Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
Ordina per
In evidenza
Buonasera volevo chiedervi un aiuto su questo esercizio:
$S=QxQ$
$∀ (a,b), (c,d) in S,\quad \{ ((a,b) ⊕ (c,d) = (a+c,b+d)), ((a,b) ** (c,d) = (ac, \frac {\bd}{\2})):}$
Ho già verificato che è un anello commutativo unitario ma ho problemi nel determinare :
(i) Gli elementi invertibili di $(S, ⊕,*)$;
(ii) In $(Q × Q, ⊕, ∗)$, $(0,1/3)$ è cancellabile? $(3, −1/2)$ è un divisore dello zero?
(iii) Z×Z è un sottoanello di $(Q×Q,⊕,∗)$?
Io ho fatto:
(i) $AA (a, b)\ in S$
$ (a, b) è simmetrico in (S,*)\iff\(\EE (c,d)\in\S: (a ,b)*(c,d)=(1,2))\iff\(\EE(c,d)\in S (ac, \frac {\bd}{\2})(1,2))\iff\ c=\frac {\1}{\a} \wedge\d= \frac {\4}{\b}$
P.S l'elemento neutro rispetto ...
Buonasera a tutti.
Ho questa struttura con sostegno $S = ZZ xx ZZ$ ed operazioni definite come segue:
$∀ (a,b), (c,d) in S,\quad \{ ((a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)), ((a,b) ** (c,d) = (ac,ad)):}$
e devo verificare se $(S,+,**)$ sia un anello commutativo unitario.
Ho già verificato che:
[list=1][*:ocn62dgz] $(S,+)$ è gruppo abeliano
[/*:m:ocn62dgz]
[*:ocn62dgz] $(S,**)$ è un semigruppo
[/*:m:ocn62dgz]
[*:ocn62dgz] $**$ è doppiamente distributiva (cioè, a sinistra ed a destra) rispetto a ...
Buonasera vorrei chiedervi se questo esercizio l'ho fatto bene, allego la traccia:
\( f: X \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \mapsto \{ x + 2 \mid x \in X \} \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \)
i) Calcolare \( f \left( \{ -2,2,4\} \right), f \left( \mathbb{Z} \right) , f^{-1} \left( \{ \{ -2,3,5\} \} \right)\)
ii) Verificare che \(f\) è biettiva e calcolare \(f^{-1} \)
iii) Siano \( h: x \in \mathbb{Q} \mapsto 2x+1 \in \mathbb{Q} \) e \(g: y \in \mathbb{Z} \mapsto y/3 \in \mathbb{Q} \), descrivere \(k:= ...
Mi stavo chiedendo se è vero quanto segue:
Sia \(n\) un intero positivo dispari e \( \Phi_k\) è il \(k\)-esimo polinomio ciclotomico. È vero che \( \Phi_{4n} \) possiede termini solo di grado pari e \( \Phi_{2n} \) possiede almeno un termine di grado pari ed almeno un termine di grado dispari?
4
Studente Anonimo
9 ago 2020, 12:47
Buon pomeriggio potete aiutarmi a negare questa formula:
x > 1 ∧ (∀a ∈ Z)(y > 3 ⇒ a diverso 4).
Negazione: (x>1) v ($ EE alpha in Z $)(y>3^a=4)
potete aiutarmi a correggerla?
Grazie in anticipo
Buonasera potete aiutarmi a capire se questo esercizio l’ho fatto bene?
Sia:
S=ZxZ
$ AA $ a,b,c,d appartenenti a Z
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)*(c,d)=(ac,ad)
Devo determinare i neutri rispetto l’operazione *
Io ho verificato che * non è commutativa quindi calcolo neutro a destra e sinistra di *:
1) a destra:
$ AA AA (a,b)in ZxZ $
$ (c,d)$ neutri a dx in (S,*) se è solo se $(ac,ad)=(a,b)$—> non ci sono neutri
2) a sinistra:
$ AA AA (a,b)in ZxZ $
...
Ciao a tutti, ho un problema sulla dimostrazione della diseguaglianza di Schwarz, per prima cosa inserisco la dimostrazione che ho, poi vi spiego cosa non capisco.
