Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Senza scomodare la teoria di Galois, dato il polinomio $a_0+a_1x+a_2x^2 +a_3x^3 $, è siano $x_1,x_2,x_3$ le radici del polinomio, come si può dimostrare che all'estensione $Q(x_1)$ appartengono le rimanenti radici $x_1,x_2$?

Buongiorno, Siano $|S|=n$, $|T|=t$ e $T^S={f:StoT\|\ f\ "applicazione"}.$. Provare $|T^S|=t^n$ per ogni $n ge 1.$ Procedo per induzione su $n$, quindi sia $n=1.$ Se $n=1 \ to\ |S|=1$ quindi $S={a}.$ Sia $f : S \ to T leftrightarrow f: a in {a} \ to \ f(a) in T$, il valore $f(a) in T$ può assumere $t$ valori possibili, quindi possiamo assegnare $t$ funzioni da ${a}$ in $T$, cioè $|T^({a})|=t^1=t.$ La base d'induzione è ...

Ho un dubbio: se considero l'operazione $x*y = x+y+5$ , $ (Z,*)$, rispetto a questa operazione, é un gruppo abeliano, questo l'ho verificato. Come faccio a trovare il generatore. Devo pensare a questo gruppo come un laterale del gruppo additivo $(Z,+)$, cioé $ Z - 3$ Grazie

Ciao a tutti ho dei problemi nello stabilire quando un ideale di \(\mathbb{Z}[X]\) é primo o/e massimale. Per esempio il seguente esercizio: Siano \(I=(X^2+X+1, X+1), J=(X^2+X+2, X+1)\) ideali di \(\mathbb{Z}[X] \) stabilire se sono primi e/o massimali. Dalla teoria so che se il quoziente \(\mathbb{Z}[X]/I\) é integro (risp. un campo) allora \(I\) é primo (risp. massimale) ed inoltre che, essendo qui in un dominio, se \(I\) é massimale allora é anche primo. Però determinare questo ...

Ciao a tutti, Riprendendo uno degli ultimi argomenti del corso di Algebra I, mi sono imbattuto nella richiesta di trovare la cardinalità dell'insieme $ (A[x])/I $, dove $I$ è l'ideale generato dal polinomio $x^4+2x^3+x^2+2x$ e $A$ è $ZZ/(3ZZ)$. Ho opportunamente fattorizzato in fattori irriducibili il polinomio in questione arrivando a $ x(x+1)(x-1)(x+2)$ ma poi non sono in grado di procedere. A questo punto penso mi manchi qualche pezzo sul come è fatto ...

Salve a tutti, mi sto esercitando in vista di un esame e chiedo aiuto a voi per una traccia che richiede di studiare una relazione d'ordine. Prima di postarvi l'esercizio, vorrei chiedere dei chiarimenti sulle definizioni di minimo, minimale e minorante e provare a rifarlo da solo. Facciamo così: Sia $ (S,rho ) $ un insieme ordinato, ordine largo. Un elemento 'a' $ in $ S è minimo se e solo se $ AA x in S (a rho x) $ Un elemento 'c' $ in $ S, è minorante per un insieme ...

Buonasera, Def. Sia $(S,le)$ insieme ordinato, si dice induttivo se ogni sua parte totalmente ordinata è superiormente limitata. Ai tempi del corso scrissi: $(P(S), subseteq)$ induttivo. Quindi dovrei provare che $forall X subseteq P(S)$ con $X$ totalmente ordinata risulti ammettere maggioranti. La cosa che mi incuriosisce è la parte $X$ totalmente ordinata, cioè cosa vuol dire una parte totalmente ordinata rispetto a $subseteq$ in ...

Condividerò immagini visto che un paio di queste formule e simboli non sono supportati dal sistema di commento: Siccome non l'ho scritto nel titolo, qui si stiamo parlando di permutazioni, quindi S4 è l'insieme di tutte le permutazioni possibili di un qualsiasi insieme di 4 elementi; Per chi non riesce a leggere bene c'é scritto "nel suo cubo x^3 = . . . " La mia idea era trovare un semplice controesempio usando due permutazioni da 4 elementi: T1 = (1234) e T2 ...

Buonasera, Alcuni autori la danno per definizione altri come una proposizione, quindi nel dubbio la dimostra Sia $S ne emptyset$ e $Xne emptyset\,\ X subseteq S.$ Se $"inf"X in X leftrightarrow minX="inf"X$ Posto $y="inf"X in X$ Quindi, $y in X$ per definizione di estremo superiore si ha: a) $y le x\,\ forall x in X,$ b)$forall b in S : b>y\,\ exists x in X \:\ xnotgeb,$ in particolare dalla a) risulta $y le x\,\ forall x in X, y in X leftrightarrow minX=y leftrightarrow minX="inf"X$ Invece, $minX="inf"X$, per definizione minimo si ha $"inf"X in X$ Ciao.

Salve a tutti, Se devo determinare l'insieme degli elementi invertibili in un certo \(\displaystyle n \) di \(\displaystyle Zn \) praticamente devo trovare tutte quelle classi \(\displaystyle A \) tali che \(\displaystyle A * M = 1 \) con \(\displaystyle A \) , \(\displaystyle M \) compresi tra \(\displaystyle [ 0, n-1 ] \) . Per fare ciò devo prendere tutte le classi \(\displaystyle A \) all'interno di \(\displaystyle Zn \) e verificare che \(\displaystyle MCD(A, n)=1 \). Se la condizione ...

