Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ci sono diverse cose che non capisco in questa dimostrazione Sia \(R\) un \(PID\) e \(M\) un modulo finitamente generato su \(R\). Allora \[ M \cong R^{\oplus m_0} \oplus \left( \bigoplus_{i=1,\ell = 1}^{s,r} \left( R/ (p_i^{\ell}) \right)^{\oplus m_{i,\ell}} \right) \] per qualche intero \(m_0,s,r \geq 0 \), \(m_{i,j} \geq 0 \) e differenti primi \(p_i \in R \), che sono unici a meno di un riordinamento degli indici \(i\), se assumiamo che \(p_i \not\mid p_j \) per ogni \( i \neq j \) e che ...

Buon giorno, sto avendo problemi con il seguente esercizio: Dimostrare che, per ogni intero n, il numero 2n^17 + 2n^15 + 3n^3 + 3n `e divisibile per 5. Le prime oservazioni che ho fatto sono state che 5 è un numero primo e che quindi ha come proprietà che se divide a*b, allora 5|a oppure 5|b., quindi mi basta che 5 divida un prodotto di tale numero. Altrimenti devo dimostrare che in 2n^17 + 2n^15 + 3n^3 + 3n = 5q + r, la r = 0 Il prodotto che mi esce dopo un paio di semplificazioni semplici ...

Ciao a tutti, il problema è il seguente: Si determinino tutti gli omomorfismi del gruppo additivo $(QQ,+)$ in $(ZZ,+)$. Q non è ciclico dunque non posso determinarli con le immagini dei generatori. Come procedere?

Sia \( X = C([0,1],\mathbb{R} ) \) lo spazio vettoriale su \( \mathbb{R} \), considera \( \varphi_n (x) = \sin(n \pi x) \) per \(n \in \mathbb{N} \). Dimostra che per ogni \( k \geq 1 \) l'insieme \( \{ \varphi_n : n = 1,\ldots,k\} \) è linearmente indipendente. Le soluzioni fanno una cosa che non capisco. Per \( \lambda_1, \ldots, \lambda_k \), scalari, supponiamo che \[ \sum_{n=1}^{k} \lambda_n \varphi_n(x) = 0 \] per ogni \( x \in [0,1] \). Dimostriamo che \( \lambda_n = 0 \) per ogni \( 1 ...

Non mi ricordo più cosa mi è stato insegnato a scuola, però gli elenchi nei numeri primi mi sembrano iniziare sempre dal 2. Quindi la domanda è se c'è un motivo per cui il numero 1 non è un numero primo.

Salve ragazzi ho questa traccia ma non riesco a venirne a capo. Sono riuscito, credo, a risolvere i primi 2 punti ma non riesco a capire la richiesta del punto 3. Non dovrei avere dei vincoli? Ci sono? Quali sono? Non riesco ad individuarli. Qualcuno ha qualche idea? Vi lascio il testo, grazie. Un’economia è suddivisa in 3 settori, manifattura, agricoltura e energetico, che sono dipendenti l’uno dall’altro. In particolare, ogni euro ottenuto dal settore manifatturiero richiede l’utilizzo di ...

Buongiorno, sto provando a dimostrare un'uguaglianza, in particolare si ha $G(**) $ gruppo. Se $H le G$ dove $H^(-1) subseteq H$. In generale si ha: se $(H_i)_(i in I)$ famiglia di sottogruppi di $G$, $(bigcup_(i in I)H_i)^(-1)=bigcup_(i in I)((H_i^(-1))) subseteq bigcup_(i in I)(H_i).$ $X^(-1) :={x^(-1): x in X} $ con $emptyset ne X subseteq G.$ Osservo che l'inclusione che si presente nella relazione precedente, in particolare quella a destra, dovrebbe essere conseguenza di $H^(-1) subseteq H$, invece per provare l'uguaglianza procedo ...

Ho alcuni dubbi su come ho svolto questo esercizio. In particolare non sono sicuro di poter dire dell'esistenza delle composition series (1) e (2). Inoltre non sono sicuro di come ho dimostrato le inclusioni strette e la massimalità di (3) Dimostra che le seguenti cosa sono vere per un \(R\)-modulo \(M\) di lunghezza finita \( l(M)\) (ovvero ammette una composition series di lunghezza finita) 1) Se esiste una "short exact sequence" \[ 0 \to M' \to M \to M'' \to 0 \] allora \( ...

ciao a tutti, dovrei dimostrare questo fatto: sia A un anello commutativo e R l'anello delle matrici nxn a valori in A. Una matrice è un'unita di R se e solo se il suo determinante è un'unità di A. La prima implicazione è banale. Per la seconda sono riuscito a dimostrare che $\forall a \in A, \exists M,N \in R t.c. det(M)=a, det(N)=a^-1$ e quindi $det(MN)=1$ ma questo non è sufficiente a dire che N sia proprio l'inversa di M. Potete aiutarmi?

La domanda più nello specifico diventa: Può essere accettata dai matematici come "non casuale" la distribuzione dei numeri primi se la dimostrazione è basata sulla evidenza dei fatti ma non è supportata da una funzione? Mi sembra evidente che la distribuzione dei numeri primi deriva da come si "combinano" (si spartiscono i numeri composti, lasciando dei "buchi") i multipli dei numeri primi precedenti, vedi setaccio di Eratostene. Non ho creduto all'apparente disordine e credo di aver motivo ...

Ciao a tutti, ho da poco iniziato il corso di Analisi 1 e mi trovo già bloccato ad un passaggio di uno dei primi teoremi che abbiamo affrontato: il teorema che afferma che, preso un insieme X, l'insieme delle parti di X, p(X), ha cardinalità maggiore. (Abbiamo poi dimostrato anche il noto fatto che la cardinalità di p(X) è $2^n$, con n pari al numero degli elementi di X). $card(x)<=card[p(x)]$ Dimostrazione per assurdo: Se $card(x)>=card[p(x)]$ allora $EE y: X -> p(X)$ surgettiva Sia ...

