Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Buongiorno, sto provando a svolgere il seguente esercizio:Determinare i sottogruppi normali di $GL(2,ZZ_2)$. Procedo cosi: Per semplicità pongo $G(cdot):=GL(2,ZZ_2)$. Determino l'ordine di $G$, inoltre $ZZ_2={0,1}$ sono classi di congruenza (non so fare la barra sopra) Sia $A in G$ dove \(\displaystyle A=\begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix} \), dove $x,y,z,v \ in ZZ_2 $ deve risultare $xv=1$ cioè solo se $x=v=1$, inoltre ...

Buonasera potete aiutarmi, devo indicare se sono vere o false sapendo che a !=∅, (i) {a,a} = {a}; (ii) a ∈ {a}; (iii) {a} ∈ {a}; (iv) {a} ⊆ {a}; (v) ∀b({a} ∈ {a, b}); (vi) ∀b({a} ⊆ {a, b}); (vii) {∅} ⊆ {a, {∅}}; (viii) {∅} ∈ {a, {∅}}; (ix) ∅ ∈ {a, {∅}}; (x) ∅ ⊆ {a, {∅}}. I miei risultati sono: (i) falso (ii) vero (iii) falsa (iv) falsa (v) falso (vi)falso (vii) falso (viii) falso (ix)vero (x)vero giusto?

Buonasera potete aiutarmi con l'ultimo punto dell'esercizio intendo la parte chiusa: Sia $∗$ l’operazione binaria definita in $Z_16 × Z_16$ ponendo, $AA a, b, c, d \in Z_16$ , $(a, b) ∗ (c, d) = (ac, b).$ (i) Si verifichi se $∗$ è associativa e se è commutativa; se, rispetto a $∗$,$ Z_16 × Z_16$ ha elementi neutri a destra, a sinistra, neutri. (iii) Si verifichi che, per ogni $b \in Z_16$, $T := Z_16 × {b}$ è ...

Buon pomeriggio. Sto studiando teoria delle categorie per un progetto. Mi sono ritrovato davanti a questa difficoltà, banale, ma da cui non riesco ad uscire. Io so che il funtore $Hom(Y, -)$ è esatto a sinistra. Inoltre, per definizione, diremo che l'oggetto $Y$ è proiettivo se e solo se il funtore $Hom(Y, -)$ è esatto, quindi se manda epimorfismi in epimorfismi. Di conseguenza, se Y è proiettivo ho che la sequenza esatta $0 -> A -> B -> C -> 0$ viene mandata in ...

Ciao. Come si può dimostrare "con le mani" che l'insieme \( I \) dei polinomi di \( \mathbb R[X_1,X_2] \) a coefficiente costante nullo è un ideale massimale ma non principale? (Con "con le mani" intendo dire "ignorando che \( I \) è massimale se e solo se \( R/I \) campo", ecc.).

Mi sapete aiutare a capire perché: $ -17 mod 10 = 3 $ Grazie in anticipo

Buongiorno, Sto tentando di svolgere il seguente eserczio: Siano $X,Y,S$ insiemi, per cui se \(\displaystyle X \sim Y \), risuta $X^S$ \(\displaystyle \sim \) $Y^S$. Ho provato a svolgerlo nella seguente maniera: Per ricordarci $X^S={f:S to X| "f applicazione"}$, $Y^S={g:S to Y| "g applicazione"}$, inoltre, \(\displaystyle X \sim Y \) $: leftrightarrow exists\ \ alpha\|\ alpha \:\ X to Y$, con $alpha$ applicazione biettiva. La tesi consiste nel costruire una funzione $L$ che va da ...

$ \x\in\Z \iff\EE b= a\Longrightarrow\a=a $Buonasera ho questo esercizio, sia: Consideriamo la relazione di binaria R definita in Q da: $∀a, b ∈ Q aRb ⇐⇒ (∃z∈Z)(a=b+z)$ (i) Provare che R è una relazione di equivalenza; (ii) descrivere $\[0]_R$,$\[3]_R$ e $\[1/2]_R$. Io ho risolto cosí: 1)Riflessiva: $\x\in\Z \iff\EE b= a\rightarrow\a=a$ quindi è riflessiva. 2) Simmetrica: $\AA a, b\in\A$ $\(aRb \rightarrow\bRa)$ Cioè: $\a = b+z \rightarrow\ -b-z=-a \rightarrow\ b+z=a$ quindi è simmetrica 3)Transitiva: $\AA a, b, c \in A$ ...

