Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
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Domande e risposte
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Ciao Ragazzi vorrei un aiuto da parte vostra, trattasi che dovrei dividere due polinomi a coefficienti in Z5.
in particolare i polinomi sono P(1) = X^3 + 4*X^2 + 2 e P(2) = X^2 +1
Per quanto mi riguarda il risultato da me ottenuto è Q(quoziente) = -4*x -1 e R(resto) = 4*x + 3.
Tuttavia se scrivo P(1) = P(2)*Q + R secondo il metodo dell'algoritmo di euclide, non ottengo P(1).
Potreste voi aiutarmi a risolvere il quesito??
Grazie a tutti in anticipo.
Mi sto cimentando sui due seguenti esercizi:
1) Se in un gruppo $G$ risulta $a^5=e$ e $aba^-1=b^2$ per $a,b in G$, trovare l'ordine di $b$
2) Sia $G$ un gruppo finito di ordine $n$ tale che $3$ non divida $n$ e tale che $(ab)^3=a^3b^3$ per ogni $a,b in G$. Dimostrare che $G$ è abeliano.
Per il primo si potrebbe notare che da $a^5=e$ segue ...
Sia dato l'ideale $J=(2x^2-2)$ in Q[x].
Descrivere l'anello quoziente Q[x]/J, dire se è un campo o un dominio e determinare l'inverso di x+1+J e due elementi non nulli il cui prodotto sia nullo (se esistono),
Secondo me l'anello quoziente è l'insieme dei polinomi in Q[x] con grado minore di 2 (cioè il grado di $2x^2-2$). Correggetemi se sbaglio.
Campo o dominio d'integrità?
Come si dimostra che in un dominio d'integrità con unità, l'ideale generato da a è uguale a quello generato da b se e solo se a e b sono associati?
ho dei dubbi con il seguente problema...
Sia $p$ un numero primo.
a. Verifcare che il gruppo $ZZ//pZZ$x$ZZ//pZZ^*$ è ciclico.
b. Quanti e quali sono gli elementi di $ZZ//pZZ$x$ZZ//pZZ^*$ di ordine 136 ?
per il punto a ho un pò di confusione perchè so che il prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine $p$ e $q$ è ciclico se e solo se $p$ e $q$ sono coprimi, ma nel mio caso sono ...
ditemi una cosa...
come si vede che $1+x+x^2+x^3+x^4$ è irriducibile in $Z_7[x]$ ?
cioè come si vede che non abbia radici in $Z_7[x]$ l'ho capito (se ne avesse una diversa da $1$ sarebbe radice di $x^5-1$ e quindi un elemento di ordine (moltiplicativo) $5$, però non esistono elementi di tale ordine)...
ma l'irriducibilità è una cosa diversa... e provare a mano tutti i polinomi non mi sembra il caso...
Ho questa successione definita per ricorrenza:
$a_n = -a_(n-1) + 2a_(n-2)$
Con
$a_0 = 8$
$a_1 = -1$
Per tutti gli $n>=2$
Ho definito i primi 4 termini della ricorrenza:
$a_2 = -(-1)+2(8)=17$
$a_3 = -17+2(-1)=-19$
$a_4 = -(-19)+2(17)=53$
$a_5 = -53+2(-19)=-91$
Devo poi dimostrare che se n è pari $a_n$ è positivo, se dispari allora $a_n$ è negativo.
Come posso procedere? Sono un tantino legato nelle dimostrazioni.. nn ci sono abituato
Avrei provato così.. ...
Stavo tentando per sport la dimostrazione del seguente fatto: sia $(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in RR_{>=0}^{n}$ con $n>=2$; se $\sum_{i=1}^{n} x_i =1$ allora $\forall i, x_i \in [0;1]$.
Stavo tentando di procedere per induzione, quando mi è sorto il dubbio che in questo caso l'induzione non funziona.
Spiego perché: per $n=2$ viene facile; per $n>2$ dobbiamo assumere vero l'asserto e provarne la validità per $n+1$, ma in questo caso l'asserto è una struttura implicativa del tipo ...
Sia S il gruppo delle permutazioni (o bigezioni) di $NN$.
i) Trovare un elemento $sigmainS$ per cui: $Z(sigma)$ è contenuto strettamente in $Z(sigma^n)$ per ogni $n>1$. (nota: se $G$ è un gruppo e $x inG$,$Z(x)={ginG |gx=xg}$ )
ii) Sia $S_0$ il sottogruppo di $S$ delle permutazioni $sigma$ per cui $sigma(k)=k$ $AAkinNN$ tranne un numero finito.
Dimostrare che ...
Ciao a tutti!
Qualcuno perfavore potrebbe spiegarmi il piccolo teorema di Fermat?
Perchè ho letto un po' in giro.. ma mi sembra che nessuno arrivi al nocciolo della questione.
Questo esercizio, poi, si risolve con quello?
3x$-=$ 5 mod7
Salve ragazzi,ho dei grossi dubbi sulla definizione di distribuzione.
Il nostro prof ha introddo il concetto a partire dalla spazio delle funzione test, e fin qui tutto ok,poi ha definito distribuzione ogni funzionale lineare e continuo definito sullo spazio delle funzioni test,e ci ha anche detto che data una certa funzione $f$ di quadrato integrabile ad essa resta associato il funzionale:
$int_{-oo}^{+oo}f(t)v(t)dt$ con $v$ funzione test.
Dopodichè ha afferamato e provato ...
Dire se $ZZ_3[x]$ $/(x^4+x+1)$ è campo di spezzamento per $x^4+x+1$.
Ora l'unico metodo che conosco è
1) verificare che il polinomio è effettivamente irriducibile
2) vedere che ha 4 radici nel campo facendo TUTTE le prove (che qui sono $3^4$)
C'è un modo un po' più veloce di farsi le 81 prove?
Sia $U_n$ l'insieme degli interi primi con $n$ con la moltiplicazione $mod n$.
Si provi che $U_n$ è un gruppo abeliano.
Si dimostri che $U_8$ non è un gruppo ciclico.
Si dimostri che $U_9$ è un gruppo ciclico e si determinino i suoi generatori.
In entrambi i casi precedenti ($n=8,9$) si determinino i seguenti gruppi: il centro di $U_n$ ed il centralizzante di ogni elemento di $U_n$ in ...
Sia dato l'ideale I=(2+2i,3+i) in Z (Anello degli interi di Gauss).
Studiare l'anello quoziente Z/I.
Mi potete aiutare?
avrei dei problemi con i seguenti esercizi, potreste cortesemente aiutarmi e magari svolgerli spiegandomi cosa avete fatto per giungere alla soluzione?
Esercizio 1: Sia $G$ un gruppo ciclico di ordine finito $n$ e generato da $\alpha$; sia $H_d$ il sottogruppo di $G$ di ordine $d$.
a) verificare che esiste un sottogruppo $K$ di $G$ tale che $H_d$ $~=$ ...
Non so bene come svolgere questo esercizio:
E' dato l'insieme G = {id4, (12)(34), (13)(24), (14)(23), (14)(23), (12), (34), (1423), (1324)}
a. G è sottogruppo di S4?
b. scrivere la tabella della moltiplicazione del gruppo(se è lunga possibilmente fatemi capire solo cosa vuole)
c. stabilire se G è ciclico(max interesse)
Grazie in anticipo perchè sono in crisi.
Dinostrare che $N$ e $N x N$ sono in bigezione e creare l'applicazione che li mette in bigezione.
(in realtà il problema era più complesso, ma con vari ragionamenti l'ho ricondotto a questo)
Propongo la mia soluzione e spero che qualcuno corregga enetuali (probabili) errori, e sono ben accette tutte la altre dimostrazioni della suddetta proposizione.
Dim:
$f:N->NxN$
Analizziamo $N$, un suo generico elemento è $n$.
E dunque ...
un numero è divisibile per 2 se (e solo se) l'ultima cifra è divisibile per due (cioè se è pari)
un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3
un numero è divisibile per 4 se il numero formato dalle sue due ultime cifre è divisibile per 4
un numero è divisibile per 5 se l'ultima cifra è 0 oppure 5
un numero è divisibile per 6 se è divisibile sia per 2 che per 3
un numero è divisibile per 7 se sottraendo il doppio dell'ultima cifra al numero senza l'ultima ...
Ho un sistema di due congruenze, il seguente:
x = 4 mod 6
x = 2 mod 5
Io l'ho risolto in questo modo:
4+6k = 2 mod 5
6k = -2 mod 5
-k = 2 mod 5 ---> k = -2 mod 5
4+6*(-2) uguale -8 ed è una soluzione particolare
Tutte le soluzioni sarebbero:
{-8+30s | s appartenente a Z}
E' sbagliata? Perchè come soluzione corretta a me darebbero 22+30s
Dov'è che sbaglio?
Grazie.
Se $S$ è un insieme qualunque, dimostrare che è impossibile trovare un'applicazione di $S$ su $S^"*"$
Precisazioni:
"Applicazione su" vuol dire "applicazione surgettiva", quindi bisogna dimostrare che non esistono applicazioni surgettive da $S$ in $S^"*"$
$S^"*"$ è l'insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di $S$
Bè la mia soluzione si ferma al caso $#S< \infty$, ovvero il caso in cui ...
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