Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Ho alcuni dubbi su come ho svolto questo esercizio.
In particolare non sono sicuro di poter dire dell'esistenza delle composition series (1) e (2). Inoltre non sono sicuro di come ho dimostrato le inclusioni strette e la massimalità di (3)
Dimostra che le seguenti cosa sono vere per un \(R\)-modulo \(M\) di lunghezza finita \( l(M)\) (ovvero ammette una composition series di lunghezza finita)
1) Se esiste una "short exact sequence"
\[ 0 \to M' \to M \to M'' \to 0 \]
allora \( ...
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Studente Anonimo
9 ott 2020, 15:29
ciao a tutti, dovrei dimostrare questo fatto:
sia A un anello commutativo e R l'anello delle matrici nxn a valori in A.
Una matrice è un'unita di R se e solo se il suo determinante è un'unità di A.
La prima implicazione è banale.
Per la seconda sono riuscito a dimostrare che $\forall a \in A, \exists M,N \in R t.c. det(M)=a, det(N)=a^-1$ e quindi $det(MN)=1$ ma questo non è sufficiente a dire che N sia proprio l'inversa di M.
Potete aiutarmi?
La domanda più nello specifico diventa:
Può essere accettata dai matematici come "non casuale" la distribuzione dei numeri primi se la dimostrazione è basata sulla evidenza dei fatti ma non è supportata da una funzione?
Mi sembra evidente che la distribuzione dei numeri primi deriva da come si "combinano" (si spartiscono i numeri composti, lasciando dei "buchi") i multipli dei numeri primi precedenti, vedi setaccio di Eratostene.
Non ho creduto all'apparente disordine e credo di aver motivo ...
Ciao a tutti,
ho da poco iniziato il corso di Analisi 1 e mi trovo già bloccato ad un passaggio di uno dei primi teoremi che abbiamo affrontato: il teorema che afferma che, preso un insieme X, l'insieme delle parti di X, p(X), ha cardinalità maggiore. (Abbiamo poi dimostrato anche il noto fatto che la cardinalità di p(X) è $2^n$, con n pari al numero degli elementi di X).
$card(x)<=card[p(x)]$
Dimostrazione per assurdo:
Se $card(x)>=card[p(x)]$ allora $EE y: X -> p(X)$ surgettiva
Sia ...
I numeri primi si spartiscono i numeri composti secondo proporzioni che si definiscono sempre meglio aumentando la quantità di numeri composti e di numeri primi considerati.
La domanda è se esiste una funzione comunemente accettata che fornisce queste proporzioni.
Sia \(f\) una funzione aritmetica moltiplicativa. Dimostra che la sua inversa di Dirichlet \(f^{-1} \) è completamente moltiplicativa se e solo se \(f(p^k) = 0 \) per ogni \(p\) primo e per ogni \( k \geq 2 \).
Allora il prof ci ha dato l'hint di dimostrare prima che \( f \) è completamente moltiplicativa se e solo se \( f^{-1}(n) = \mu(n)f(n) \).
L'hint una direzione l'ho fatta così.
Se \(f\) è completamente moltiplicativa allora chiamando \(g(n):=\mu(n)f(n) \) dobbiamo dimostrare che \(g ...
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Studente Anonimo
27 set 2020, 16:29
Ho letto che l'ipotesi di Riemann è importante anche per il legame con la distribuzione dei numeri primi.
Non sono però riuscito a trovare un solo esempio a riguardo, qualcuno mi può togliere questa curiosità con un semplice esempio?
Ho trovato su degli appunti in internet un teorema che recita così: esiste un'unica quaterna $(RR,+,.>=)$ che verifica gli assiomi algebrici di ordinamento e continuità. Se non ho capito male questo teorema dice sostanzialmente che il campo dei numeri reali è unico. Vorrei trovare la dimostrazione di unicità, per favore potreste passarmi il nome di questo teorema?
Va bene come dimostrazione?