Buonasera volevo chiedervi un aiuto su questo esercizio: $S=QxQ$ $∀ (a,b), (c,d) in S,\quad \{ ((a,b) ⊕ (c,d) = (a+c,b+d)), ((a,b) ** (c,d) = (ac, \frac {\bd}{\2})):}$ Ho già verificato che è un anello commutativo unitario ma ho problemi nel determinare : (i) Gli elementi invertibili di $(S, ⊕,*)$; (ii) In $(Q × Q, ⊕, ∗)$, $(0,1/3)$ è cancellabile? $(3, −1/2)$ è un divisore dello zero? (iii) Z×Z è un sottoanello di $(Q×Q,⊕,∗)$? Io ho fatto: (i) $AA (a, b)\ in S$ $ (a, b) è simmetrico in (S,*)\iff\(\EE (c,d)\in\S: (a ,b)*(c,d)=(1,2))\iff\(\EE(c,d)\in S (ac, \frac {\bd}{\2})(1,2))\iff\ c=\frac {\1}{\a} \wedge\d= \frac {\4}{\b}$ P.S l'elemento neutro rispetto ...

Buonasera a tutti. Ho questa struttura con sostegno $S = ZZ xx ZZ$ ed operazioni definite come segue: $∀ (a,b), (c,d) in S,\quad \{ ((a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)), ((a,b) ** (c,d) = (ac,ad)):}$ e devo verificare se $(S,+,**)$ sia un anello commutativo unitario. Ho già verificato che: [list=1][*:ocn62dgz] $(S,+)$ è gruppo abeliano [/*:m:ocn62dgz] [*:ocn62dgz] $(S,**)$ è un semigruppo [/*:m:ocn62dgz] [*:ocn62dgz] $**$ è doppiamente distributiva (cioè, a sinistra ed a destra) rispetto a ...

Buonasera vorrei chiedervi se questo esercizio l'ho fatto bene, allego la traccia: \( f: X \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \mapsto \{ x + 2 \mid x \in X \} \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) \) i) Calcolare \( f \left( \{ -2,2,4\} \right), f \left( \mathbb{Z} \right) , f^{-1} \left( \{ \{ -2,3,5\} \} \right)\) ii) Verificare che \(f\) è biettiva e calcolare \(f^{-1} \) iii) Siano \( h: x \in \mathbb{Q} \mapsto 2x+1 \in \mathbb{Q} \) e \(g: y \in \mathbb{Z} \mapsto y/3 \in \mathbb{Q} \), descrivere \(k:= ...

Mi stavo chiedendo se è vero quanto segue: Sia \(n\) un intero positivo dispari e \( \Phi_k\) è il \(k\)-esimo polinomio ciclotomico. È vero che \( \Phi_{4n} \) possiede termini solo di grado pari e \( \Phi_{2n} \) possiede almeno un termine di grado pari ed almeno un termine di grado dispari?

Buon pomeriggio potete aiutarmi a negare questa formula: x > 1 ∧ (∀a ∈ Z)(y > 3 ⇒ a diverso 4). Negazione: (x>1) v ($ EE alpha in Z $)(y>3^a=4) potete aiutarmi a correggerla? Grazie in anticipo

Buonasera potete aiutarmi a capire se questo esercizio l’ho fatto bene? Sia: S=ZxZ $ AA $ a,b,c,d appartenenti a Z (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)*(c,d)=(ac,ad) Devo determinare i neutri rispetto l’operazione * Io ho verificato che * non è commutativa quindi calcolo neutro a destra e sinistra di *: 1) a destra: $ AA AA (a,b)in ZxZ $ $ (c,d)$ neutri a dx in (S,*) se è solo se $(ac,ad)=(a,b)$—> non ci sono neutri 2) a sinistra: $ AA AA (a,b)in ZxZ $ ...

