Ideali

[thedarkhero]

Sia dato l'ideale I=(2+2i,3+i) in Z (Anello degli interi di Gauss).
Studiare l'anello quoziente Z/I.
Mi potete aiutare?

[Thomas16]

mi viene in mente:

gauss=>euclideo

quindi siamo in un PID e quindi abbiamo l'anello ad integrali principali... essendo un anello euclideo sappiamo anche calcolare l'mcd... quindi ci si riconduce ad un ideale $I$ generato da un solo elemento...

e se gli ideali generati negli interi di Gauss generati da un solo elemento sono cosa nota per te avresti finito...

[thedarkhero]

Ottengo MCD=1+i...
Ma come è fatto l'anello quoziente Z/(1+i)?

[Thomas16]

boh io ti posso dire come so che si può "vedere":

disegna nel piano di gauss gli elementi dell'ideale $(1+i)$... ti verrà un "reticolo quadrato" di punti....

Ora prendi un elemento di $z$ in $Z$ nel piano di Gauss...

scelto un quadrato qualsiasi del reticolo che hai costruito sopra, si può sempre trovare un rappresentante di $[z]$ all'interno di questo quadrato...

non so se ti va bene come caratterizzazione io lo trovavo sufficiente.....

anyway con la guida dell'intuizione grafica sopra ti dovresti trovare gli elementi... visto che $1+i$ non è troppo grosso il numero di classi sarà limitato (meno di quattro direi ad occhio)... da qui potresti magari vedere (tabella di moltiplicazione?) se l'anello finito trovato assomiglia a qualcosa di conosciuto...

[NightKnight1]

Z/(1+i) è isomorfo a Z/2Z