Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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sia $D$ un dominio e si consideri l'insieme $E={(a.b) | a in D, b in D, b !=0}$ e la relazione di equivalenza $~$ nel modo seguente $(a,b) ~ (a_1,b_1)$ se $ab_1=ba_1$.
Sia ora $Q$ l'insieme delle classi di equivalenza di questa relazione e si indichi con $a/b$ la classe di equivalenza che contiene la coppia $(a,b)$; siano poi $+$ e $*$ due operazioni cosi definite:
$a/b + a_1/b_1=(ab_1+a_1b)/(b(b_1))$ e $(a/b)*(a_1/b_1)=(aa_1)/(b(b_1))$
verificare ...
Salve a tutti
Mi sono stati posti diversi quesiti durante le prime settimane del corso, ma ne ho uno al quale proprio non riesco a rispondere. Abbiamo dimostrato che preso un grafo $G$ e la sua matrice di adiacenza $A$ (il cui elemento $a_{i,j}$ vale $1$ se esiste il lato $v_i,v_j$, $0$ altrimenti), nella matrice $A^k$ (elevamento a potenza) l'elemento $a_{i,j}$ indica il numero di walk (cammini, ossia ...
Salve, ho un problema con un esercizio sulle relazioni. Mi viene chiesto di discutere delle proprietà della relazione vuota in un insieme S non necessariamente vuoto.
Per un insieme non vuoto sono riuscito ad arrivare alla conclusione che la relazione vuota è antiriflessiva perché nessun elemento è in relazione con sé stesso; purtroppo non riesco a capire perché la relazione vuota è simmetrica e transitiva nell'insieme non vuoto.
Per quanto riguarda un insieme vuoto non riesco a capire ...
Buonasera, ho il seguente esercizio riguardanti i gruppi.
Giusto per avere una comprensione di quello che vi sto chiedere, riporto solo i passaggi più importanti che precedono la mia difficolta, cioè non vi riporto i conti, se sbaglio ditemelo che li riporto.
Sia $G=GL(2,ZZ_5)$ gruppo e si consideri la seguente sua parte \(\displaystyle H=\{\begin{vmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{vmatrix} : a,b \in Z_5, a\ne0\}\).
La prima cosa che mi si chiede di determinare se $H$ è un ...
buongiorno,
(spero sia la sezione giusta)
qualcuno mi potrebbe spiegare perché il paradosso di russell non prova semplicemente l'impossibilità dell'insieme di tutti gli insiemi che non contengono sé stessi come elementi? perché russell etc hanno dovuto tentare di "risolvere" l'antinomia anziché dedurre banalmente che un tale insieme non può esistere?
immagino, da profano in matematica, che il motivo sia che l'assioma, per quanto paradossale, sia necessario per la teoria degli insiemi di cantor ...
Ho letto che il più grande numero primo finora scoperto ha quasi 25 milioni di cifre.
Se ho ben capito si tratta di un numero trovato per tentativi basati sulla sola certezza che un numero dispari può essere primo (50% di probabilità).
Credo che la difficoltà stia tutta nella verifica.
Sinceramente faccio fatica a capire che senso abbia trovare dei numeri primi per tentativi.
Io sto mettendo a punto una applicazione in grado di verificare se in un dato intervallo numerico ci sono dei numeri ...
Sono confuso dalle note di corso:
Lemma:
Per un \( R\)-modulo \(N\), il funtore \( \operatorname{Hom}_R(-, N) \) è left exact, che vuole dire (per definizione) che per ogni short exact sequence di \(R\)-moduli
\[ 0 \to L \xrightarrow{\alpha} M \xrightarrow{\beta} K \to 0 \]
otteniamo una exact sequence applicando \( \operatorname{Hom}_R(-, N) \) alla short exact sequence qui sopra e cancellando lo \(0\)-modulo alla fine.
\[ \operatorname{Hom}_R(L, N) ...