Ciao a tutti, ho un problema sulla dimostrazione della diseguaglianza di Schwarz, per prima cosa inserisco la dimostrazione che ho, poi vi spiego cosa non capisco. Dati $ a_1, ... , a_n $ ; $ b_1 , ... , b_n \in \mathbb{C} $ si ha $|\sum_{j=1}^n a_j\overline{b_j}|^2 \leq \sum_{j=1}^n|a_j|^2 \sum_{j=1}^n|b_j|^2 $ Dim: (1) Pongo $ A = \sum|a_j|^2 $ ; $ B = \sum|b_j|^2 $ ; $ C = \sum a_j\overline{b_j} $ (2) si deve avere che $ |C|^2 \leq AB $. Se $B = 0$ la tesi è ovvia, impongo $B \ne 0$. (3) posso riscrivere come $ 0 \leq AB^2 - B|C|^2 = B^2\sum|a_j|^2 - |C|^2\sum|b_j|^2 $ (4) che posso vederla come ...

Buon pomeriggio volevo chiedere un aiuto su questo esercizio: con riferimento a f : A → B, di ciascuna delle due formule: (i) (∀a ∈ A)(∃!b ∈ B)(b è un corrispondente di a); (ii) (∀b ∈ B)(∃!a ∈ A)(b è un corrispondente di a); dire se equivale a: (1) f è un’applicazione ben definita; (2) se f è un’applicazione, f è suriettiva; (3) se f è un’applicazione, f è biettiva; (4) nessuna delle precedenti. Sia poi g: L → M un’applicazione. Tra le seguenti quali equivalgono e quali non equivalgono ...

Buonasera, Sto svolgendo il seguente esercizio: Sia l'insieme $G$ delle matrici su $ZZ_n$ della forma \(\displaystyle \begin{vmatrix} \pm 1 & m \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \). Si richiede di verificare che $G(cdot)$ dove "$cdot$ prodotto usuale tra matrici" è un gruppo, inoltre verificare che risulta abeliano se $n=2$ e non abeliano se $n>2$. Per quanto la verifica di essere $G$ un gruppo l'ho fatta. Invece, per ...

Buongiorno a tutti, spero di postare nella sezione corretta. Volevo porvi la seguente questione, sperando che qualcuno possa essermi di aiuto. Come da titolo, riguarda l'ipotesi di Riemann. So benissimo che l'argomento è estremamente complesso e infatti mi soffermo su un aspetto "qualitativo". Si dice sempre che questo problema è strettamente collegato ai numeri primi, ma nello specifico, se venisse dimostrato, cosa permetterebbe di sapere su di essi? Si tratta di migliorare determinate ...

Buongiorno, Sto leggendo la seguente definizione: Siano $S, T$ insiemi, dove con $|cdot|$ indico $[cdot]_(~)$ classe di equivalenza modulo equipotenza; $|S| le |T| leftrightarrow^("def")\ exists\ f : S \to\ T \|\ "f iniettiva".$ Nella presente definizione compaiono classi di equivalenza, quindi, mi potrei chiedere se tale definizione è ben posta, cioè non è in funzione dei rappresentati. Procedo cosi, considero le seguenti relazioni $|S|=|S_1|\,\ |T|=|T_1|$ esistono due funzioni $z,h$ biettieve definite ...

Leggendo il volume di "Algebra Lineare e Geometria" di Schlesinger, mi ha messo un po' in crisi un esercizio che, riformulato, dice: "Il vettore \(\mathbf{v_0}=(1, -2, 1)^T\) appartiene al nucleo \(\mathrm{Ker}\ \mathbf A\) della matrice $\mathbf{A}=((1,1,1),(1,2,3))$. Dimostrare che il vettore $(x_1, x_2, x_3)^T=\mathbf{v_0}$ soddisfa l'equazione $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ se e solo se $(a_1, a_2, a_3)^T=\mathbf{a}$ appartiene allo spazio riga \(\mathrm{Row}\ \mathbf A\) di $\mathbf A$." L'implicazione \(\Longleftarrow\) mi è parsa ...