Gruppi ciclici
ho dei dubbi con il seguente problema...
Sia $p$ un numero primo.
a. Verifcare che il gruppo $ZZ//pZZ$x$ZZ//pZZ^*$ è ciclico.
b. Quanti e quali sono gli elementi di $ZZ//pZZ$x$ZZ//pZZ^*$ di ordine 136 ?
per il punto a ho un pò di confusione perchè so che il prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine $p$ e $q$ è ciclico se e solo se $p$ e $q$ sono coprimi, ma nel mio caso sono uguali....
per il secondo punto ho delle mezze idee ma non credo siano troppo giuste ...
potreste x favore aiutarmi?
P.S.=in $ZZ//pZZ^*$ quel punto sta per asterisco(non sapevo come metterlo
)
Sia $p$ un numero primo.
a. Verifcare che il gruppo $ZZ//pZZ$x$ZZ//pZZ^*$ è ciclico.
b. Quanti e quali sono gli elementi di $ZZ//pZZ$x$ZZ//pZZ^*$ di ordine 136 ?
per il punto a ho un pò di confusione perchè so che il prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine $p$ e $q$ è ciclico se e solo se $p$ e $q$ sono coprimi, ma nel mio caso sono uguali....
per il secondo punto ho delle mezze idee ma non credo siano troppo giuste ...
potreste x favore aiutarmi?
P.S.=in $ZZ//pZZ^*$ quel punto sta per asterisco(non sapevo come metterlo
)
Risposte
"lellina89":
il prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine $p$ e $q$ è ciclico se e solo se $p$ e $q$ sono coprimi, ma nel mio caso sono uguali....
credo che quello che dici tu sia vero per $Z$/p$Z$X$Z$/q$Z$ con p e q coprimi perchè $Z$/p$Z$X$Z$/q$Z$$~=$($Z$/pq$Z$) e
($Z$/pq$Z$) è ciclico; pero tu hai ($Z$/p$Z$)X($Z$/q$Z$)*
Qual è l'ordine di $Z$/p$Z$x$Z$p$Z$*?
o($Z$/p$Z$x$Z$p$Z$*)=$p*(p-1)$
Allora presi due elementi tali che a$in$$Z$/p$Z$ e b$in$$Z$/p$Z$*, o(a,b)=mcm(o(a),o(b)) e se o(a,b)=$p*(p-1)$ $rArr$
$rArr$ $Z$/p$Z$x$Z$p$Z$* è ciclico
Adesso devo dimostare che o(a)=p e o(b)=p-1
o(a)=p se a+a+a+a+.... (p volte)$-=$0(mod p), $a+a+a+a+...=p*a$ e p$-=$0(mod p) $rArr$ $0*a$$-=$0(mod p) $rArr$ o(a)=p
Preso un elemento b di $Z$/p$Z$* si ha: (b,p)=1
per il teorema di Eulero $b^(fi(p))$$-=$1(mod p) cioè $b^(p-1)$$-=$1(mod p) $rArr$ o(b)=p-1
con fi=funzione di Eulero
o($Z$/p$Z$x$Z$p$Z$*)=$p*(p-1)$
Allora presi due elementi tali che a$in$$Z$/p$Z$ e b$in$$Z$/p$Z$*, o(a,b)=mcm(o(a),o(b)) e se o(a,b)=$p*(p-1)$ $rArr$
$rArr$ $Z$/p$Z$x$Z$p$Z$* è ciclico
Adesso devo dimostare che o(a)=p e o(b)=p-1
o(a)=p se a+a+a+a+.... (p volte)$-=$0(mod p), $a+a+a+a+...=p*a$ e p$-=$0(mod p) $rArr$ $0*a$$-=$0(mod p) $rArr$ o(a)=p
Preso un elemento b di $Z$/p$Z$* si ha: (b,p)=1
per il teorema di Eulero $b^(fi(p))$$-=$1(mod p) cioè $b^(p-1)$$-=$1(mod p) $rArr$ o(b)=p-1
con fi=funzione di Eulero
"lellina89":
b. Quanti e quali sono gli elementi di $ZZ//pZZ$x$ZZ//pZZ^*$ di ordine 136 ?
per il secondo punto ho delle mezze idee ma non credo siano troppo giuste ...
Tu come lo risolveresti? Sinceramenente non ho capito l'esercizio perchè in ($ZZ//pZZ$x$ZZ//pZZ$*), $p$ lo devo scegliere io? ad esempio in $ZZ//2ZZ$x$ZZ//2ZZ$* non esiste alcun elemento di ordine 136
ops scusa ho sbagliato a scrivere questa è la traccia giusta
b. Quanti e quali sono gli elementi di $ZZ//17ZZ$x$ZZ//17ZZ^*$ di ordine 136 ?
b. Quanti e quali sono gli elementi di $ZZ//17ZZ$x$ZZ//17ZZ^*$ di ordine 136 ?
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