Fattorizzazione in irriducibili su R
Come fattorizzo \(\displaystyle x^6 + x^3 +1\) su \(\displaystyle \mathbb{R} \)?
Risposte
Scomporre in fattori quella roba lì è un esercizio da seconda superiore.
Dove ti blocchi?
Dove ti blocchi?
"gugo82":
Scomporre in fattori quella roba lì è un esercizio da seconda superiore.
Ne sei proprio sicuro?
Posto $y=x^3$ hai $y^2 + y + 1$, che non ha radici reali.
Quindi il polinomio assegnato si scrive come prodotto di tre polinomi monici di secondo grado con $Delta < 0$.
Determinare esplicitamente i polinomi è più difficile, ma "ad occhio" direi che sono tutti distinti.
Quindi il polinomio assegnato si scrive come prodotto di tre polinomi monici di secondo grado con $Delta < 0$.
Determinare esplicitamente i polinomi è più difficile, ma "ad occhio" direi che sono tutti distinti.
@gugo82 non è comunque roba da seconda superiore
$x^{6}+x^3+1=[x^{2}-2cos(\frac{2\pi}{9})x+1][x^{2}-2cos(\frac{4\pi}{9})x+1][x^{2}-2cos(\frac{8\pi}{9})x+1]$
$x^{6}+x^3+1=[x^{2}-2cos(\frac{2\pi}{9})x+1][x^{2}-2cos(\frac{4\pi}{9})x+1][x^{2}-2cos(\frac{8\pi}{9})x+1]$
Vabbè, ce ne faremo una ragione.
Un errore di valutazione ogni tanto capita.
***
Aggiunta della sera, per spiegare come qualcuno ha trovato la fattorizzazione.[nota]E rispondere a chi dice che la "qualità didattica" del forum si è abbassata a causa mia...
[/nota]
Sia $alpha$ una radice (ovviamente complessa) del polinomio $p=x^6 + x^3 + 1$; ciò significa che $alpha^6 + alpha^3 + 1 = 0$, dunque risulta:
$alpha^6 = -alpha^3 - 1 => alpha^9 = - alpha^6 - alpha^3 = 1$,
perciò $alpha$ è una radice nona complessa di $1$ (distinta da $1$ per ovvi motivi); le radici none di $1$ che ci interessano sono:
$zeta_k = cos ((2kpi)/9) + i sin ((2kpi)/9)$ con $k=1,2,3,4,5,6,7,8$
e sono coniugate a coppie, nel senso che $bar(zeta_1) = zeta_8$, $bar(zeta_2) = zeta_7$, $bar(zeta_3)=zeta_6$, $bar(zeta_4) = zeta_5$, sicché esse sono gli zeri dei quattro polinomi monici:
$p_1=x^2 - 2 cos((2pi)/9) x + 1$,
$p_2=x^2 - 2 cos((4pi)/9) + 1$,
$p_3=x^2 - 2 cos ((6pi)/9) x + 1 = x^2 + x + 1$,
$p_4=x^2 - 2 cos((8pi)/9) x + 1$,
tutti di secondo grado con $Delta < 0$.
Conseguentemente, $x^6 + x^3 + 1$ è divisibile per tre dei quattro polinomi riportati su e basta svolgere qualche divisione per determinarne la fattorizzazione.
P.S.: Questa tecnica, che è standard ma non conoscevo (perché certe questioni di Algebra mi hanno sempre fatto venire l'orticaria), venne usata da Martino a proposito di tutt'altro problema molti molti anni fa. Stasera il vederlo connesso dopo tanto tempo ha avuto un effetto proustiano.
Grazie a lui ho imparato qualcosa.
Un errore di valutazione ogni tanto capita.
***
Aggiunta della sera, per spiegare come qualcuno ha trovato la fattorizzazione.[nota]E rispondere a chi dice che la "qualità didattica" del forum si è abbassata a causa mia...
