Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Buon pomeriggio. Sto studiando teoria delle categorie per un progetto. Mi sono ritrovato davanti a questa difficoltà, banale, ma da cui non riesco ad uscire. Io so che il funtore $Hom(Y, -)$ è esatto a sinistra. Inoltre, per definizione, diremo che l'oggetto $Y$ è proiettivo se e solo se il funtore $Hom(Y, -)$ è esatto, quindi se manda epimorfismi in epimorfismi. Di conseguenza, se Y è proiettivo ho che la sequenza esatta $0 -> A -> B -> C -> 0$ viene mandata in ...

Ciao. Come si può dimostrare "con le mani" che l'insieme \( I \) dei polinomi di \( \mathbb R[X_1,X_2] \) a coefficiente costante nullo è un ideale massimale ma non principale? (Con "con le mani" intendo dire "ignorando che \( I \) è massimale se e solo se \( R/I \) campo", ecc.).

Mi sapete aiutare a capire perché: $ -17 mod 10 = 3 $ Grazie in anticipo

Buongiorno, Sto tentando di svolgere il seguente eserczio: Siano $X,Y,S$ insiemi, per cui se \(\displaystyle X \sim Y \), risuta $X^S$ \(\displaystyle \sim \) $Y^S$. Ho provato a svolgerlo nella seguente maniera: Per ricordarci $X^S={f:S to X| "f applicazione"}$, $Y^S={g:S to Y| "g applicazione"}$, inoltre, \(\displaystyle X \sim Y \) $: leftrightarrow exists\ \ alpha\|\ alpha \:\ X to Y$, con $alpha$ applicazione biettiva. La tesi consiste nel costruire una funzione $L$ che va da ...

$ \x\in\Z \iff\EE b= a\Longrightarrow\a=a $Buonasera ho questo esercizio, sia: Consideriamo la relazione di binaria R definita in Q da: $∀a, b ∈ Q aRb ⇐⇒ (∃z∈Z)(a=b+z)$ (i) Provare che R è una relazione di equivalenza; (ii) descrivere $\[0]_R$,$\[3]_R$ e $\[1/2]_R$. Io ho risolto cosí: 1)Riflessiva: $\x\in\Z \iff\EE b= a\rightarrow\a=a$ quindi è riflessiva. 2) Simmetrica: $\AA a, b\in\A$ $\(aRb \rightarrow\bRa)$ Cioè: $\a = b+z \rightarrow\ -b-z=-a \rightarrow\ b+z=a$ quindi è simmetrica 3)Transitiva: $\AA a, b, c \in A$ ...

Buonasera volevo chiedervi un aiuto su questo esercizio: $S=QxQ$ $∀ (a,b), (c,d) in S,\quad \{ ((a,b) ⊕ (c,d) = (a+c,b+d)), ((a,b) ** (c,d) = (ac, \frac {\bd}{\2})):}$ Ho già verificato che è un anello commutativo unitario ma ho problemi nel determinare : (i) Gli elementi invertibili di $(S, ⊕,*)$; (ii) In $(Q × Q, ⊕, ∗)$, $(0,1/3)$ è cancellabile? $(3, −1/2)$ è un divisore dello zero? (iii) Z×Z è un sottoanello di $(Q×Q,⊕,∗)$? Io ho fatto: (i) $AA (a, b)\ in S$ $ (a, b) è simmetrico in (S,*)\iff\(\EE (c,d)\in\S: (a ,b)*(c,d)=(1,2))\iff\(\EE(c,d)\in S (ac, \frac {\bd}{\2})(1,2))\iff\ c=\frac {\1}{\a} \wedge\d= \frac {\4}{\b}$ P.S l'elemento neutro rispetto ...