Buonasera, Volevo chiarire alcuni passi della seguente dimostrazione. Siano $S,T,V$ non vuoti, $f:S to T$ e $g:T to V$, allora: Se $\ g circ f $ è iniettiva e $f$ suriettiva, allora $g$ è iniettiva. La tesi consiste nel far vedere che presi $y , y' in T \:\ g(y)=g(y') \to\ y=y'$ Siano infatti $y, y' in T$ per cui $g(y)=g(y')$, inoltre dalla suriettività della funzione $f$, abbiamo $exists x, x' in S \:\ y=f(x) \"e"\ y=f(x')$, quindi per la definizione della ...

Un polinomio di terzo grado irriducibile in $Q$ ha sempre $S_3$ come gruppo di Galois?

Innanzitutto un saluto a tutti! Vi chiedo un aiuto. Ho trovato un esercizio secondo il quale l'anello $\mathbb{Z}_2^X$ delle funzioni $f:X\to \mathbb{Z}_2$ è un anello artiniano (che soddisfa la condizione della catena discendente per gli ideali). Qualcuno potrebbe darmi un suggerimento per la dimostrazione? Grazie.

Non capisco questo esempio in relazione alla proposizione seguente Sia \(f \in K[t] \) irriducibile allora \(E= K[t]/(f) \) è un estensione di \(K\) che contiene una radice \( \alpha \) di \(f \). Esempio. Sia \(K= \mathbb{F}_3\). Abbiamo che in \( \mathbb{F}_3[t] \) vi sono - 3 polinomi irriducibili unitari di grado 1 della forma \( t-a \) con \(a=0,1,2\). - 9 polinomi unitari di grado 2 della forma \(t^2+at+ b \), sei sono della forma \((t-a)(t-b) \) che sono riducibili, restano dunque ...

Ho provato a risolvere con le note formule di Cardano l'equazione $x^3-3x+1=0$, dallo studio di funzione si vede che ha esattamente tre radici reali, attraverso i calcoli sono arrivato alla soluzione $x_1=root(3)(-1/2+isqrt(3)/2)+root(3)(-1/2-isqrt(3)/2)$, che dovrebbe rappresentare un numero reale, quali ulteriori trasformazioni sono da apportare per mostrare che si tratta di un numero reale?

Mi potreste per favore spiegare per bene questa immagine? https://en.wikipedia.org/wiki/Integer#/ ... tation.svg La costruzione dei numero interi (o relativi) come 'classi di equivalenza di una coppia ordinata di numeri naturali (a,b)' penso di averla capita, ma non mi entra la rappresentazione grafica di quello che scrivono "A figure representing the equivalence classes of the relative numbers constructed as a pair of natural numbers. Any relative number (eg. -5) has an infinity of equivalent possible ...

Allora ho trovato due diverse definizioni di dominio a fattorizzazione unica, quella su cui si basa il mio prof che è la seguente Un dominio d'integrità \(A\) è detto dominio a fattorizzazione unica se per ogni elemento non nullo \(a \in A \) esso si può e scrivere come \( a = u \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \) dove \( u \in A^{\times} \), \(n \in \mathbb{N}\) e \( p_i \) è irriducibile per ogni \(1 \leq i \leq n \). Inoltre questa fattorizzazione è essenzialmente unica nel senso che se \( ...

Buonasera dovrei provare la seguente caratterizzazione dell'iniettività. Sia $f:S to T$ e $A,B subseteq S$ con $f$ iniettiva, si ha $f(A cap B)=f(A)capf(B)$ Procedo cosi, ditemi dove sbaglio, "$subseteq$" Proprietà $g:Y to O$ siano $Q,E subseteq Y$ risulta: $Q subseteq E \ to \ g(Q) subseteq g(E)$ Allora: $A cap B subseteq A \ to f(AcapB)subseteq f(A)$ $AcapBsubseteqB\to\f(AcapB)subseteqf(B)$ quindi infine: $f(AcapB)subseteq f(AcapB)capf(AcapB)subseteq f(A)capf(B) tof(AcapB)subseteq f(A)capf(B)$ "$supseteq$" $y in f(A) capf(B) \ to\ y in f(A), y in f(B) \to\ exists a in A:y=f(a) \qquad exists b in B:y=f(b)$ Poichè $f$ è iniettiva,quindi consideriamo ...

Ciao, ho cominciato a trattare le relazioni di equivalenza e sto svolgendo questo esercizio: Dato l'insieme di caratteri \(V = { a,e,i,o,u } \) quante relazioni diverse possono essere definite? quante di essere sono sia simmetriche che riflessive? fare un esempio di relazione di equivalenza r su V che soddisfi le condizioni: \(aRe , a(NOT R)u \). Allora per quanto riguarda il primo punto, dovrebbero essere 25 considerando tutte le \(Riflessive, Simmetriche, Transitive \) . Per il secondo ...

Buonasera, Sia una legge associativa $cdot$ in $S$. Se ogni $x in S\ :\ x cdot x cdot x=x$ e $x cdotx in Z(S)$, dove $Z(S)$ centro di $S.$ L'esercizio chiede $cdot$ è commutativa ? Procedo cosi: $qquad cdot$ è commutativa se e solo $Z(S)=S$ $Z(S)$ è una parte non vuota di $S$, poiché $x cdotx in Z(S) ne emptyset$, quindi $Z(S) subseteq S$ è provata. Sia $x in S$, chiedersi se $x$ è ...