[/nota]Sia $alpha$ una radice (ovviamente complessa) del polinomio $p=x^6 + x^3 + 1$; ciò significa che $alpha^6 + alpha^3 + 1 = 0$, dunque risulta:
$alpha^6 = -alpha^3 - 1 => alpha^9 = - alpha^6 - alpha^3 = 1$,
perciò $alpha$ è una radice nona complessa di $1$ (distinta da $1$ per ovvi motivi); le radici none di $1$ che ci interessano sono:
$zeta_k = cos ((2kpi)/9) + i sin ((2kpi)/9)$ con $k=1,2,3,4,5,6,7,8$
e sono coniugate a coppie, nel senso che $bar(zeta_1) = zeta_8$, $bar(zeta_2) = zeta_7$, $bar(zeta_3)=zeta_6$, $bar(zeta_4) = zeta_5$, sicché esse sono gli zeri dei quattro polinomi monici:
$p_1=x^2 - 2 cos((2pi)/9) x + 1$,
$p_2=x^2 - 2 cos((4pi)/9) + 1$,
$p_3=x^2 - 2 cos ((6pi)/9) x + 1 = x^2 + x + 1$,
$p_4=x^2 - 2 cos((8pi)/9) x + 1$,
tutti di secondo grado con $Delta < 0$.
Conseguentemente, $x^6 + x^3 + 1$ è divisibile per tre dei quattro polinomi riportati su e basta svolgere qualche divisione per determinarne la fattorizzazione.
P.S.: Questa tecnica, che è standard ma non conoscevo (perché certe questioni di Algebra mi hanno sempre fatto venire l'orticaria), venne usata da Martino a proposito di tutt'altro problema molti molti anni fa. Stasera il vederlo connesso dopo tanto tempo ha avuto un effetto proustiano.
Grazie a lui ho imparato qualcosa.
@gugo82 Bravissimo
"gugo82":Mi fa piacere
P.S.: Questa tecnica, che è standard ma non conoscevo (perché certe questioni di Algebra mi hanno sempre fatto venire l'orticaria), venne usata da Martino a proposito di tutt'altro problema molti molti anni fa. Stasera il vederlo connesso dopo tanto tempo ha avuto un effetto proustiano.
Grazie a lui ho imparato qualcosa.
@gugo82 vedo che hai studiato
@ Martino:
[/quote]
Ciao Martino!
Sei sempre in Brasile? Com'è la situazione lì? Un macello come dicono?
@ kilogrammo:
Giusto un pochino... Tanto tempo fa.
"Martino":Mi fa piacere
[quote="gugo82"]P.S.: Questa tecnica, che è standard ma non conoscevo (perché certe questioni di Algebra mi hanno sempre fatto venire l'orticaria), venne usata da Martino a proposito di tutt'altro problema molti molti anni fa. Stasera il vederlo connesso dopo tanto tempo ha avuto un effetto proustiano.
Grazie a lui ho imparato qualcosa.
[/quote]Ciao Martino!
Sei sempre in Brasile? Com'è la situazione lì? Un macello come dicono?
@ kilogrammo:
"kilogrammo":
@gugo82 vedo che hai studiato
Giusto un pochino... Tanto tempo fa.
[ot]
A parte che non ho detto questo, e ho criticato i tuoi modi nel rispondere a chi non ti sembra degno di ricevere spiegazioni, non l'effetto che hai sulla didattica... questa è algebretta; la matematica seria è altra, di quella cosa sai?[/ot]
E rispondere a chi dice che la "qualità didattica" del forum si è abbassata a causa mia...
A parte che non ho detto questo, e ho criticato i tuoi modi nel rispondere a chi non ti sembra degno di ricevere spiegazioni, non l'effetto che hai sulla didattica... questa è algebretta; la matematica seria è altra, di quella cosa sai?[/ot]
[ot]
Sì è un bel casino purtroppo. Speriamo bene...[/ot]
"gugo82":
Ciao Martino!
Sei sempre in Brasile? Com'è la situazione lì? Un macello come dicono?
Sì è un bel casino purtroppo. Speriamo bene...[/ot]
@ sòla: [ot]Grazie per il riferimento bibliografico.
Però sfogliando il testo non ci ho trovato quella tecnica lì... Mi sai indicare la pagina?[/ot]
@ Martino: [ot]Mi spiace.
Stai attento e cerca di avere meno contatti ravvicinati che puoi... Anche se mi rendo conto che con le ragazze brasiliane lì intorno sia difficile.[/ot]
Però sfogliando il testo non ci ho trovato quella tecnica lì... Mi sai indicare la pagina?[/ot]
@ Martino: [ot]Mi spiace.
Stai attento e cerca di avere meno contatti ravvicinati che puoi... Anche se mi rendo conto che con le ragazze brasiliane lì intorno sia difficile.
[/ot]
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