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Studente Anonimo
22 ott 2020, 16:42
Nella definizione di gruppi isomorfi ("due gruppi sono isomorfi se esiste un isomorfismo tra di essi") mi sembra che ci sia qualcosa di tautologico, o almeno del "senno di poi". Il punto, secondo me, è proprio giustificare il nome di "isomorfismo" per le biiezioni tra gruppi con la proprietà di preservare l'operazione. Mi sono dato la seguente risposta, ma non vorrei che nel ragionamento ci fosse qualche incongruenza che non vedo. Ve la sottopongo.
La struttura di un gruppo si manifesta non ...
Dimostra che \( \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \) è nilpotente se \( \operatorname{char}(\mathbb{F}) = 2 \).
Io ho semplicemente fatto in modo diretto trovando che \[ C^3 \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) = \begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix}
0&0 \\
0& 0
\end{pmatrix}
\end{Bmatrix} \]
mi chiedevo se ci fosse un modo che non prevedesse calcoli
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Studente Anonimo
20 ott 2020, 14:22
Buonasera mi si richiede di determinare la cardinalità del seguente sottogruppo $G$ di $GL(2,RR)$ dove \(\displaystyle G={\begin{vmatrix} a & b \\ -b & a \end{vmatrix} \ a,b \in \ R \:\ (a,b)\ne(0,0) }\)
Questa parte della teoria non mmi è molto chiara, in ogni caso dovrei determinare un'applicazione la quale risulti biettiva, cioè $f:(a,b) in RR-{0}timesRR-{0} to A in G$.
La seguente dovrebbe essere biettiva, infatti:
$(a,b), (a_1,b_1) in RR-{0}timesRR-{0} \:\ f((a,b))=f((a_1,b _1))$ per definizione si ha
\(\displaystyle \begin{vmatrix} a & ...
Dimostra che esiste un unica Algebra di Lie non abeliana di dimensione 2 su un campo \( \mathbb{F} \) , a meno di un isomorfismo.
Io ho pensato di fare così:
Esistenza:
Sia \( L := \begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix}
a &b \\
0 & 0
\end{pmatrix} : a,b \in \mathbb{F}
\end{Bmatrix} \) con il Lie bracket \([X,Y] = XY-YX \). Abbiamo allora
\[ [X,Y] = \begin{pmatrix}
a &b \\
0 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x &y \\
0 & 0
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
x &y \\
0 & ...
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Studente Anonimo
19 ott 2020, 16:48
Sia \( L \) un algebra di Lie, \(I\) e \(J\) degli ideali di \(L\) e \(H,K\) delle sottoalgebre di \(L\). Quali delle seguenti affermazioni sono vere? (Giustificare rigorosamente)
a) \( [I,J] \) è un ideale di \(L\)
b) \(H+K\) è una sottoalgebra di \(L\)
c) \( H \cap K \) è una sottoalgebra di \(L\)
d) \(I+K \) è una sottoalgebra di \(L\)
e) Se \(H+K\) è una sottoalgebra di \(L\), allora \(H\) oppure \(K\) è un ideale di \(L\)
f) \( I \cap H \) è un ideale di \(H\).
Avreste voglia di ...
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Studente Anonimo
18 ott 2020, 22:27
Sia \( \mathbb{F} \) un campo e \( \theta : \mathfrak{gl}_n (\mathbb{F}) \to \mathfrak{gl}_n(\mathbb{F}) \) definita da \( \theta(A)= - A^t \). Dimostra che \( \theta \) è un homomorfismo tra algebre di Lie.
Ho un problemino a dimostrare la \( \mathbb{F} \) linearità di \( \theta \) e pure la condizione che \( \theta([A,B]) = [\theta(A),\theta(B)] \).
Date \(A,B \in \mathfrak{gl}_n (\mathbb{F}) \) e \( \alpha \in \mathbb{F} \) dovrei avere
\[ \theta(\alpha A + B) = -(\alpha A + B)^t = \ldots = ...
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Studente Anonimo
18 ott 2020, 23:29
Buongiorno a tutti!
