Ideale massimale ma non principale di \( R[X_1,X_2] \)

[marco2132k]

Ciao. Come si può dimostrare "con le mani" che l'insieme \( I \) dei polinomi di \( \mathbb R[X_1,X_2] \) a coefficiente costante nullo è un ideale massimale ma non principale? (Con "con le mani" intendo dire "ignorando che \( I \) è massimale se e solo se \( R/I \) campo", ecc.).

[solaàl]

Ma.. intendi l'ideale \(I=(X_1,X_2)\)? In tal caso, la massimalità "con le mani" si farà mettendo le mani alla definizione: supponi per assurdo ci sia un ideale intermedio, etc etc.

E la non-principalità... se esiste un polinomio \(p\) che genera \(I\), allora \(X_1 = pq\) per qualche \(q\); ora confronta i gradi in \(X_2\): \(p\) deve avere grado 0 in \(X_2\); ma allora...

[marco2132k]

"solaàl":Ma.. intendi l'ideale \( I=(X_1,X_2) \)?

:o

Ma non basta un dominio allora? Perché \( \mathbb R \)?

[solaàl]

Perché $RR$... Boh?!

Chiaramente non è necessario. Tuttavia il quoziente \(R[X,Y]/(X,Y)\) è isomorfo a \(R\), che non è un campo se i coefficienti non erano in un campo, no? Quindi, ad esempio, \((X,Y)\lhd \mathbb Z[X,Y]\) non è massimale (in effetti si mettono in mezzo gli ideali di \(\mathbb Z\)...)