Bel problema sui gruppi infiniti
Sia S il gruppo delle permutazioni (o bigezioni) di $NN$.
i) Trovare un elemento $sigmainS$ per cui: $Z(sigma)$ è contenuto strettamente in $Z(sigma^n)$ per ogni $n>1$. (nota: se $G$ è un gruppo e $x inG$,$Z(x)={ginG |gx=xg}$ )
ii) Sia $S_0$ il sottogruppo di $S$ delle permutazioni $sigma$ per cui $sigma(k)=k$ $AAkinNN$ tranne un numero finito.
Dimostrare che $S_0$ è un sottogruppo normale infinito di $S$ e che il quoziente $S//S_0$ è ancora un gruppo infinito.
A mio avviso sono richieste pochissime conoscenze di teoria dei gruppi, la difficoltà (che per me c'è stata, non so per voi)
sta nel fatto che si parla di roba infinita, e tutto sembra sfuggire di mano...Personalmente l'ho risolto, ma essendo la mia soluzione un pò poco formale (specie al punto 2) sarei curioso di vederne altre. Secondo me è un bel problema, spero vi piaccia.
i) Trovare un elemento $sigmainS$ per cui: $Z(sigma)$ è contenuto strettamente in $Z(sigma^n)$ per ogni $n>1$. (nota: se $G$ è un gruppo e $x inG$,$Z(x)={ginG |gx=xg}$ )
ii) Sia $S_0$ il sottogruppo di $S$ delle permutazioni $sigma$ per cui $sigma(k)=k$ $AAkinNN$ tranne un numero finito.
Dimostrare che $S_0$ è un sottogruppo normale infinito di $S$ e che il quoziente $S//S_0$ è ancora un gruppo infinito.
A mio avviso sono richieste pochissime conoscenze di teoria dei gruppi, la difficoltà (che per me c'è stata, non so per voi)
sta nel fatto che si parla di roba infinita, e tutto sembra sfuggire di mano...Personalmente l'ho risolto, ma essendo la mia soluzione un pò poco formale (specie al punto 2) sarei curioso di vederne altre. Secondo me è un bel problema, spero vi piaccia.
Risposte
1. Prendo $\sigma=(123)(4567)...$ che si decompone così: un ciclo di lunghezza 3, uno di 4, uno di 5, e così via. Bene, se elevo al quadrato il ciclo di lunghezza 4 si spezza in (46)(57), e chiaramente (46) commuta con $\sigma^2$, ma non con $\sigma: (46)(4567)(46)=(4765)$. Se elevo alla $i$ con $i>2$ il ciclo lungo $i$ diventa l'identità sugli elementi coinvolti, e presi $a,b$ nell'$i-$esimo ciclo (quello di lunghezza $i$ per intenderci), (ab) commuta con $\sigma^i$ ma non con $\sigma$.
2. $S_0$ è infinito perché contiene almeno tanti elementi quante sono le coppie dei naturali (ad (a,b) associo (ab)). E' normale perché se prendo $\tau ^{-1}\sigma \tau$ con $\tau \notin S_0$ , se $a$ non è mosso da $\sigma$ torna in se stesso dopo $\tau ^{-1}\sigma \tau$, quindi chi si muove è al più chi è spostato da $\sigma$ (vediamo se sono stato meno formale di alvinlee). Prendiamo per ogni primo $p$, $a_p$ che muove tutte e sole le potenze di p. Se $i\ne j$, $a_ia_j^(-1)$ muove tutte le potenze di $j$ tranne al più $j^0=1$, quindi muove infiniti elementi, quindi non è in $S_0$. Allora ci sono infinite classi laterali.
2. $S_0$ è infinito perché contiene almeno tanti elementi quante sono le coppie dei naturali (ad (a,b) associo (ab)). E' normale perché se prendo $\tau ^{-1}\sigma \tau$ con $\tau \notin S_0$ , se $a$ non è mosso da $\sigma$ torna in se stesso dopo $\tau ^{-1}\sigma \tau$, quindi chi si muove è al più chi è spostato da $\sigma$ (vediamo se sono stato meno formale di alvinlee). Prendiamo per ogni primo $p$, $a_p$ che muove tutte e sole le potenze di p. Se $i\ne j$, $a_ia_j^(-1)$ muove tutte le potenze di $j$ tranne al più $j^0=1$, quindi muove infiniti elementi, quindi non è in $S_0$. Allora ci sono infinite classi laterali.
Ah, dimenticavo. Bel problema!
"pic":
1. Prendo $\sigma=(123)(4567)...$ che si decompone così: un ciclo di lunghezza 3, uno di 4, uno di 5,
e così via. Bene, se elevo al quadrato il ciclo di lunghezza 4 si spezza in (46)(57), e chiaramente (46) commuta
con $\sigma^2$, ma non con $\sigma: (46)(4567)(46)=(4765)$. Se elevo alla $i$ con $i>2$ il ciclo lungo $i$
diventa l'identità sugli elementi coinvolti, e presi $a,b$ nell'$i-$esimo ciclo (quello di lunghezza $i$ per intenderci),
(ab) commuta con $\sigma^i$ ma non con $\sigma$.
Molto simile alla mia, io avevo preso $sigma=(12)(456)(7 8 9 10)...$,saltando un numero fra i primi 2 cicli perchè,stupidamente, non riuscivo a trovare l'elemento con $n=2$, quindi così facendo ho il $3$ libero e prendo $(23)$ che commuta con $sigma^2$ ma non con $sigma$. Il resto è come te. In effetti bastava iniziare con un 3-ciclo, come hai fatto te. Comunque sostanzialmente è la stessa soluzione.
"pic":
2. $S_0$ è infinito perché contiene almeno tanti elementi quante sono le coppie dei naturali
(ad (a,b) associo (ab)). E' normale perché se prendo $\tau ^{-1}\sigma \tau$ con $\tau \notin S_0$ ,
se $a$ non è mosso da $\sigma$ torna in se stesso dopo $\tau ^{-1}\sigma \tau$, quindi
chi si muove è al più chi è spostato da $\sigma$ (vediamo se sono stato meno formale di alvinlee).
non vedo molti altri modi di dirlo...a volte la formalità complica e basta!"pic":
Prendiamo per ogni primo $p$, $a_p$ che muove tutte e sole le potenze di p. Se $i\ne j$, $a_ia_j^(-1)$
muove tutte le potenze di $j$ tranne al più $j^0=1$, quindi muove infiniti elementi, quindi non è in $S_0$.
Allora ci sono infinite classi laterali.
Bella! La mia idea è stata (come hai fatto te) di trovare infinite permutazioni che differiscono fra loro
per infinite immagini (spero sia chiaro),perchè se differissero per al più un numero finito di immagini
(chiamo le permutazioni $tau_1$ e $tau_2$) la composizione $tau_2^(-1)tau_1$ muoverebbe solo un numero finito di elementi e starebbe in $H$
Le infinite permutazioni che avevo trovato io erano
$tau_1=(345)(6789)(10 11 12 13 14)..$
$tau_2=(354)(7689)(11 10 12 13 14)..$
$tau_3=(354)(6879)(10 12 11 13 14)..$
$...$
Dopo $n!$ passi gli elementi che compaiono dal primo al $(n-1)$esimo cicli restano fissi (perchè si esaurisce il modo di permutare anche l'ultimo di questi cicli)
ma in $tau_(n!)$ restano infiniti altri cicli in cui poter scegliere, in ognuno, una coppia di elementi scambiati diversa da tutte quelle già
considerate in precedenza, cosicchè la successione ${tau_i}_(iinNN)$ infinita è tale che ogni elemento differisce dall'altro per un numero infinito di immagini.
I $tau_i$ sono i rappresentanti dei laterali,che saranno quindi infiniti.
Mi piace molto di più la tua, è più "elegante".
"pic":
Bel problema!
Sono d'accordo. La cosa brutta è che era un esercizio (su 4) di un esame di strutture algebriche, e mi c'è voluta una buona ora a casa
in tranquillità per risolverlo. In un compito mi sa che non ce l'avrei mai fatta.
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