I numeri primi si spartiscono i numeri composti secondo proporzioni che si definiscono sempre meglio aumentando la quantità di numeri composti e di numeri primi considerati. La domanda è se esiste una funzione comunemente accettata che fornisce queste proporzioni.

Sia \(f\) una funzione aritmetica moltiplicativa. Dimostra che la sua inversa di Dirichlet \(f^{-1} \) è completamente moltiplicativa se e solo se \(f(p^k) = 0 \) per ogni \(p\) primo e per ogni \( k \geq 2 \). Allora il prof ci ha dato l'hint di dimostrare prima che \( f \) è completamente moltiplicativa se e solo se \( f^{-1}(n) = \mu(n)f(n) \). L'hint una direzione l'ho fatta così. Se \(f\) è completamente moltiplicativa allora chiamando \(g(n):=\mu(n)f(n) \) dobbiamo dimostrare che \(g ...

Ho letto che l'ipotesi di Riemann è importante anche per il legame con la distribuzione dei numeri primi. Non sono però riuscito a trovare un solo esempio a riguardo, qualcuno mi può togliere questa curiosità con un semplice esempio?

Ho trovato su degli appunti in internet un teorema che recita così: esiste un'unica quaterna $(RR,+,.>=)$ che verifica gli assiomi algebrici di ordinamento e continuità. Se non ho capito male questo teorema dice sostanzialmente che il campo dei numeri reali è unico. Vorrei trovare la dimostrazione di unicità, per favore potreste passarmi il nome di questo teorema?

Va bene come dimostrazione? Dimostra che se \( \tau(n) \) è la funzione divisore (che restituisce il numero di divisori di \(n\)) allora per ogni \( \epsilon >0 \) esiste una costante \( C_{\epsilon} >0 \) tale che \[ \tau(n) \leq C_{\epsilon} n^{\epsilon} \] Sia \( n = \prod_{j=1}^{k} p_j^{\alpha_j } \). Fissiamo \( \epsilon \) e supponiamo che per ogni \(j \in J \subseteq \{1,\ldots,k\} \) risulta che \( p_j^{\alpha_j \epsilon} \leq (\alpha_j +1) \) allora per la proprietà archimedea di \( ...

Dimostra che per ogni \( x \geq 3 \) risulta che \[ \sum_{2 < n \leq x} \frac{1}{n \log n} = \log \log x + C_1 + \mathcal{O} \left( \frac{1}{x \log x} \right) \] dove \(C_1 \) è una costante reale. Io ho pensato di fare così ma non riesco a dimostrare che \[ - \int_2^{\infty} \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi < \infty \] e \[ \int_2^x \frac{\psi(\xi)\left( \log \xi +1 \right)}{\xi^2 \log^2 \xi} d \xi = \mathcal{O} \left( \frac{1}{x \log x} \right) ...

Sto impazzendo non riesco a trovare le soluzioni del seguente sistema di 5 equazioni in 5 incognite. le equazioni sono le seguenti: 1) $x*y=250*10^(-6)$ 2)$(100+z)*k=62,5*10^(-6)$ 3)$100*k=125*10^(9)$ 4)$x*(y*h)/(y+h)=28,57*10^(-6)$ 5)$1/((y+h)*z)=178000$ Chiunque resca a risolverlo mi farebbe un grande favore perchè mi serve per completare un progetto. Vi ringrazio in anticipo.

Ciao, ho 3 problemi che non capisco. 1) Definisco in modo induttivo $\prod_{v=1}^n x_v$ come $x_1*x_2*...*x_n = (x_1*...*x_{n-1})(x_n)$ Dimostro per induzione che $\prod_{v=1}^m x_v * \prod_{v=1}^{n} x_{m+v} = \prod_{v=1}^{m+n} x_v $ Si ha che $\prod_{v=1}^m x_v * \prod_{v=1}^1 x_{m+v} = (x_1*...*x_m)(x_{m+1}) = x_1*...*x_{m+1}$ Suppongo sia vero per n, dimostro che è vero per n+1. $\prod_{v=1}^{m} x_v * \prod_{v=1}^{n+1} x_{m+v} = \prod_{v=1}^{m} x_v * \prod_{v=1}^{n} x_{m+v} *x_{m+n+1} = (x_1*...*x_{m+n})(x_{m+m+1}) = x_1*...*x_{m+n+1}$ La dimostrazione è corretta? È così semplice che non capisco se ho dimostrato qualcosa o meno. 2) Dati 2 insiemi I e J considero la funzione $f: IxJ \rarr G$ tra monoidi commutativi. Si ha che $\prod_{i\inI}*[\prod_{j\inJ} f(i, j)] = \prod_{j\inJ}*[\prod_{i\inI} f(i, j)]$ Per dimostrarlo dico ...

Sia \( r(n) = \# \{ (a,b) \in \mathbb{Z}^2 : a^2+b^2=n \} \). Dimostra che \[ \sum_{n \leq x } r(n) = \pi x + \mathcal{O}(\sqrt{x}) \] Io farei in questo modo (il prof ha suggerito di utilizzare il metodo dell'iperbola di Dirichlet) solo che non so calcolare questo integrale: \[I(x):= \int_0^{\sqrt{x}} \frac{\{ \xi \} \xi}{\sqrt{x-\xi^2}}d\xi \] Dove \( \{ \xi \} \) è la parte frazionaria di \( \xi \). Se come ho fatto io è corretto dovrei ottenere che l'integrale qui sopra vale \( I(x) =x - ...