Buonasera a tutti. Ho questa struttura con sostegno $S = ZZ xx ZZ$ ed operazioni definite come segue: $∀ (a,b), (c,d) in S,\quad \{ ((a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)), ((a,b) ** (c,d) = (ac,ad)):}$ e devo verificare se $(S,+,**)$ sia un anello commutativo unitario. Ho già verificato che: [list=1][*:ocn62dgz] $(S,+)$ è gruppo abeliano [/*:m:ocn62dgz] [*:ocn62dgz] $(S,**)$ è un semigruppo [/*:m:ocn62dgz] [*:ocn62dgz] $**$ è doppiamente distributiva (cioè, a sinistra ed a destra) rispetto a ...

Buonasera vorrei chiedervi se questo esercizio l'ho fatto bene, allego la traccia: \( f: X \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \mapsto \{ x + 2 \mid x \in X \} \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) i) Calcolare \( f \left( \{ -2,2,4\} \right), f \left( \mathbb{Z} \right) , f^{-1} \left( \{ \{ -2,3,5\} \} \right)\) ii) Verificare che \(f\) è biettiva e calcolare \(f^{-1} \) iii) Siano \( h: x \in \mathbb{Q} \mapsto 2x+1 \in \mathbb{Q} \) e \(g: y \in \mathbb{Z} \mapsto y/3 \in \mathbb{Q} \), descrivere \(k:= ...

Mi stavo chiedendo se è vero quanto segue: Sia \(n\) un intero positivo dispari e \( \Phi_k\) è il \(k\)-esimo polinomio ciclotomico. È vero che \( \Phi_{4n} \) possiede termini solo di grado pari e \( \Phi_{2n} \) possiede almeno un termine di grado pari ed almeno un termine di grado dispari?

Buon pomeriggio potete aiutarmi a negare questa formula: x > 1 ∧ (∀a ∈ Z)(y > 3 ⇒ a diverso 4). Negazione: (x>1) v ($ EE alpha in Z $)(y>3^a=4) potete aiutarmi a correggerla? Grazie in anticipo

Buonasera potete aiutarmi a capire se questo esercizio l’ho fatto bene? Sia: S=ZxZ $ AA $ a,b,c,d appartenenti a Z (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)*(c,d)=(ac,ad) Devo determinare i neutri rispetto l’operazione * Io ho verificato che * non è commutativa quindi calcolo neutro a destra e sinistra di *: 1) a destra: $ AA AA (a,b)in ZxZ $ $ (c,d)$ neutri a dx in (S,*) se è solo se $(ac,ad)=(a,b)$—> non ci sono neutri 2) a sinistra: $ AA AA (a,b)in ZxZ $ ...

Ciao a tutti, ho un problema sulla dimostrazione della diseguaglianza di Schwarz, per prima cosa inserisco la dimostrazione che ho, poi vi spiego cosa non capisco. Dati $ a_1, ... , a_n $ ; $ b_1 , ... , b_n \in \mathbb{C} $ si ha $|\sum_{j=1}^n a_j\overline{b_j}|^2 \leq \sum_{j=1}^n|a_j|^2 \sum_{j=1}^n|b_j|^2 $ Dim: (1) Pongo $ A = \sum|a_j|^2 $ ; $ B = \sum|b_j|^2 $ ; $ C = \sum a_j\overline{b_j} $ (2) si deve avere che $ |C|^2 \leq AB $. Se $B = 0$ la tesi è ovvia, impongo $B \ne 0$. (3) posso riscrivere come $ 0 \leq AB^2 - B|C|^2 = B^2\sum|a_j|^2 - |C|^2\sum|b_j|^2 $ (4) che posso vederla come ...

Buon pomeriggio volevo chiedere un aiuto su questo esercizio: con riferimento a f : A → B, di ciascuna delle due formule: (i) (∀a ∈ A)(∃!b ∈ B)(b è un corrispondente di a); (ii) (∀b ∈ B)(∃!a ∈ A)(b è un corrispondente di a); dire se equivale a: (1) f è un’applicazione ben definita; (2) se f è un’applicazione, f è suriettiva; (3) se f è un’applicazione, f è biettiva; (4) nessuna delle precedenti. Sia poi g: L → M un’applicazione. Tra le seguenti quali equivalgono e quali non equivalgono ...