Dati $ a_1, ... , a_n $ ; $ b_1 , ... , b_n \in \mathbb{C} $ si ha $|\sum_{j=1}^n a_j\overline{b_j}|^2 \leq \sum_{j=1}^n|a_j|^2 \sum_{j=1}^n|b_j|^2 $
Dim:
(1) Pongo $ A = \sum|a_j|^2 $ ; $ B = \sum|b_j|^2 $ ; $ C = \sum a_j\overline{b_j} $
(2) si deve avere che $ |C|^2 \leq AB $. Se $B = 0$ la tesi è ovvia, impongo $B \ne 0$.
(3) posso riscrivere come $ 0 \leq AB^2 - B|C|^2 = B^2\sum|a_j|^2 - |C|^2\sum|b_j|^2 $
(4) che posso vederla come ...
Buon pomeriggio volevo chiedere un aiuto su questo esercizio: con riferimento a f : A → B, di ciascuna delle due formule:
(i) (∀a ∈ A)(∃!b ∈ B)(b è un corrispondente di a);
(ii) (∀b ∈ B)(∃!a ∈ A)(b è un corrispondente di a);
dire se equivale a:
(1) f è un’applicazione ben definita;
(2) se f è un’applicazione, f è suriettiva;
(3) se f è un’applicazione, f è biettiva;
(4) nessuna delle precedenti.
Sia poi g: L → M un’applicazione. Tra le seguenti quali equivalgono e quali non equivalgono ...
Buonasera,
Sto svolgendo il seguente esercizio:
Sia l'insieme $G$ delle matrici su $ZZ_n$ della forma \(\displaystyle \begin{vmatrix} \pm 1 & m \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \).
Si richiede di verificare che $G(cdot)$ dove "$cdot$ prodotto usuale tra matrici" è un gruppo, inoltre verificare che risulta abeliano se $n=2$ e non abeliano se $n>2$.
Per quanto la verifica di essere $G$ un gruppo l'ho fatta.
Invece, per ...
Buongiorno a tutti,
spero di postare nella sezione corretta. Volevo porvi la seguente questione, sperando che qualcuno possa essermi di aiuto.
Come da titolo, riguarda l'ipotesi di Riemann. So benissimo che l'argomento è estremamente complesso e infatti mi soffermo su un aspetto "qualitativo". Si dice sempre che questo problema è strettamente collegato ai numeri primi, ma nello specifico, se venisse dimostrato, cosa permetterebbe di sapere su di essi? Si tratta di migliorare determinate ...
Buongiorno,
Sto leggendo la seguente definizione:
Siano $S, T$ insiemi, dove con $|cdot|$ indico $[cdot]_(~)$ classe di equivalenza modulo equipotenza;
$|S| le |T| leftrightarrow^("def")\ exists\ f : S \to\ T \|\ "f iniettiva".$
Nella presente definizione compaiono classi di equivalenza, quindi, mi potrei chiedere se tale definizione è ben posta, cioè non è in funzione dei rappresentati.
Procedo cosi, considero le seguenti relazioni
$|S|=|S_1|\,\ |T|=|T_1|$ esistono due funzioni $z,h$ biettieve definite ...
Leggendo il volume di "Algebra Lineare e Geometria" di Schlesinger, mi ha messo un po' in crisi un esercizio che, riformulato, dice:
"Il vettore \(\mathbf{v_0}=(1, -2, 1)^T\) appartiene al nucleo \(\mathrm{Ker}\ \mathbf A\) della matrice $\mathbf{A}=((1,1,1),(1,2,3))$. Dimostrare che il vettore $(x_1, x_2, x_3)^T=\mathbf{v_0}$ soddisfa l'equazione $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ se e solo se $(a_1, a_2, a_3)^T=\mathbf{a}$ appartiene allo spazio riga \(\mathrm{Row}\ \mathbf A\) di $\mathbf A$."
L'implicazione \(\Longleftarrow\) mi è parsa ...
Provando a fare qualche esercizio sul prodotto tensoriale mi sono accorto che sto sbagliando di grosso, nella seguente dimostrazione ci deve essere un errore veramente stupido.
Consideriamo $ RRox _RR RR $ che sappiamo essere non banale (es. la mappa bilineare $(x,y)\rightarrow xy$ non è banale).
Cosa c'è di sbagliato nella seguente dimostrazione di $ RRox _RR RR = {0}$:
Dalla definizione di prodotto tensoriale si ha che $xa \otimes b = a \otimes xb$ quindi
$0 = (xa \otimes b) - (a \otimes xb) = (xa \otimes b) + (-a \otimes xb) = xa -a \otimes b +xb = (x-1)a \otimes (x+1)b$
Scegliendo ...
