Parte chiusa

[faby99s]

buon pomeriggio ho dubbi nel calcolare la parte chiusa in questo esercizio:
$\AA a, b \in ZZ_23$

$ a ⊕ b = a + b + 1$
$ a ◦ b = ab + a + b$

(iv) Sia $ V = {−2, 0} ⊆ ZZ_23$. V è una parte chiusa in $(ZZ_23, ◦)$? V è un sotto-anello di $ (ZZ_23, ⊕, ◦)$?

Io mi sono calcolato:

1) $0◦0 \in {0,-2}\subseteq ZZ_23$
2) $0◦-2\in {0,-2}\subseteq ZZ_23$
3) $-2◦-2\in {0,-2}\subseteq ZZ_23$
Quindi V è una parte chiusa giusto??

[gugo82]

Qual è la definizione di "parte chiusa"?

[faby99s]

"gugo82":Qual è la definizione di "parte chiusa"?

È:
$\AA h,k\in V| h*k\in V$

[Settevoltesette]

Si dice che un insieme è chiuso rispetto ad un'operazione.

Si V è chiuso rispetto a quella operazione

[faby99s]

Si io questo volevo dire....in realtà ho modificato il post iniziale, V è chiuso

[gugo82]

Appunto.

[faby99s]

si hai ragione mentre ho un dubbio anche sulla parte in cui devo trovare, se possibile, l’inverso di 6 in $(Z23, ⊕, ◦)$. Io ho risolto in tal modo:

$a ⊕6= a+[6]_23+[1]_23$

da cio:

$ a+[6]_23+[1]_23=0$

mi sono calcolata il M.C.D tra 1 e 23 che è 1ed ho applicato il criterio di euclide dove:

$23=1(22)+1$

poi ho applicato il teorema di Bezault in cui ho che:

$ 1=23+1(-22)$

Quindi $[1]_23$ non è l'inverso di $[6]_23$ in $(Z23, ⊕)$. Infatti:

$[1]_23 ⊕ [6]_23 = [1]_23 +[6]_23+[1]_23$

ovvero:

$22+(-17)=22-17+22 = 27 \in Z_23$

Mentre in $(Z23,◦)$ per calcolare l'inverso di 6 ho fatto:

$a ◦ 6= a+[6]_23+[6]_23$

Cioè:

$a+[6]_23+[6]_23=0$

Ho che il
$7a=-6(mod 23)$

quindi il M.C.D tra 7 e 23 è 1 ed siccome 7 è 23 sono coprimi allora esiste inverso e lo trovo:

$23=7(3)+2$
$7=2(3)+1$

Quindi:

$1=7-(23-7(3))(3)$
$=7-23(3)+7(9)$
$=7(1+9)-23(3)$
$=7(10)-23(3)$

Quindi ho che $[10]_23$ non è inverso $[6]_23$ infatti :

$[10]_23 = {10+23k|k\in Z_23}= 13$

Ma:

$13 ◦6=78+13+6=97$

ma:

$97\notin Z_23$

É giusto