Volevo sottoporvi qualche mio dubbio. Sto studiando matematica discreta e il mio testo (il Graham-Knuth-Patashnik), riporto testualmente, recita:
Conversely, many recurrences can be reduced to sums [...]- The Tower of Hanoi recurrence is a case in point:
\( \begin{cases}
T_0=0 \\
T_n=2T_{n-1}+1,\;\;\;\text{for}\;n>0;
\end{cases} \)
It can be put into the special form (2.6)* if we divide both sides by \(2^n\):
\( \begin{cases}
\dfrac{T_0}{2^0}=0 \\
...
Sia \( R= \mathbb{Q}[x] \). Determina gli "invariant facotr decomposition" dell \(R\)-modulo con generatori \(e_1,e_2\) e le relazioni
\[ x^2e_1+(x+1)e_2 \]
\[ (x^3+2x+1)e_1 + (x^2-1) e_2 \]
Allora cercando su internet mi dicono che sono questi
https://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_factor
Pertanto per cercarli io fare la forma normale di Smith della seguente matrice
\[ \begin{pmatrix}
x^2& (x^3+2x+1) \\
(x+1)& (x^2-1)
\end{pmatrix} \]
che a meno di non aver fatto errori di calcolo diventa
\[ \begin{pmatrix}
1& 0 ...
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Studente Anonimo
16 ott 2020, 13:58
Buonasera, sto provando a svolgere il seguente esercizio inerente ad una prova di algebra 1 v.o. ;
l'esercizio riguardante i gruppi si svolge su quattro punti dove $G=GL(2,Z_6)$ gruppo e si considera la parte $H$ definita nella seguente maniera \(\displaystyle H={\begin{vmatrix} a & 0 \\ c & a \end{vmatrix} : a \in Z_6^**, c \in Z_6 }. \)
i) provare che $H le G$ abeliano, se ne determini l'ordine, e si studi se $H$ è normale in $G$. ...
Ci sono diverse cose che non capisco in questa dimostrazione
Sia \(R\) un \(PID\) e \(M\) un modulo finitamente generato su \(R\). Allora
\[ M \cong R^{\oplus m_0} \oplus \left( \bigoplus_{i=1,\ell = 1}^{s,r} \left( R/ (p_i^{\ell}) \right)^{\oplus m_{i,\ell}} \right) \]
per qualche intero \(m_0,s,r \geq 0 \), \(m_{i,j} \geq 0 \) e differenti primi \(p_i \in R \), che sono unici a meno di un riordinamento degli indici \(i\), se assumiamo che \(p_i \not\mid p_j \) per ogni \( i \neq j \) e che ...
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Studente Anonimo
16 ott 2020, 04:47
Buon giorno,
sto avendo problemi con il seguente esercizio:
Dimostrare che, per ogni intero n, il numero 2n^17 + 2n^15 + 3n^3 + 3n `e divisibile per 5.
Le prime oservazioni che ho fatto sono state che 5 è un numero primo e che quindi ha come proprietà che se divide a*b, allora 5|a oppure 5|b., quindi mi basta che 5 divida un prodotto di tale numero.
Altrimenti devo dimostrare che in 2n^17 + 2n^15 + 3n^3 + 3n = 5q + r, la r = 0
Il prodotto che mi esce dopo un paio di semplificazioni semplici ...
Ciao a tutti, il problema è il seguente:
Si determinino tutti gli omomorfismi del gruppo additivo $(QQ,+)$ in $(ZZ,+)$.
Q non è ciclico dunque non posso determinarli con le immagini dei generatori.
Come procedere?
Sia \( X = C([0,1],\mathbb{R} ) \) lo spazio vettoriale su \( \mathbb{R} \), considera \( \varphi_n (x) = \sin(n \pi x) \) per \(n \in \mathbb{N} \). Dimostra che per ogni \( k \geq 1 \) l'insieme \( \{ \varphi_n : n = 1,\ldots,k\} \) è linearmente indipendente.
Le soluzioni fanno una cosa che non capisco.
Per \( \lambda_1, \ldots, \lambda_k \), scalari, supponiamo che
\[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \varphi_n(x) = 0 \]
per ogni \( x \in [0,1] \).
Dimostriamo che \( \lambda_n = 0 \) per ogni \( 1 ...
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Studente Anonimo
13 ott 2020, 19:32
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