Io conosco la soluzione che conta il numero di sottoinsiemi dell'insieme prodotto cartesiano AxB :
se la cardinalità di AxB è k , sarà $ 2^k $ .
In queste dispense (pagina 11 , punto B ) usa anche un secondo metodo basato sul principio del prodotto . Non lo capisco!
https://luca-giuzzi.unibs.it/corsi/disc ... teggio.pdf
Grazie
Come si concilia il fatto che esiste un intervallo arbitrariamente grande tra due primi ed il teorema che dice che esistono infiniti primi distanti tra loro 70000000 di numeri?
P. S.
La mia domanda nasce dal fatto che può esistere un intervallo inimmaginamente grande tra due primi consecutivi, ma tra inimmaginamente grande ed infinito che relazione esiste?
Sia \(s= \frac{X^3+2}{X} \in \mathbb{Q}(X) \). Consideriamo \( \mathbb{Q}(s) \) il più piccolo sotto campo di \( \mathbb{Q}(X) \) contenenete \(s\) (da non confondere con il campo delle frazioni razionali in una indeterminata \(s\)).
a) Dimostra che \( \mathbb{Q}(X) \) è algebrico su \( \mathbb{Q}(s) \)
b) Calcola i gradi \( [\mathbb{Q}(X) : \mathbb{Q}(s)] \) e \( [\mathbb{Q}(s) : \mathbb{Q}]\).
Per a) ho fatto così
abbiamo che è algebrico se per ogni elemento \( \alpha \in \mathbb{Q}(X) \), ...
1
Studente Anonimo
22 lug 2020, 20:26
f è la relazione che associa ad ogni retta del fascio di rette del piano con centro P il punto sulla retta R del piano (la sua proiezione ): Afa , Bfb, Cfc etc... ( A,B,C sono le rette del fascio di centro P , mentre a,b,c sono le proiezioni\intersezioni di tali rette con la retta del piano R ).
f non è una funzione secondo me , perchè è FUNZIONALE ma non è ovunque definita ( la retta del fascio // alla retta R non ha immagine , se non all'infinito).
La relazione inversa g ( ...
\( \mathbb{C}(x) \) il campo delle frazioni del anello dei polinomi \( \mathbb{C}[x] \) è algebricamente chiuso? Vero o falso?
Io direi falso.
Se \( \mathbb{C}(x) \) è algebricamente chiuso allora per ogni polinomio (edit: evidentemente non costante :edit) \( p(t) \in \mathbb{C}(x)[t] \) esiste \( \alpha \in \mathbb{C}(x) \) tale che \( p(\alpha)=0\).
Consideriamo \(t^2- x \in \mathbb{C}(x)[t] \), supponiamo che esiste \( \alpha = p(x)/q(x) \) con \( p(x) \in \mathbb{C}[x] \) e \( q(x) \in ...
2
Studente Anonimo
22 lug 2020, 23:52
Sia \( K \) un campo finito. Dimostra che
a) La caratteristica di \(K \) è un numero primo
b) \( card(K)=p^n \) per \(n \) intero.
c) Tutti gli elementi non nulli di \(K\) sono radice di \( t^{p^n -1} -1 \)
d) \(K\) è il campo di decomposizione di \(t^{p^n} - t \).
Allora per
a) Siccome \(K \) è un campo allora è un dominio d'integrità pertanto \( car(K)=p \), perché gli unici anelli che sono un dominio d'integrità hanno caratteristica 0 oppure un numero pirmo p.
Per b) ho guardato la ...
2
Studente Anonimo
22 lug 2020, 19:04
C'è un modo più efficace per dimostrare che \(4x^3+120x^2+8x-12\) è irriducibile in \( \mathbb{Q}[x] \) ?
Questo è come ho fatto io
\( 4 \) è invertibile in \( \mathbb{Q} \) dunque quel polinomio è irriducibile se e solo se \( x^3 + 30 x^2 + 2x-3 \) è irriducibile. Pertanto usando il teorema di Gauss sappiamo che quel polinomio, essendo primitivo, è irriducibile in \( \mathbb{Q}[x] \) se e solo se è irriducibile in \( \mathbb{Z}[x] \). Usando il criterio di riduzione modulo 11 otteniamo il ...
2
Studente Anonimo
22 lug 2020, 16:53
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo