Divisione di polinomi a coefficienti in Z5
Ciao Ragazzi vorrei un aiuto da parte vostra, trattasi che dovrei dividere due polinomi a coefficienti in Z5.
in particolare i polinomi sono P(1) = X^3 + 4*X^2 + 2 e P(2) = X^2 +1
Per quanto mi riguarda il risultato da me ottenuto è Q(quoziente) = -4*x -1 e R(resto) = 4*x + 3.
Tuttavia se scrivo P(1) = P(2)*Q + R secondo il metodo dell'algoritmo di euclide, non ottengo P(1).
Potreste voi aiutarmi a risolvere il quesito??
Grazie a tutti in anticipo.
in particolare i polinomi sono P(1) = X^3 + 4*X^2 + 2 e P(2) = X^2 +1
Per quanto mi riguarda il risultato da me ottenuto è Q(quoziente) = -4*x -1 e R(resto) = 4*x + 3.
Tuttavia se scrivo P(1) = P(2)*Q + R secondo il metodo dell'algoritmo di euclide, non ottengo P(1).
Potreste voi aiutarmi a risolvere il quesito??
Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
Semplicemente fai:
$P_1(x)=x^3+4*x^2+2$
$P_2(x)=x^2+1
io ottengo:
$Q(x) = x+4$
$R(x) = 4x+3$
infatti:
$(x^2+1)*(x+4) + 4x+3 = x^3+x+4x^2+4 + 4x + 3 = x^3 + 4x^2 + 2$
sempre in $ZZ_5$
$P_1(x)=x^3+4*x^2+2$
$P_2(x)=x^2+1
io ottengo:
$Q(x) = x+4$
$R(x) = 4x+3$
infatti:
$(x^2+1)*(x+4) + 4x+3 = x^3+x+4x^2+4 + 4x + 3 = x^3 + 4x^2 + 2$
sempre in $ZZ_5$
Ciao grazie tante per la risposta,
Innanzi tutto il risultao di Q è uguale a quello delle soluzioni del libro, R invece è diverso nel libro è (- x + 3)
Ma come fai ad ottenere x + 4, se moltiplico x per x^2 ottengo x^3, che se sotratta all'elemento direttore di p(1) è 0, ma in Z. In Z5 non dovrei moltiplicare per -4X in modo da far si che la somma algebrica dia 5x^3 che in Z5 è 0?
Questo è il mio più grande dubbio.
In altre parole x^3 - x^3 = 0 ma 0 in Z5 è 0 ?
Grazie per la tua eventuale risposta.
Emanuele
Innanzi tutto il risultao di Q è uguale a quello delle soluzioni del libro, R invece è diverso nel libro è (- x + 3)
Ma come fai ad ottenere x + 4, se moltiplico x per x^2 ottengo x^3, che se sotratta all'elemento direttore di p(1) è 0, ma in Z. In Z5 non dovrei moltiplicare per -4X in modo da far si che la somma algebrica dia 5x^3 che in Z5 è 0?
Questo è il mio più grande dubbio.
In altre parole x^3 - x^3 = 0 ma 0 in Z5 è 0 ?
Grazie per la tua eventuale risposta.
Emanuele
in $ZZ_5$ $4=-1$
ma tu fai l'algoritmo di disione eucliea o come fai?
ma tu fai l'algoritmo di disione eucliea o come fai?
Si io applico la divisione euclidea, il mio procedimeno è il seguente; devo azzerare il coefficiente direttore di P(1) che è x^3 in Z5, per farlo (ho visto in molti esercizi) devo far si che x^3 diventi 5x^3 tale che = 0. Se x^2 + 1 è il polinomio per il quale devo dividerlo allora applicando la divisione euclidea moltiplico x^2 * -4x = -4x^3, così che sottraendo x^3 a -4x^3 ottengo 0. (x^3 -(- 4x^3) = 5x^3 che in Z5 = 0).
Questo è il mio procedimento e francamente non capisco dove sbaglio. Devo capirlo bene ho l'esame nei prossimi giorni.
L'unica spiegazione che mi viene in mente deriva dall'uguaglianza sopra postata. Cioè se in Z5 4 = -1, allora moltiplicando x^2 per x, ottengo x^3.
Sottraendo x^3 a x^3, viene x^3 -x^3, ma in Z5 4 = -1, e quindi posso scrivere x^3 + 4x^3 = 5x^3 = 0.
Penso sia questo il ragionamento che avete seguito, a questo punto vorrei capire se il mio è comunque corretto o sbagliato.
Grazie
Questo è il mio procedimento e francamente non capisco dove sbaglio. Devo capirlo bene ho l'esame nei prossimi giorni.
L'unica spiegazione che mi viene in mente deriva dall'uguaglianza sopra postata. Cioè se in Z5 4 = -1, allora moltiplicando x^2 per x, ottengo x^3.
Sottraendo x^3 a x^3, viene x^3 -x^3, ma in Z5 4 = -1, e quindi posso scrivere x^3 + 4x^3 = 5x^3 = 0.
Penso sia questo il ragionamento che avete seguito, a questo punto vorrei capire se il mio è comunque corretto o sbagliato.
Grazie
no, scusa, fai la divisione tra polinomi normalmente, come sei capace a fare, non in $ZZ_p$ ma semplicemente in $ZZ$, dopo quando vedi che ti viene un $5$ (ma in questa divisione a me non ne vengono) allora metti $0$.
Il primo passaggio:
$x^3/x^2=x$ e $x$ è il tuo "primo risultato"
ora moltiplichi $x*(x^2+1)$ e il risultato lo sottrai a $x^3+4*x^2+2$, vedrai che il termine di terzo grado scompare e poi riapplichi il procedimento...
Il primo passaggio:
$x^3/x^2=x$ e $x$ è il tuo "primo risultato"
ora moltiplichi $x*(x^2+1)$ e il risultato lo sottrai a $x^3+4*x^2+2$, vedrai che il termine di terzo grado scompare e poi riapplichi il procedimento...
ho capito il metodo che esponi, ma non riesco ad applicarlo oltre l'esercizio che ho postato.
Esempio sia p(1) = 2X^5 + X^3 + 4X
e p(2) = 5X^2 + 1 appartenenti a Z7.
a me viene (2/5)*x^3 come "primo risultato" che è diverso da 6X^3 ottenuto dalla soluzione del libbro.
Scusami se sono ripetitivo, ma vorrei acqusire una padronanza delle divisioni dei polinomi in Zp
Esempio sia p(1) = 2X^5 + X^3 + 4X
e p(2) = 5X^2 + 1 appartenenti a Z7.
a me viene (2/5)*x^3 come "primo risultato" che è diverso da 6X^3 ottenuto dalla soluzione del libbro.
Scusami se sono ripetitivo, ma vorrei acqusire una padronanza delle divisioni dei polinomi in Zp
ho capito il metodo che esponi, ma non riesco ad applicarlo oltre l'esercizio che ho postato.
Esempio sia p(1) = 2X^5 + X^3 + 4X
e p(2) = 5X^2 + 1 appartenenti a Z7.
a me viene (2/5)*x^3 come "primo risultato" che è diverso da 6X^3 ottenuto dalla soluzione del libbro.
Scusami se sono ripetitivo, ma vorrei acqusire una padronanza delle divisioni dei polinomi in Zp
Esempio sia p(1) = 2X^5 + X^3 + 4X
e p(2) = 5X^2 + 1 appartenenti a Z7.
a me viene (2/5)*x^3 come "primo risultato" che è diverso da 6X^3 ottenuto dalla soluzione del libbro.
Scusami se sono ripetitivo, ma vorrei acqusire una padronanza delle divisioni dei polinomi in Zp
Osservando bene la soluzione esposta nel libro, mi accorgo che effettivamente la soluzione si ottiene per un processo analogo a quello esposto qui nel thread.
In particolare con riferimento all'esempio da me inserito, la spiegazione data nel libro è : (2/5)*x^(5-2) = 2*(5^-1)*x^3 = 2*3*x^3 = 6*x^3. tutto in Z7
Mi rimane a questo punto solo di capire come mai in Z7 (5^-1) = 3.
Grazie in anticipo
PS.
Ragionare in Zp non è semplice perchè si è troppo abituati a ragionare in Anelli integri come solo Z.
In particolare con riferimento all'esempio da me inserito, la spiegazione data nel libro è : (2/5)*x^(5-2) = 2*(5^-1)*x^3 = 2*3*x^3 = 6*x^3. tutto in Z7
Mi rimane a questo punto solo di capire come mai in Z7 (5^-1) = 3.
Grazie in anticipo
PS.
Ragionare in Zp non è semplice perchè si è troppo abituati a ragionare in Anelli integri come solo Z.
in $ZZ_p$ per fare $a/b$ devi fare $a*b^(-1)$
in questo caso, invece di trovare l'inverso (almeno per il primo passaggio) puoi dire che $x^2+1=-2x^2+1$ perchè 5=-2 in $ZZ_7$
quindi facendo il prima passaggio ti viene $-1x^3$ che è uguale a $6x^3$
PS: se riuscissi a scrivere con le frumle si capisce meglio
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
in questo caso, invece di trovare l'inverso (almeno per il primo passaggio) puoi dire che $x^2+1=-2x^2+1$ perchè 5=-2 in $ZZ_7$
quindi facendo il prima passaggio ti viene $-1x^3$ che è uguale a $6x^3$
PS: se riuscissi a scrivere con le frumle si capisce meglio
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
"emanuele78":
Mi rimane a questo punto solo di capire come mai in Z7 (5^-1) = 3.
Perchè l'inverso di $5$ in $ZZ_7$ è $3$ : $5*3=15=1$ in $ZZ_7$
Ciao sto cercando a questo punto di effettuare il calcolo secondo la formula che hai postato.
Se in $Zp$ per fare $a/b$ si fa $a*b^-1$
allora dall'esercizio precedente (in $Z7$) ottengo :
$2*5^-1$ ma un $1/5$ in $Z7$ non fa $3$.
Tuttavia ricordandomi dell'equivalenza sopra postata che in $Z5$ $4=-1$
ho calcolato nel seguente modo in $Z7$ $1/5$ $ = $ $-6/-2$ $ = $ $ 3 $.
Mi rimane da capire come mai la divisone in $Zp$ non è come in $Z$.
Grazie cmq
Se in $Zp$ per fare $a/b$ si fa $a*b^-1$
allora dall'esercizio precedente (in $Z7$) ottengo :
$2*5^-1$ ma un $1/5$ in $Z7$ non fa $3$.
Tuttavia ricordandomi dell'equivalenza sopra postata che in $Z5$ $4=-1$
ho calcolato nel seguente modo in $Z7$ $1/5$ $ = $ $-6/-2$ $ = $ $ 3 $.
Mi rimane da capire come mai la divisone in $Zp$ non è come in $Z$.
Grazie cmq
Perchè l'inverso di $5$ in $ZZ_7$ è $3$ : $5*3=15=1$ in $ZZ_7$[/quote]
Ok, era chiaro, l'inverso di un numero è quel numero moltiplicato il quale il risultato è l'elemento neutro.
Essendo $Zp$ cmq un anello commutativo unitario ma non integro (se p non è numero primo).
Segue che 1 è elemento neutro di $Zp$ e quindi di $Z7$ per cui $3$ è l'inverso di $1/5$
Credo di aver capito il meccanismo, compresa l'ultima mia osservazione sulla divisione.
Grazie a tutti
Emanuele
Ok, era chiaro, l'inverso di un numero è quel numero moltiplicato il quale il risultato è l'elemento neutro.
Essendo $Zp$ cmq un anello commutativo unitario ma non integro (se p non è numero primo).
Segue che 1 è elemento neutro di $Zp$ e quindi di $Z7$ per cui $3$ è l'inverso di $1/5$
Credo di aver capito il meccanismo, compresa l'ultima mia osservazione sulla divisione.
Grazie a tutti
Emanuele
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