Dimostra che se \( \tau(n) \) è la funzione divisore (che restituisce il numero di divisori di \(n\)) allora per ogni \( \epsilon >0 \) esiste una costante \( C_{\epsilon} >0 \) tale che
\[ \tau(n) \leq C_{\epsilon} n^{\epsilon} \]
Sia \( n = \prod_{j=1}^{k} p_j^{\alpha_j } \). Fissiamo \( \epsilon \) e supponiamo che per ogni \(j \in J \subseteq \{1,\ldots,k\} \) risulta che \( p_j^{\alpha_j \epsilon} \leq (\alpha_j +1) \) allora per la proprietà archimedea di \( ...
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Studente Anonimo
24 set 2020, 17:59
Dimostra che per ogni \( x \geq 3 \) risulta che
\[ \sum_{2 < n \leq x} \frac{1}{n \log n} = \log \log x + C_1 + \mathcal{O} \left( \frac{1}{x \log x} \right) \]
dove \(C_1 \) è una costante reale.
Io ho pensato di fare così ma non riesco a dimostrare che
\[ - \int_2^{\infty} \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi < \infty \]
e
\[ \int_2^x \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi = \mathcal{O} \left( \frac{1}{x \log x} \right) ...
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Studente Anonimo
27 set 2020, 13:04
Sto impazzendo non riesco a trovare le soluzioni del seguente sistema di 5 equazioni in 5 incognite.
le equazioni sono le seguenti:
1) $x*y=250*10^(-6)$
2)$(100+z)*k=62,5*10^(-6)$
3)$100*k=125*10^(9)$
4)$x*(y*h)/(y+h)=28,57*10^(-6)$
5)$1/((y+h)*z)=178000$
Chiunque resca a risolverlo mi farebbe un grande favore perchè mi serve per completare un progetto.
Vi ringrazio in anticipo.
Ciao, ho 3 problemi che non capisco.
1)
Definisco in modo induttivo $\prod_{v=1}^n x_v$ come $x_1*x_2*...*x_n = (x_1*...*x_{n-1})(x_n)$
Dimostro per induzione che $\prod_{v=1}^m x_v * \prod_{v=1}^{n} x_{m+v} = \prod_{v=1}^{m+n} x_v $
Si ha che $\prod_{v=1}^m x_v * \prod_{v=1}^1 x_{m+v} = (x_1*...*x_m)(x_{m+1}) = x_1*...*x_{m+1}$
Suppongo sia vero per n, dimostro che è vero per n+1.
$\prod_{v=1}^{m} x_v * \prod_{v=1}^{n+1} x_{m+v} = \prod_{v=1}^{m} x_v * \prod_{v=1}^{n} x_{m+v} *x_{m+n+1} = (x_1*...*x_{m+n})(x_{m+m+1}) = x_1*...*x_{m+n+1}$
La dimostrazione è corretta? È così semplice che non capisco se ho dimostrato qualcosa o meno.
2)
Dati 2 insiemi I e J considero la funzione $f: IxJ \rarr G$ tra monoidi commutativi.
Si ha che $\prod_{i\inI}*[\prod_{j\inJ} f(i, j)] = \prod_{j\inJ}*[\prod_{i\inI} f(i, j)]$
Per dimostrarlo dico ...
Sia \( r(n) = \# \{ (a,b) \in \mathbb{Z}^2 : a^2+b^2=n \} \). Dimostra che
\[ \sum_{n \leq x } r(n) = \pi x + \mathcal{O}(\sqrt{x}) \]
Io farei in questo modo (il prof ha suggerito di utilizzare il metodo dell'iperbola di Dirichlet) solo che non so calcolare questo integrale:
\[I(x):= \int_0^{\sqrt{x}} \frac{\{ \xi \} \xi}{\sqrt{x-\xi^2}}d\xi \]
Dove \( \{ \xi \} \) è la parte frazionaria di \( \xi \).
Se come ho fatto io è corretto dovrei ottenere che l'integrale qui sopra vale \( I(x) =x - ...
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Studente Anonimo
24 set 2020, 17:13
Dimostrare che un gruppo $G$ di ordine $56$ ha un $p$-sottogruppo di Sylow normale per qualche $p$ che divede $56$.
