presenti $8$ diversi simboli. Si sa che, prendendo una qualsiasi coppia di carte dal mazzo, esse hanno esattamente un simbolo in comune. Tuttavia, non esiste un simbolo che sia presente in tutte le ...

Sia \( \alpha : \mathbb{Z}[t] \to \mathbb{C} \) definita da \( \alpha(f) = f(2+i) \) dimostra che il nucleo di \( \alpha \) è un ideale principale ed esibisci un suo generatore. Io ho pensato a questo: Abbiamo che \( p(t) = t^2 - 4t + 5 = (t-(2+i))(t-(2-i)) \in \ker(\alpha) \). Inoltre \(p(t) \) è irriducibile in \( \mathbb{Z} [t] \) poiché non possiede radici intere. Inoltre abbiamo evidentemente che \( (p(t)) \subset \ker \alpha \) siccome per ogni polinomio \(q(t) \in \mathbb{Z}[t] \) ...

Il teorema di Eulero afferma che se \( (n,k)=1 \) allora \(k^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n \). Dunque ad esempio prendendo \( \varphi(360)=96 \) abbiamo che \( (77,360)=1 \) e possiamo affermare che \( 77^{96} \equiv 1 \mod 360 \). Ma possiamo concludere che \( 21^{96} \not\equiv 1 \mod 360 \) poiché \( (360,21)=3 \) ? Mi si chiede se è vero o falso che \( 21^{ \varphi(360)} \equiv 1 \mod 360 \) io direi di no per questo motivo. Ma nel teorema non c'è un se e solo se ma solamente un ...

Ho un dubbio sulla 4) per gli altri penso di esserci, ma se aveste voglia di dare un occhiata alla mia argomentazione ve ne sarei grato. Tra le seguenti affermazioni quale è vera e quale è falsa? Dare una giustificazione. Poniamo \(A = \mathbb{Z}[i \sqrt{7}] \) e \( B= \mathbb{C} \). 1) Allora \(A\) è un ideale di \(B\). 2) Allora \(A\) è un sotto-anello di \(B\). 3) Allora \(A\) è un campo. 4) Allora \(A\) è un dominio euclideo. 5) Allora \(A\) è un dominio d'integrità. 1) ...

Buonasera, non so come risolvere il seguente esercizio: Sia $circ$ l’operazione su $ZZ$ definita da: $ a circ b = { ( a+b , text(, se ) a text( è pari)),( a-b , text(, se ) a text( è dispari)):} $. Mostrare che $ (ZZ, circ) $ è un gruppo e osservare che esistono elementi di periodo finito il cui prodotto ha periodo infinito. Sono riuscita a fare la prima parte, ovvero dimostrare che $ (ZZ, circ) $ è gruppo, facendo vedere che l'operazione è associativa, che ogni elemento è simmetrizzabile e che esiste l'elemento ...

se suddivido gli interi in 10 gruppi ognuno dei quali è formato dai numeri che terminano per 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 come faccio a essere sicuro che i 10 gruppi rappresentano tutti gli interi? ho capito che ci sono di mezzo le classi di resto e quindi i criteri di divisibilità da zero a nove ma non sono riuscito a collegare le cose

Buongiorno, Per famiglia di insieme si intende una applicazione che va da $I$ in un insieme di insieme. (Correggetemi se sbaglio) Quindi per un insieme di insieme posso considerare l'insieme delle parti di un dato insieme $S$, cioè $P(S)={X| subseteq S}$, quindi la seguente funzione $f:i in I to f_i=X_i in P(S)$ allora $f$ è una famiglia di insieme. Mi chiedo ma $X_i$ dovrebbe essere definito? Ciao

Buonasera volevo provare dato un insieme $S$ risulta $(P(S),subseteq)$ reticolo. Quindi siano $A,B in P(S)$ si ha $exists "sup"{A,B}$ e $exists "inf"{A,B}$. Pongo $L="sup"{A,B}$ risulta 1) $A subseteq L, B subseteq L$, 2)$ C in P(S), A subseteq C , B subseteq C to L subseteq C$ Per la 1) $A cup B subseteq L$, invece, per la 2) $A cup B subseteq C$ Quindi, ho due possibilità a)$Lsubseteq A cup B subseteq C$ oppure b)$ A cup B subseteq L subseteq C$ Chiaramente la b) deve essere scartata, ma questo non saprei formalizzarlo. Ciao

\( \displaystyle A = { (1,2);(2,3),(2,4),(3,1),(5,4).} \)\( \displaystyle A = { (1,2);(2,3),(2,4),(3,1),(5,4).} \)Salve a tutti, Volevo chiedervi se un'affermazione del genere è corretta : Preso un elemento qualsiasi di un grafo orientato \(\displaystyle G \) composto da\(\displaystyle N \) elementi, si supponga di cercare un cammino da un elemento \(\displaystyle A \) a \(\displaystyle B \). Possiamo affermare che se, nella ricerca del cammino, la lunghezza del percorso da ...