Cancellabii e invertibili e sottoanelli.

[faby99s]

Buonasera volevo chiedervi un aiuto su questo esercizio:

$S=QxQ$

$∀ (a,b), (c,d) in S,\quad \{ ((a,b) ⊕ (c,d) = (a+c,b+d)), ((a,b) ** (c,d) = (ac, \frac {\bd}{\2})):}$

Ho già verificato che è un anello commutativo unitario ma ho problemi nel determinare :

(i) Gli elementi invertibili di $(S, ⊕,*)$;

(ii) In $(Q × Q, ⊕, ∗)$, $(0,1/3)$ è cancellabile? $(3, −1/2)$ è un divisore dello zero?

(iii) Z×Z è un sottoanello di $(Q×Q,⊕,∗)$?

Io ho fatto:

(i) $AA (a, b)\ in S$
$ (a, b) è simmetrico in (S,*)\iff\(\EE (c,d)\in\S: (a ,b)*(c,d)=(1,2))\iff\(\EE(c,d)\in S (ac, \frac {\bd}{\2})(1,2))\iff\ c=\frac {\1}{\a} \wedge\d= \frac {\4}{\b}$

P.S l'elemento neutro rispetto $(S,*)$ l'ho già calcolato ed è la coppia (1,2).

giusto??

(ii) $\(a, b) è invertibile \iff\AA (c,d), (e,f)\in S:(c,d)*(a, b)=(e,f)*(a, b)\iff\(c,d) = (e,f)$

da ciò:

$(ca, \frac {\db}{\2})=(ea, \frac {\fb}{\2})\iff\ ca=ea \ wedge\frac {\db}{\2} = \frac {\fb}{\2} \iff\ c=e \wedge\ d=f$

quindi la coppia $(0,1/3)$ non è cancellabile. Inoltre per i divisori ho fatto:

$AA B\in\Z$
$ (a, b) è divisore \iff\(\EE(c,d)\in\S- {0_s}: (a, b)*(c,d)=0_s) \iff\ ac=0 \ wedge\frac {\db}{\2}$

Quindi la coppia $(3, -1/2)$ non è un divisore dello zero.

P.S. non penso vada bene ma ci ho provato

[l'abatefarina]

(i) ok , riprendendo quello che hai detto tu , tutti gli elementi $(a,b) in S$ con $a,b !=0$ sono invertibili in $(S,\cdot) $ perchè in questo caso ha senso ricavare $c=1/a$ e $d=4/b$
(ii)sempre in $(S \cdot) $
$(0,1/3)$ non è cancellabile perchè $ (0,1/3)\cdot (1,1)=(0,1/3)(2,1) $
$(3,-1/2)$ non è un divisore dello zero perchè non esiste nessun elemento diverso da $(0,0)$ che moltiplicato per $(3,-1/2)$ dia come risultato $(0,0)$
(iii) $ Zxx Z $ non è un sottoanello perchè ad esempio questo sottoinsieme non è stabile rispetto alla moltiplicazione
es: $ (1,1)\cdot (1,1)=(1,1/2) $ che non appartiene a $ Zxx Z $

[faby99s]

"l'abatefarina":(i) ok , riprendendo quello che hai detto tu , tutti gli elementi $(a,b) in S$ con $a,b !=0$ sono invertibili in $(S,\cdot) $ perchè in questo caso ha senso ricavare $c=1/a$ e $d=4/b$
(ii)sempre in $(S \cdot) $
$(0,1/3)$ non è cancellabile perchè $ (0,1/3)\cdot (1,1)=(0,1/3)(2,1) $
$(3,-1/2)$ non è un divisore dello zero perchè non esiste nessun elemento diverso da $(0,0)$ che moltiplicato per $(3,-1/2)$ dia come risultato $(0,0)$
(iii) $ Zxx Z $ non è un sottoanello perchè ad esempio questo sottoinsieme non è stabile rispetto alla moltiplicazione
es: $ (1,1)\cdot (1,1)=(1,1/2) $ che non appartiene a $ Zxx Z $

Ah va bene grazie una cosa sola ma perché usi (1,1)?C’è non ho capito la cancellabilità potresti spiegarmela?

[l'abatefarina]

semplicemente, è un controesempio
in generale , $a$ cancellabile vuol dire che per ogni coppia $x,y, ax=ay rArr x=y$
quindi $a$ non cancellabile vuol dire che $existsx,y: x !=y$ e $ax=ay$

[faby99s]

"l'abatefarina":semplicemente, è un controesempio
in generale , $a$ cancellabile vuol dire che per ogni coppia $x,y, ax=ay rArr x=y$
quindi $a$ non cancellabile vuol dire che $existsx,y: x !=y$ e $ax=ay$

Ah quindi con controesempi si può risolvere

[l'abatefarina]

certo , se vuoi dimostrare che una cosa non è sempre vera basta un controesempio: è il famoso "esiste" al posto del "per ogni"
ad esempio, se vuoi dimostrare che non è vero che "continuità implica derivabilità" di solito il classico controesempio è la funzione $y=|x|$ nel punto $x=0$

[faby99s]

"l'abatefarina":certo , se vuoi dimostrare che una cosa non è sempre vera basta un controesempio: è il famoso "esiste" al posto del "per ogni"
ad esempio, se vuoi dimostrare che non è vero che "continuità implica derivabilità" di solito il classico controesempio è la funzione $y=|x|$ nel punto $x=0$

Quindi per la cancellabili siccome ho che:
$(0,\frac{\1}{\3})(1,1)=(0,\frac{\1}{\3})(2,1)$

da ciò:

$(0,\frac{\1}{\3})=(0,\frac{\1}{\3})$

quindi la coppia $(0,\frac{\1}{\3})$ non è cancellabile...giusto?

[axpgn]

Tasto "RISPONDI" non tasto "CITA", non è difficile ...

[faby99s]

si va bene

[l'abatefarina]

no attenzione, siccome il prodotto di $(0,1/3)$ per due elementi diversi di $S$ dà lo stesso risultato si ha che $(0,1/3)$ non è cancellabile
per fugare ogni dubbio,
siccome $ (0,1/3)\cdot (1,1)=(0,1/3)\cdot (2,1) $ e $(1,1)!=(2,1)$, $(0,1/3)$ non è cancellabile

[faby99s]

"l'abatefarina":no attenzione, siccome il prodotto di $(0,1/3)$ per due elementi diversi di $S$ dà lo stesso risultato si ha che $(0,1/3)$ non è cancellabile
per fugare ogni dubbio,
siccome $ (0,1/3)\cdot (1,1)=(0,1/3)\cdot (2,1) $ e $(1,1)!=(2,1)$, $(0,1/3)$ non è cancellabile

Ah sisi scusa non avevo capito in pratica siccome noi sappiamo che una coppia è cancellabile se è solo se è iniettiva allora in questo caso x è diverso da y e quindi non è iniettiva e di conseguenza la coppia $(0,1/3) non è cancellabile

[axpgn]

@Sara
[ot]Allora ci prendi in giro ... RISPONDi non CITA ... [/ot]