Indichiamo con $n_2$ il numero dei $2$-sottogruppi di Sylow e con $n_7$ il numero dei $7$-sottogruppi di Sylow.
Durante la dimostrazione fatta a lezione, non comprendo perchè
$n_2=7$ implica $n_7=1$.
Infatti viene detto che ci sono ...
Dimostra che
\[ \pi(x) \geq \log \log(x) \]
Se riesco a dimostrare che \( x \geq \log(x)^{\log(x)} \) sugli interi allora riesco a dimostrare il claim. Siccome poi farei così
\[ \prod_{p \leq x} p \geq x \]
Siccome se \(x \geq 2\) è pari allora abbiamo che tra \( x \) e \( x/2 \) esiste almeno un primo \(p\) inoltre \(x \geq 2\) è primo dunque
\[ \prod_{p \leq x} p \geq 2p \geq x \geq \log(x)^{\log(x)} \]
Se \( x \geq 2 \) è dispari allora abbiamo che tra \( x+1 \) e \( (x+1)/2 \) esiste ...
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Studente Anonimo
18 set 2020, 12:39
\( \newcommand{\Ker}[1]{\operatorname{Ker}{#1}} \)\( \newcommand{\Im}[1]{\operatorname{Im}{#1}} \)Ciao. Siano \( \phi\colon A\to B \) e \( \psi\colon B\to C \) omomorfismi di moduli. È ovvio che le affermazioni 1) \( \psi\circ\phi = 0 \); 2) \( \phi \) si fattorizza attraverso l'inclusione \( \iota \) di \( \Ker\psi \) in \( B \); 3) \( \psi \) si fattorizza attraverso la proiezione canonica \( \pi\colon B\to B/{\Im\phi} \); sono equivalenti.
Per dimostrare che 1) sse 3), è sufficiente il ...
Risolvendo questo esercizio mi sono venuti due dubbi
i) Dimostra che ogni \(R\)-modulo semplice \(M\) è ciclico, ovvero che è isomorfo all' \(R\)-modulo \(Rm\) definito in corso, per qualche \(m \in M \).
ii) Sia \(M\) un \(R\)-modulo sinistro e \(m \in M \) un elemento di \(M\), definiamo \( \mathcal{A}nn(m) \subset R\) come l'insieme degli elementi \(r \in R \) tale che \(rm=0 \). Dimostra che \( \mathcal{A}nn(m) \) è un ideale sinistro di \(R\) e che l' \(R\)-modulo sinistro \(Rm\) è ...
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Studente Anonimo
23 set 2020, 01:53
Per definizione ogni elemento inverso porta ad 'estrarre' sempre l'elemento neutro o identity element dalla presenza dell'inverso. Il contrario, invece, non è vero, cioè, dato un elemento neutro non è vero che allora esiste un elemento inverso.
A me sta cosa puzza di bruciato, nel senso che, non è chiaro il motivo di questa asimmetria nelle definizioni.
Cercavo di capire se fosse possibile costruire un elemento inverso senza l'elemento identità.
Quindi mi sorge questa domanda
Proponendo un ...
Ciao a tutti, non riesco a trovare una fonte adatta a capire questo argomento.
A volte è necessario trovare il MCD tra due interi di gauss e si può procedere con l'algoritmo euclideo. Il problema è, come si effettua la fattorizzazione?
Ho difficoltà a svolgere la divisione nel modo 'classico' (in colonna come per i polinomi), allora provo a fattorizzare ad occhio ma non è una strategia né efficiente né spesso efficace.
Ad esempio come si effettua la divisione tra $15-5i$ e ...
sono nuova e ho una connessione che fa un po' schifo, perciò non so se il precedente messaggio che ho scritto è stato inviato oppure no.
Lo riscrivo qui, sperando in una risposta.
Ho chiesto ad un professore di inviarmi i test di valutazione degli anni precedenti per la facoltà di matematica presso la quale mi sono iscritta e ci sono queste due domande di cui conosco la risposta ma non il motivo di quest'ultima.
"quanti sono i polinomi di terzo grado che si annullano in -1,0 e 1 valgono ...
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