Buonasera, Sto svolgendo il seguente esercizio: Sia l'insieme $G$ delle matrici su $ZZ_n$ della forma \(\displaystyle \begin{vmatrix} \pm 1 & m \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \). Si richiede di verificare che $G(cdot)$ dove "$cdot$ prodotto usuale tra matrici" è un gruppo, inoltre verificare che risulta abeliano se $n=2$ e non abeliano se $n>2$. Per quanto la verifica di essere $G$ un gruppo l'ho fatta. Invece, per ...

Buongiorno a tutti, spero di postare nella sezione corretta. Volevo porvi la seguente questione, sperando che qualcuno possa essermi di aiuto. Come da titolo, riguarda l'ipotesi di Riemann. So benissimo che l'argomento è estremamente complesso e infatti mi soffermo su un aspetto "qualitativo". Si dice sempre che questo problema è strettamente collegato ai numeri primi, ma nello specifico, se venisse dimostrato, cosa permetterebbe di sapere su di essi? Si tratta di migliorare determinate ...

Buongiorno, Sto leggendo la seguente definizione: Siano $S, T$ insiemi, dove con $|cdot|$ indico $[cdot]_(~)$ classe di equivalenza modulo equipotenza; $|S| le |T| leftrightarrow^("def")\ exists\ f : S \to\ T \|\ "f iniettiva".$ Nella presente definizione compaiono classi di equivalenza, quindi, mi potrei chiedere se tale definizione è ben posta, cioè non è in funzione dei rappresentati. Procedo cosi, considero le seguenti relazioni $|S|=|S_1|\,\ |T|=|T_1|$ esistono due funzioni $z,h$ biettieve definite ...

Leggendo il volume di "Algebra Lineare e Geometria" di Schlesinger, mi ha messo un po' in crisi un esercizio che, riformulato, dice: "Il vettore \(\mathbf{v_0}=(1, -2, 1)^T\) appartiene al nucleo \(\mathrm{Ker}\ \mathbf A\) della matrice $\mathbf{A}=((1,1,1),(1,2,3))$. Dimostrare che il vettore $(x_1, x_2, x_3)^T=\mathbf{v_0}$ soddisfa l'equazione $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ se e solo se $(a_1, a_2, a_3)^T=\mathbf{a}$ appartiene allo spazio riga \(\mathrm{Row}\ \mathbf A\) di $\mathbf A$." L'implicazione \(\Longleftarrow\) mi è parsa ...

Provando a fare qualche esercizio sul prodotto tensoriale mi sono accorto che sto sbagliando di grosso, nella seguente dimostrazione ci deve essere un errore veramente stupido. Consideriamo $ RRox _RR RR $ che sappiamo essere non banale (es. la mappa bilineare $(x,y)\rightarrow xy$ non è banale). Cosa c'è di sbagliato nella seguente dimostrazione di $ RRox _RR RR = {0}$: Dalla definizione di prodotto tensoriale si ha che $xa \otimes b = a \otimes xb$ quindi $0 = (xa \otimes b) - (a \otimes xb) = (xa \otimes b) + (-a \otimes xb) = xa -a \otimes b +xb = (x-1)a \otimes (x+1)b$ Scegliendo ...

Io conosco la soluzione che conta il numero di sottoinsiemi dell'insieme prodotto cartesiano AxB : se la cardinalità di AxB è k , sarà $ 2^k $ . In queste dispense (pagina 11 , punto B ) usa anche un secondo metodo basato sul principio del prodotto . Non lo capisco! https://luca-giuzzi.unibs.it/corsi/disc ... teggio.pdf Grazie

Come si concilia il fatto che esiste un intervallo arbitrariamente grande tra due primi ed il teorema che dice che esistono infiniti primi distanti tra loro 70000000 di numeri? P. S. La mia domanda nasce dal fatto che può esistere un intervallo inimmaginamente grande tra due primi consecutivi, ma tra inimmaginamente grande ed infinito che relazione esiste?